7.8常系数非齐次线性微分方程
7.8 常系数非齐次线性微分方程
>思路二阶常系数线性非齐次微分方程：(p,q为常数）y"+ py'+qy= f(x)通解：=Y+*一解的结构定理齐次方程通解非齐次方程特解>关键求出非齐次方程的特解>方法待定系数法根据f(x)的特殊形式，给出特解*的待定形式代入原方程比较两端表达式以确定待定系数
y + py + qy = f (x) ( p, q 为常数) 二阶常系数线性非齐次微分方程 : y = Y + y * 解的结构定理 齐次方程通解 非齐次方程特解 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法 ➢思路 通解: ➢关键 求出非齐次方程的特解 ➢方法 根据 f (x) 的特殊形式 , 给出特解 的待定形式
常系数非齐次线性微分方程f(x)=exxPm(x)型一、二、f(x)=exx[P(x)cosのx + P,(x)sinox)型三、高阶线性微分方程的物理应用举例
常系数非齐次线性微分方程 一、 二、 f x P x x l x ( ) = e [ ( )cos P (x)sin x] + n 三、高阶线性微分方程的物理应用举例 型 f ( x) e P ( x) m x = 型
常系数非齐次线性微分方程一、f(x)=et*Pm(x)型、f(x)= exx[P(x)cosox + P,(x)sinox)型三、高阶线性微分方程的物理应用举例
常系数非齐次线性微分方程 一、 二、 f x P x x l x ( ) = e [ ( )cos P (x)sin x] + n 三、高阶线性微分方程的物理应用举例 型 f ( x) e P ( x) m x = 型
f(x) =eaxP (x)入为实数，Pm(x)为m次多项式多项式函数2=0 一f(x)=Pm()指数函数m=0 一 f(x)= Aeax其它 →f(x)=e*Pm(x)指数函数与多项式函数乘积>特解形式2不是特征方程的根→k=0y* = x*Om(x)eax2是特征方程的单根→k=1人(>是特征方程的重根—→k=2>解题步骤写出f(x），明确入和m设特解写出特征方程，确定k代入方程，比较系数求特解列出等式，求出系数
为实数 , P (x) ( ) e ( ) m 为 m 次多项式 . x m f x P x = =0 ( ) ( ) m f x P x = 多项式函数 m =0 ( ) e x f x A = 指数函数 其它 ( ) e ( ) x 指数函数与多项式函数乘积 m f x P x = ➢特解形式 ( )e k x m y x Q x = 不是特征方程的根 k=0 是特征方程的单根 k=1 是特征方程的重根 k=2 ➢解题步骤 写出f(x)，明确和m 写出特征方程，确定k 设特解 求特解 代入方程，比较系数 列出等式，求出系数
例1求方程"-2y-3y=3x+1的一个特解解:f(x)=3x+1, =0, m=1对应的齐次方程的特征方程 :r2 2 r -3=0入=0不是特征方程的根设所求特解为 y*=box + bi;代入方程得：-3box -3bi -2bo = 3x +1比较系数，得[-3bo =3bo =-1, bi =(-2bo -3bi =1所求特解为*=-x+
◆例1 的一个特解. 解: 对应的齐次方程的特征方程： 设所求特解为 代入方程得: 比较系数, 得 3 1 1, b0 = − b1 = 所求特解为 不是特征方程的根 . f x x ( ) 3 1 , = + = 0 , m = 1
例2求方程y"-5y+6y=xe?的通解解：对应的齐次方程的特征方程 :r2 - 5r +6 = 0 特征根r=2, r =33.x对应齐次方程的通解:Y =C,e2xaf(x)= xe2x，=2, m=1 =2是特征方程的单根2x设非齐次方程特解为y*=x(b,x+b)e代入方程得 -2 bo x- b + 2 bo = x比较系数,得「 - 2bo =1 →bo =bi = -1[2bo -b = 0特解为y*=x(-x-1)e2x 所求通解为y=C,e2*+C,e3*-(x2 +x)e2x
◆例2 5 6 0 , 2 r − r + = 特征根 对应齐次方程的通解： 设非齐次方程特解为 x y x b x b 2 0 1 * = ( + )e 比较系数, 得 , 1 2 1 b0 = − b1 = − 特解为 * ( 1)e . 2 2 1 x y = x − x − 代入方程得 − b x − b + b = x 2 0 1 2 0 所求通解为 ( )e . 2 2 2 1 x − x + x 解: 对应的齐次方程的特征方程： 2 ( ) e , x f x x = = 2, m = 1 = 2 是特征方程的单根 x y y y x 2 求方程 − 5 + 6 = e 的通解
y"+3y" +2y'=1例3求解定解问题y(0) = y'(0) = y"(0) = 0解：对应的齐次方程的特征方程：r3+3r2+2r=0,特征根 r = 0, r2 =-1, r =-2对应齐次方程通解 Y =Ci+ C, e-*+Ce-2xf(x)=1,=0,m=0 =0 是特征方程的单根设非齐次方程特解为y*=bx,代入方程得2b=1，故*=亏x原方程通解为y=Ci +C,e-+C3
求解定解问题 = = = + + = (0) (0) (0) 0 3 2 1 y y y y y y 解: 特征根 设非齐次方程特解为 代入方程得 故 对应齐次方程通解 Y = C1 x C − + e2 x C 2 3 e − + 原方程通解为 C1 y = x C − + e2 x C 2 3 e − + 对应的齐次方程的特征方程： f x( ) 1, = = 0, m = 0 = 0 是特征方程的单根 ◆例3
Ci=-34Ci +C2 +C3 = 0由初始条件得C2 = 1-C2 -2C3 = -→C3 =- 14C2 + 4C3 = 0于是所求解为3+2x+4e-x-e-
于是所求解为 y x x x 2 1 e 4 1 e 4 3 2 = − + − + − − = − = = − 4 1 1 4 3 3 2 1 C C C 2 1 由初始条件得 −C2 − 2C3 = −
常系数非齐次线性微分方程一、f(x)=et*Pm(x)型、f(x)= exx[P(x)cosox + P,(x)sinox)型三、高阶线性微分方程的物理应用举例
常系数非齐次线性微分方程 一、 二、 f x P x x l x ( ) = e [ ( )cos P (x)sin x] + n 三、高阶线性微分方程的物理应用举例 型 f ( x) e P ( x) m x = 型