《电子储存环物理》课程教学资源（PPT课件讲稿）第八讲 束流发射度与光源亮度束流不稳定性

电子储存环物理 第八讲 束流发射度与光源亮度 束流不稳定性

第八讲 束流发射度与光源亮度 束流不稳定性

束流发射度及光源亮度 O束流发射度 O同步辐射光源的光通量及亮度 铁 Undulator(波荡器) Wiggler(扭摆器)

束流发射度及光源亮度 束流发射度 同步辐射光源的光通量及亮度 弯铁 Undulator(波荡器) Wiggler(扭摆器)

束流不稳定性 O束流不稳定性的分类 O尾场和阻抗 o电子储存环中束流不稳定性

束流不稳定性 束流不稳定性的分类 尾场和阻抗 电子储存环中束流不稳定性

束流发射度

束流发射度

相空间表述 经典力学中,给定一个粒子在时刻的位置和动量p,以及在它在 该时刻的受力状态,那么该粒子的运动就可以被完全确定下来 r=x;x+yi y+Ei 2 p=prix+Pyiy+p i 2 F=FX+Fy+F2 很方便使用六维相空间的概念来描述第1个粒子的运动状态 Xi, Pxi, yi, pyi,=i, Pai 通常,六维相空间可以被分解成为三个二维相空间处理 xi, p P 粒子系统的表述 在粒子统计过程中,一个粒子失去了独立性,其本身的特性已经 是无关紧要的了,粒子系统作为一个整体被研究,我们研究其整体 的参数的特性与变化可以利用相空间来描述粒子系统。 「fnh,,在:=NJ2Dmn=Nm=x,y

相空间表述 经典力学中, 给定一个粒子在时刻t的位置r和动量p，以及在它在 该时刻的受力状态，那么该粒子的运动就可以被完全确定下来 r x x y y z z i i i i = ˆ + ˆ + ˆ p p x p y p z xi yi zi = ˆ + ˆ + ˆ F F x F y F z x y z = ˆ + ˆ + ˆ 很方便使用六维相空间的概念来描述第i个粒子的运动状态  x p y p z p i xi i yi i zi , , , , ,  通常，六维相空间可以被分解成为三个二维相空间处理 xi , pxi yi , pyi zi , pzi 在粒子统计过程中,一个粒子失去了独立性,其本身的特性已经 是无关紧要的了, 粒子系统作为一个整体被研究,我们研究其整体 的参数的特性与变化.可以利用相空间来描述粒子系统。 粒子系统的表述 f dwdp N w x y z D w , , 2 = =  f D dx dpx dy dpy dz dpz = N  6

连续性方程 0p+Y·p=0 at y·n P(x,y,z, tdx dy d-z= mass inthe volumed dM dm=-pv, dt ds=-py n ds dt v·ndS p下nS But it is also true that: M=Lpd dt jody pv·ndS pd=-V·pvd Fn△S=VF∥→「 p·ndS V·p 高斯散度定理 +V·pν=0 t

 ( x y z t dx dy dz massinthevolume dV , , , )  dm v dt dS v n dS dt n = − = −  v n dS dt dm = −   = −  S v n dS dt dM   = V M  dV   = −  V S dV v n dS dt d      =  S V F n dS F dV    =  S V  v n dS  v dV   = −  V V dV v dV dt d   +  = 0   v t   n v vn = v n dS But it is also true that: 连续性方程 +  = 0   v t   高斯散度定理

哈密顿系统 在2n维相空间的“状态坐标”向量U=(,p,…,qn,p),其中q P是一对位置-动量坐标,运动系统各力皆为保守力时,体系有哈 密顿量H(相当于总能量): q≡(1,q2…,qN dp, aH dq. aH P P≡{1,P2…,P 保守力:在物理系统里,假若一个粒子,从起始点移动到终结点,由于受到 作用力,所做的功,不因为路径的不同而改变,则称此力为保守力 02H ag aH aq ap qi op, oqi P 例如在保守力重力作用下的自由落体运动,总能量H=势能+动能。 h=-mgnta? Pah dv dpah dx =-nxX+— =-m2g=-m 2 dt

哈密顿系统 i i i dq H q dt p  = =  i i i dp H p dt q  = = −     , ,...., , , ,...., , 1 2 1 2 N N p p p p q q q q   在2n维相空间的“状态坐标”向量U=(q1 , p1 , … , qn , pn )，其中qi , pi是一对位置-动量坐标，运动系统各力皆为保守力时，体系有哈 密顿量H(相当于总能量)： 保守力：在物理系统里，假若一个粒子，从起始点移动到终结点，由于受到 作用力，所做的功，不因为路径的不同而改变，则称此力为保守力 例如在保守力重力作用下的自由落体运动,总能量H=势能+动能。 i i i i q H q p q   =    2 i i i i p H p q p   = −    0 i i i i q p q p   + =   2 1 2 2 2 P H mgh mv mgx m = − + = − + H P dx v p m dt  = = =  H dv dp mg m x dt dt  = − = − = − 

刘维尔定理 Liouville Theorem: The phase space density for a Hamiltonian system is an invariant of the motion Or equivalently, the phase space volume occupied by the system is conserved Ietp≡f0(x,p)and=(,p}常数:加速器物理:相空间密度不变,或相 空间体积守恒。 of2D+y·f a2b,(1),∂(i,f2)_O2o,02 2D文 i D f at at at a 02H 02H 对于哈密顿系统f2D∞+f2D=2 D 连续性方程 +V·p=0 at +V·f2D=0 f2p o2p Op:. O2D x十 0 at a 2D

刘维尔定理 Let   f 2D (x, px ) and v  x  , p  x  ( ) ( ) x x f p p p f p f x x f t f p p f x x f t f f v t f D x x x D x D D D x D D x D D D   +   +   +   +   =   +   +   +  =         2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 =    −    =   +   x D x D x x D D x p H f x p H f p p f x x f   2 2 2 2 0 D D D D x x df f f f x p d t t x p    = + + =    0 2 = d t df D 对于哈密顿系统 连续性方程 +  = 0   v t   2 2 0 D D f f v t  +   =  Liouville Theorem: The phase space density for a Hamiltonian system is an invariant of the motion. Or equivalently, the phase space volume occupied by the system is conserved. 刘维尔定理：复变函数：有界的调和函数是 常数；加速器物理：相空间密度不变，或相 空间体积守恒

Xx X +1x2-2 Xx=8 rms ∑ dx dx ∑ X.xX x2)x f2 Dur,rdxrdr' 「2D(,x) ∑x,x x'f20(x,x) N∫n(x,x)d x-)(x rs 沿储存环各点的横向相空间椭圆(包括x方向和y方向)可以用计算聚焦 结构的程序计算出来。根据刘维尔定理,环上各点的相椭圆尽管其形状不 同,但其面积是相等的,即所谓相空间守恒。任意一点的相空间椭圆的面 积都代表该储存环的束流发射度。计算相椭圆的面积的简单办法是选一个 正椭圆,若知道其长半轴为σx,短半轴为x,则x方向的束流发射度为 Ex=nOxBOxB or a=OxBOxB (normalized) 同理,=n0 BOyB or 8,y=Oyyg( normalized)

2 2 2 x x x x rms  =  −  x x  2 x  2 x ( ) ( )        =  = f x x dx dx x f x x dx dx N x x D D N n n , , 2 2 2 1 2 2 ( ) ( )            = = f x x dx dx x f x x dx dx N x x D D N n n , , 2 2 2 1 2 2 ( ) ( )            = = f x x dx dx x x f x x dx dx N x x x x D D N n n n , , 2 2 1 rms rms rms rms x x x x x x x x      =  +  −  2 2 2 2 2 沿储存环各点的横向相空间椭圆（包括x方向和y方向）可以用计算聚焦 结构的程序计算出来。根据刘维尔定理，环上各点的相椭圆尽管其形状不 同，但其面积是相等的，即所谓相空间守恒。任意一点的相空间椭圆的面 积都代表该储存环的束流发射度。计算相椭圆的面积的简单办法是选一个 正椭圆，若知道其长半轴为  x ，短半轴为 ，则x方向的束流发射度为 '  x ' ' (normalized) x x x x x x           = = or ' ' (normalized) y y y y y y     同理       = = or

实践上使用任意一点的uB和β函数值来计算束流发射度, 参考第四章束团尺寸的讨论 xB(s)=avB, cos(o), x'B(s)=-sin() 2B3 xB 2B1(B 上式中我们取(x)时已经假定=0 这样我们可以得到水平方向的束流发射度为 或者利用公式 x-)(x x、n2國(xx)=0

( ) cos( ), ' ( ) sin( ) ( ) 2 x x x x a x s a x s x s           = = − + 2 2 2 x x x x rms  =  −  或者利用公式 2 sin 2 2 a x x  = −  x x  = 0 实践上使用任意一点的𝜎𝑢𝛽和β函数值来计算束流发射度， 参考第四章束团尺寸的讨论 2 2 '2 '2 2 x x x x a x          = = =     2 ' x x x x x         = = 上式中我们取 时已经假定β ′ = 0。 '2 x  这样我们可以得到水平方向的束流发射度为