量子力学 专题讨论:EPR诱与Blx等式 杨焕雄 囯科技本大地預院近代物理 December 20, 2017
量子力学 专题讨论：EPR 佯谬与 Bell 不等式 杨焕雄 中国科学技术大学物理学院近代物理系 hyang@ustc.edu.cn December 20, 2017 1 / 27
量子力的完备性: 量予力骨自诞生以来(1925-),在描写原子及亚原于属次的物理 现彖方面飘得了极大的功.量子力理论预言与实验结罘之间 的高庋待会,使得即就是对量于力詈原理丰丰疑的坯疑论者 或者完全不接受量子力詈理论的异見人,也得不承弘量子力 的理论中乜含真理的成分 铿而,量予力菅对体狀怠滅函数ψ所作≮的欐率诠菻,引发了 量子理先驱爱因斯与尔之间圹日持久的有关量子力骨是看 是一个完备理理论的争论.1935年,爱因斯与 Podolsky, Rosen合作发私了一篇重妥文献 g A. Einstein, B. Podolsky and N. Rosen, Can quantum mechanical description of physical reality be considered complete? Phys. Rev. 47, 777(1935)
量子力学的完备性： 量子力学自诞生以来 (1925-)，在描写原子及亚原子层次的物理 现象方面取得了极大的成功. 量子力学理论预言与实验结果之间 的高度符合，使得即就是对量子力学原理半信半疑的怀疑论者、 或者完全不接受量子力学理论的异见人士，也不得不承认量子力 学的理论中包含真理的成分. 然而，量子力学对体系状态波函数 Ψ 所作出的概率诠释，引发了 量子物理先驱爱因斯坦与玻尔之间旷日持久的有关量子力学是否 是一个完备物理理论的争论. 1935 年，爱因斯坦与 Podolsky， Rosen 合作发表了一篇重要文献： 1 A. Einstein, B. Podolsky and N. Rosen, Can quantum mechanical description of physical reality be considered complete ? Phys. Rev. 47, 777(1935). 2 / 27
爱因斯怛等人的文章坚持定的物理实在性晛点,即弘为…夫空 间禹分开的两个糸统具有彼独立的物理宾在性1.在鸿基融上 文章论讵量子力常不詐给≮对于徽视拉于的完备愷描写 通常称爱因斯等人运篇文章中的论记为EPR佯谬( Paradox EPR佯谔具体考虑的是一个二粒子量子力体,构减体的两 个徽现拉子均在x轴工运,设体的状态滅画数为: a(x1, x2)=2To(x1-x2+xo)= dkexp ik(x1-x2+xo ψ(x1,x2)k构试体朱的二于相对往置坐标算特Ⅺ一82和 忌动量算持1+P2的共同存径: (-8)y(x,x2)=-xmy( (P1+1)y(x1,x2)=0 事实上,[x-8,P1+P2 定成物宾压植的理论基融是狭义相对訖的因系律
爱因斯坦等人的文章坚持定域的物理实在性观点，即认为以类空 间隔分开的两个系统具有彼此独立的物理实在性1 . 在此基础上， 文章论证量子力学不能给出对于微观粒子的完备性描写. 通常称爱因斯坦等人这篇文章中的论证为 EPR 佯谬 (Paradox). EPR 佯谬具体考虑的是一个二粒子量子力学体系. 构成体系的两 个微观粒子均在 x 轴上运动，假设体系的状态波函数为： px1; x2q “ 2px1 ´ x2 ` x0q “ `8 ż ´8 dk exp ” ikpx1 ´ x2 ` x0q ı px1; x2q 是构成体系的二粒子相对位置坐标算符 Xˆ1 ´ Xˆ2 和 总动量算符 Pˆ1 ` Pˆ2 的共同本征态： pXˆ1 ´ Xˆ2q px1; x2q “ ´x0 px1; x2q pPˆ1 ` Pˆ2q px1; x2q “ 0 事实上，rXˆ1 ´ Xˆ2; Pˆ1 ` Pˆ2s “ 0: 1定域物理实在性的理论基础是狭义相对论的因果律. 3 / 27
●秀数如的物理义显是ψ(x,x)下或体無的六粒子 之间的垌对位移.EPR倔设如为一宏现距离,非常大,大 到丁以确保六拉于之闻不絆通过侄何物理号或者掴豆作用 相联东 °y(x1,x2)既不是第一个拉于的初量弃,也不是第二个拉 于的初量弃怠,但由于ψ(x1,x)下体余的恿初量为零, 若在ψ(x1,x2)怠下对拉子一的训量迸行测量、获得測量值 p1=Mk1,则无预渊量即加拉于二的初量为P=一bk,此次 对拉于一的训量测量所导致的滅函数坍塌为 (x,2)一(,2)=cP[两(一+刈 在ψ(x,x2)态下量拉子一的伍置坐标,引宣波画数的第 二次坍塌 y(x1,x2)→y"(x1,x2)=2丌o(x1 徜若在ψ"(x,x2)下糕于一的置坐标为x,则粒于二的 位置必为x=x1+x0
参数 x0 的物理意义显然是 px1; x2q 态下构成体系的二粒子 之间的相对位移. EPR 假设 x0 为一宏观距离，非常大，大 到可以确保二粒子之间不能通过任何物理信号或者相互作用 相联系. px1; x2q 既不是第一个粒子的动量本征态，也不是第二个粒 子的动量本征态. 但由于 px1; x2q 态下体系的总动量为零， 若在 px1; x2q 态下对粒子一的动量进行测量、获得测量值 p1 “ ℏk1，则无须测量即知粒子二的动量为 p2 “ ´ℏk1. 此次 对粒子一的动量测量所导致的波函数坍塌为： px1; x2q ù 1 px1; x2q “ exp ” ik1px1 ´ x2 ` x0q ı 在 1 px1; x2q 态下测量粒子一的位置坐标，引发波函数的第 二次坍塌： 1 px1; x2q ù 2 px1; x2q “ 2px1 ´ x2 ` x0q 倘若在 2 px1; x2q 态下粒子一的位置坐标为 x1，则粒子二的 位置必为 x2 “ x1 ` x0. 4 / 27
对拉于一伍置坐标的最新运次量严重干扰了粒于一的动 量.所以,在坍塌的ψ"(x,x)下,虽絮粒予一具有确 定的住置坐标Ⅺ,它的初量却不再是p1=M.事实工,鸿 时粒子一的训量是完金不确定的 那么,最新这次对于拉于一位置坐标的阏量是石会影响拉子 二的初量分布呢?EPR为不会,考虑到y"(x1,x)忐下二 粒于的空闻距离为x,它非常六,天于粒于一伍置坐标測量 的息传不到拉于二所处的住置,故丁以弘为拉于六仍具 有确定的初量P2=-hk1据鸿,EPR得出论:体余处在 ψ"(x1,x2)怨下时,于六时具有确定的初量和佞置坐标, 虽氢,[名2,2]=边≠0 鉴于量子力理论不詐做出拉子二同时具有确定的位置和动 量的预言,EPR宣称量子力菅理论和热力学理论类φ,它是 不完备的 EPR佯谔在后来坶(Bohm)槿出的变种中,真私现更锐
对粒子一位置坐标的最新这次测量严重地干扰了粒子一的动 量. 所以，在坍塌后的 2 px1; x2q 态下，虽然粒子一具有确 定的位置坐标 x1，它的动量却不再是 p1 “ ℏk1. 事实上，此 时粒子一的动量是完全不确定的. 那么，最新这次对于粒子一位置坐标的测量是否会影响粒子 二的动量分布呢？ EPR 认为不会. 考虑到 2 px1; x2q 态下二 粒子的空间距离为 x0，它非常大，关于粒子一位置坐标测量 的信息传递不到粒子二所处的位置，故可以认为粒子二仍具 有确定的动量 p2 “ ´ℏk1.据此，EPR 得出结论：体系处在 2 px1; x2q 态下时，粒子二同时具有确定的动量和位置坐标， 虽然 rXˆ2; Pˆ2s “ iℏ ‰ 0. 鉴于量子力学理论不能做出粒子二同时具有确定的位置和动 量的预言，EPR 宣称量子力学理论和热力学理论类似，它是 不完备的. EPR 佯谬在后来玻姆 (Bohm) 提出的变种中，其表现更尖锐. 5 / 27
EPRB侔谬: 考虑丌0拉子的弱衰亥, 丌0→c++e 验分析: 假设丌0是静止的,則动量守恒意咪看过的运初方间反 由于丌°的自旋为零,角动量守恒妾求体处于单起 )=[8-1>8 若曳予的自旋间上,③曳子的自旋必须间下.反之亦磐, 对于一次具体的π°衰,量于力无滨预測旖得到啷一种 旋但合,但是它眀确指出曳于、臼曳于自旋的測量是掴 的
EPRB 佯谬： 考虑 0 粒子的弱衰变， 0 Ñ e ` ` e ´ π 0 e − e + 实验分析： 1 假设 0 是静止的，则动量守恒意味着 e ˘ 的运动方向相反. 2 由于 0 的自旋为零，角动量守恒要求 e ˘ 体系处于单态组态： | y “ 1 ? 2 ” |Òy b |Óy ´ |Óy b |Òy ı 若电子的自旋向上，正电子的自旋必须向下. 反之亦然. 3 对于一次具体的 0 衰变，量子力学无法预测将得到哪一种 自旋组合，但是它明确指出电子、正电子自旋的测量是相关 的. 6 / 27
相关性: 假设在丌0赛变突验中使自沿反方甸飞行10未远,后測 量曳子的自旋,若測者測得曳于的自旋间上,他立即就加道了 20本远处的曳于的自旋间下,如果易有一位晛測者在鸿处 量四曳于的自旋的诟 问题:从实验角看,在弄把分别測量曳于、臼电于自旋私向 虽两个独立事伴,二者之间为何府在相关? 突在论( realism)砚点 曳在产生的那一刻就有间工的自旋(十則间下).只是量子 力学无滨着加而已,挟言之,量子力是不完备的 ◎哥哈根廊观点 在測量之前过的自旋是不确定的.是测量使得曳于的态关量 生坍塌,同时产生姑20未远处曳子的自旋
相关性： 假设在 0 衰变实验中使 e ˘ 各自沿反方向飞行 10 米远，然后测 量电子的自旋. 若观测者测得电子的自旋向上，他立即就知道了 20 米远处的正电子的自旋向下，如果另有一位观测者在此处测 量正电子的自旋的话. 问题： 从实验角度看，在异地分别测量电子、正电子自旋取向 是两个独立事件. 二者之间为何存在相关性 ? 1 实在论 (realism) 观点： 电子在产生的那一刻就有向上的自旋 (e ` 则向下). 只是量子 力学无法告知而已. 换言之，量子力学是不完备的. 2 哥本哈根学派观点： 在测量之前 e ˘ 的自旋是不确定的. 是测量使得电子的态矢量 发生坍塌，同时产生出 20 米远处正电子的自旋. 7 / 27
Einstein- Podolsky- Rosen(EPR)佯谔: ◎EPR坚持宾在论现点:无论量予力詐石做出确定的预言, 曳子和四曳予鼎绉具有确定的自旋 ◎EPR反对哥哈根詈廊的晛点,哥礻哈擐廊晛点的核心内 垦:测量引起了息的时传递(热光速).EPR认为运一 点违筲了狭义相对论,因而是十分荒谬的 ●EPR论垢是基于佞何物理息的传播速度都不大于光速运 一相对论原则工的.鸿原则称为定诫性( ovality 点评: 平心而论,EPR并不是怀疑量予力常的确性,他们仅仅是 弘为使用一个矢量(或波函画数)不態完金把描写量子力菅 体的狀起: ◎忐矢量开不是描写体怠所需武体的金. 除了起矢量,为了宄金把描写体的状忐,还需妥易外的 钽量{入},称其为逸亥量
Einstein-Podolsky-Rosen (EPR) 佯谬： 1 EPR 坚持实在论观点：无论量子力学能否做出确定的预言， 电子和正电子始终具有确定的自旋. 2 EPR 反对哥本哈根学派的观点. 哥本哈根学派观点的核心内 容是：测量引起了信息的瞬时传递 (超光速). EPR 认为这一 观点违背了狭义相对论，因而是十分荒谬的. 3 EPR 论据是基于任何物理信息的传播速度都不能大于光速这 一相对论原则上的. 此原则称为定域性 (locality). 点评： 平心而论，EPR 并不是怀疑量子力学的正确性，他们仅仅是 认为使用一个态矢量 (或波函数) 不能完全地描写量子力学 体系的状态： 1 态矢量并不是描写体系状态所需载体的全部. 2 除了态矢量，为了完全性地描写体系的状态，还需要另外的 一组参量 ! ) ，称其为隐变量. 8 / 27
你可以设想起矢量的坍塌 -[8p-1811-8 不是瞬时的,而是以一定的速崖传播的.但是,此设想会导 致角动量守恒定被违反.如釆我们在曳子舂矢量坍塌的滴 息传到之前测量曳子的自旋,测量结果应该是: l↓50% 笫一种结罘显是违反角动量守恒定的 窦验结釆垦确凿的,违反角初量守恒定的结釆不会姑现 曳于、②曳予自旋的相头植是完无缺的.→无论存 演如何,忐矢量的坍塌辨时蚁生的
你可以设想态矢量的坍塌 | y “ 1 ? 2 ” |Òy b |Óy ´ |Óy b |Òy ı ù |Òy b | y 不是瞬时的，而是以一定的速度传播的. 但是，此设想会导 致角动量守恒定律被违反. 如果我们在电子态矢量坍塌的消 息传到之前测量正电子的自旋，测量结果应该是： | y “ $ & % |Òy 50% |Óy 50% 第一种结果显然是违反角动量守恒定律的. 实验结果是确凿的，违反角动量守恒定律的结果不会出现： 电子、正电子自旋的相关性是完美无缺的. ù 无论本 质如何，态矢量的坍塌是瞬时发生的. 9 / 27
纣缠起: 闫旋单怠钽合 ↑>⑧|〉-|4>⑧|↑ 不詐示为两个单粒子忐的乘积,从而无分别单独讨论一个 耘于的,这是薛定谔所定义的钟锺忐( (entanglement))的经典例 ◎EPR佯谬元分利用了钟缠忐中曳于、囡曳于自旋的相性 Bl不等式: 1964年,Bl閃了一条定理:佞何定的变量理论岡量于力 都是不相容的
纠缠态： 自旋单态组合 | y “ 1 ? 2 ” |Òy b |Óy ´ |Óy b |Òy ı 不能表示为两个单粒子态的乘积，从而无法分别单独讨论每一个 粒子的态. 这是薛定谔所定义的纠缠态 (entanglement) 的经典例证. 1 EPR 佯谬充分利用了纠缠态中电子、正电子自旋的相关性. Bell 不等式： 1964 年，Bell 证明了一条定理：任何定域的隐变量理论同量子力 学都是不相容的. 10 / 27