§23薛定谔方程 量子理论的两种表达方式: 1)海森堡、波恩和约丹等人1925年发展起来 的矩阵方法一数学模型较复杂。 2)薛定谔与狄拉克于1926年建立的波动方法 描述物质波连续时空演化的偏微分方程 薛定愕方程,给出了量子论的另一个数 Erwin Schrodinger 学描述——波动力学。 1887~1961 特点:薛定谔方程是量子力学的最基本方程; 不是经过严格的推导而获得的; 它是用试探方法找到的或者说是“猜”到的
2）薛定谔与狄拉克于1926年建立的波动方法 —描述物质波连续时空演化的偏微分方程 —薛定愕方程，给出了量子论的另一个数 学描述——波动力学。 §2-3 薛定谔方程 Erwin Schrodinger 1887～1961 量子理论的两种表达方式： 1）海森堡、波恩和约丹等人1925年发展起来 的矩阵方法 — 数学模型较复杂。 薛定谔方程是量子力学的最基本方程； 不是经过严格的推导而获得的； 它是用试探方法找到的或者说是“猜”到的。 特点：
既然所有物质都具有波粒二象性,理所当然可以用波的形 式表达式来描述粒子的行为。波具有时、空两种周期性, 最简单的平面单色波振动的波函数可以表示为: (G,)=V0(k7-2)27:2b= h 2丌 若用复数表示为:v/(,D)=W0e i(k.r-at) 若用粒子动量和能量p=Mk,E=hO 则自由粒子的 波函数可写为Vy(,1)=ex (p·F-ED
• 既然所有物质都具有波粒二象性，理所当然可以用波的形 式表达式来描述粒子的行为。波具有时、空两种周期性， 最简单的平面单色波振动的波函数可以表示为: 0 ( , ) cos( ) r t k r t = − 若用复数表示为： ( ) 0 ( , ) i k r t r t e − = 2 p p k h = = 2 h = 若用粒子动量和能量 p k E = = , 则自由粒子的 波函数可写为 0 ( , ) exp ( ) i r t p r Et = −
或者一般波函数可以写为 y(x, t)=voe i( k.x-ot) (p. x-et)/h ·对波函数的要求 粒子不能产生和湮灭,即总能在空间某处发现该粒子,必须有 flv(, D)d'X=1百1wedx=A 可 等于常数A 对于上述积分不 等于1的波函数 vx 波函数的 归一化 d'X 归一化条件 A因子 可进行“归一化”√A 几率是相对的,都乘以一个因子后,没有变化
• 对波函数的要求 • 粒子不能产生和湮灭，即总能在空间某处发现该粒子，必须有 ( ) ( )/ 0 0 ( , ) ei t i p x Et h t e − − = = k x x 2 3 ( , ) d 1 V t X = x 2 3 ( , ) d V t X A = x 2 3 ( , ) d 1 V t X A = x A 1 归一化 因子 几率是相对的，都乘以一个因子后，没有变化 或者一般波函数可以写为 波函数的 归一化条件 由于几率总是相 对的，该积分也 可等于常数A 对于上述积分不 等于1的波函数 可进行“归一化” ←
事实上,归一化并非总是需要的,而且有些波函数 不能归一化,例如,单色浪或自由粒子,由于它们 在空间各处的几率都相等,因而有: ● (x tl dX= i(K.@t dx
事实上，归一化并非总是需要的，而且有些波函数 不能归一化，例如，单色波或自由粒子，由于它们 在空间各处的几率都相等，因而有： 2 2 ( ) 0 ( , ) i K r t V x t dX e dX + − − = 2 0 dX + − = =
1)自由粒子的薛定谔方程(或者单色平面波的薛定谔方程) 若把该方程视为量子力学的基本假设,不必要推导它。下面 我们只对方程的合理性进行说明,再引入有关算符的概念。 波函数 V(x, t)=voe i(k.x-ot) i p.)/h x=(xe, ye ze.k=(k,er, k, e,,ke )p(p,,,pe,, p.e) 位矢 波矢 粒子的动量 利用粒子的能量和动量表达式 h hh2丌 E=h=2兀 2Iv=ho p 12x 对波函数进行一系列微分运算
1）自由粒子的薛定谔方程（或者单色平面波的薛定谔方程） 2 2 h E h = = = ( ) ( )/ 0 0 ( , ) e e i t i Et t − − = = k x p x x ( , , ) x y z x e e e = x y z ( , , ) x x y y z z k e e e = k k k ( , , ) x x y y z z p e e e = p p p 位矢 波矢 粒子的动量 波函数 对波函数进行一系列微分运算 2 2 h h p k = = = 利用粒子的能量和动量表达式 若把该方程视为量子力学的基本假设，不必要推导它。下面 我们只对方程的合理性进行说明，再引入有关算符的概念
对波函数(x,D)=ve i(k.x-ot) e(pxB)进行时间微分 有 的C(x,t Oe (k x-at) hoy(, t)=Ey(x, t) at at 再对坐标变量进行微分 dy(r ae i(k.x-@t) =hk,y(x, t)=py(x, t) ax 再一次对坐标变量求微分,有 i(-一)=-i ay(x P2=p(x,) aV(x, t) 即 ax 2=p2V(x,D)
( ) ( )/ 0 0 ( , ) i t i Et t e e − − = = k x p x x ( ) 0 ( , ) ( , ) ( , ) i t t e i i t E t t t − = = = k x x x x ( ) 0 ( , ) ( , ) ( , ) i t x x t e i i k t p t x x − − = − = = k x x x x 2 ( , ) ( ) ( , ) x x t i i i p p t x x x − − = − = x x 2 2 2 2 ( , ) ( , ) x t p t x − = x x 对波函数 进行时间微分 再对坐标变量进行微分 有 再一次对坐标变量求微分，有 即
同理12V(x2) p*y(x, t)-h ay(x, t) p-v(x, t) Qx2+2+a2k(x0)=[p2+p3+](x 用微分算符表示为 2 2 Vy(x, t=P-v(x, t=Ew(x 2m 2 其中 2+2拉普拉斯算符E 水k2m 2=p2+p2+ 粒子的动能
2 2 2 2 ( , ) ( , ) y t p t y − = x x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 [ ] ( , ) [ ] ( , ) x y z t p p p t x y z − + + = + + x x 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 k p t t E t m m − = = x x x 2 2 2 2 ( , ) ( , ) z t p t z − = x 同理 x 用微分算符表示为 其中 2 2 2 2 2 2 2 x y z = + + 2 2 2 2 x y z p p p p = + + 2 2 k p E m = 粒子的动能 拉普拉斯算符
由于自由粒子不受外力,没有势能,它的总能量就是它的动 能,即 2 E=Ek 2m 所以汤5(x1) Ey(x, t=Ey(x, t) 的C(, 2 t) h Vy(, t) 2 P53,23.5式 自由粒子的薛定谔方程
2 2 ( , ) ( , ) 2 t i t t m = − x x ( , ) ( , ) ( , ) k t i E t E t t = = x x x 自由粒子的薛定谔方程 由于自由粒子不受外力，没有势能，它的总能量就是它的动 能，即 2 2 k p E E m = = 所以 P53, 2.3.5式
2)势场(外场)中粒子的薛定谔方程 对于处于势场中的粒子,除了动能,还有势能 E=E+En=-+V(x,1) 哈密顿量 2 重复上述计算过程,可得到势场中运动粒子的薛定谔方程 lih oW(,ty [V+v(x, ou(r 2 其中E→边 01-iVE→_hz2 2m 力学量算符h2 V2+(x,t) 哈密顿算符
2 ( , ) 2 k p p E E E V t m = + = + x 2 2 ( , ) [ ( , )] ( , ) 2 t i V t t t m = − + x x x E i t → p → − i 对于处于势场中的粒子，除了动能，还有势能 2 2 ( , ) 2 V t m − + x 哈密顿算符 哈密顿量 2）势场(外场)中粒子的薛定谔方程 力学量算符 2 2 2 Ek m → − 重复上述计算过程，可得到势场中运动粒子的薛定谔方程 其中
ay(r, t) h =[V2+V(x,)(x,) at 方程物理意义的讨论: 1)描述了一个质量为m的粒子,在势场中随时间变化运动状 态。由于方程只含有一次微商,也就是说只要t=o的初始状态 给定,此后任意时刻的状态就可完全确定。 2)薛定谔浪动方程揭示了微观世界中物质运动的基本规律, 提供了系统、全面、定量处理微观粒子运动的基本理论。 3)方程给出了波函数随时间变化的因果关系关系,其因果关 系的实际含义与经典力学不同
2 2 ( , ) [ ( , )] ( , ) 2 t i V t t t m = − + x x x 方程物理意义的讨论： 1）描述了一个质量为m的粒子，在势场中随时间变化运动状 态。由于方程只含有一次微商，也就是说只要t=o的初始状态 给定，此后任意时刻的状态就可完全确定。 2）薛定谔波动方程揭示了微观世界中物质运动的基本规律， 提供了系统、全面、定量处理微观粒子运动的基本理论。 3）方程给出了波函数随时间变化的因果关系关系，其因果关 系的实际含义与经典力学不同：
