第13章拉普拉斯变换 重点 1)拉普拉斯变换的基本原理和性质 (2)掌握用拉普拉斯变换分析线性电 路的方法和步骤 (3)电路的时域分析变换到频域分析 的原理 “理形步文通大浮
第13章 拉普拉斯变换 ⚫重点 (1) 拉普拉斯变换的基本原理和性质 (2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电 路的方法和步骤 (3) 电路的时域分析变换到频域分析 的原理
13.1拉普拉斯变换的定义 1.拉氏变换法 拉氏变换法是一种数学积分变换,其核心是把时间函数 f(t)与复变函数F(s)联系起来,把时域问题通过数学变换 为复频域问题,把时间域的高阶微分方程变换为复频域的 代数方程以便求解。 例熟悉的变换 1对数变换把乘法运算变换为加法运算 A×B=AB y↓个 Ig A+lg B=lg ab “理形步文通大浮
拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数 f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换 为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的 代数方程以便求解。 13.1 拉普拉斯变换的定义 1. 拉氏变换法 例 熟悉的变换 1 对数变换 A B AB A B AB lg lg lg + = = 把乘法运算变换为加法运算
2相量法把时域的正弦运算变换为复数运算 正弦量i1+i2=i ↓↓=个 相量1+12=I 拉氏变换: 对应 时域函数几(原函数) 复频域函数F(5)(象函数) 简写F(s)=[f(t)] s为复频率s=a+jo 应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频城分析 法,又称运算法 理步文通大浮
2 相量法 I I I i i i + = = + = 1 2 1 2 相 量 正弦量 把时域的正弦运算变换为复数运算 简写 F(s) = f (t) 对应 拉氏变换： 时域函数f(t)(原函数) 复频域函数F(s)(象函数) s为复频率 s = + j 应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析 法，又称运算法
2.拉氏变换的定义t<0,八)=0 F(s)=f(te sdt 正变换 f∫(t) F(Seds C- oo 反变换 0积分下限从0开始,称为0拉氏变换。 0 0+积分下限从0开始,称为0+拉氏变换 今后讨论的拉氏变换均为0拉氏变换计及0时包含 的冲击。 理步文通大浮
2. 拉氏变换的定义 = = + − + − − ( ) (s) (s) ( ) F e ds j f t F f t e dt s t c j c j s t 2 1 0 正变换 反变换 t < 0 , f(t)=0 + − 0 0 0 积分下限从0 − 开始，称为0 − 拉氏变换 。 积分下限从0 + 开始，称为0 + 拉氏变换 。 今后讨论的拉氏变换均为 0 − 拉氏变换,计及t=0时f(t)包含 的冲击
简写 F(S)=Df(t)]正变换 f()=[F(S)]反变換 注①F(S)=「rf()e"dn=mf(l"t+(le"dt 在t=0至t=0+ f(t=8(t)时此项≠0 ②象函数F()用大写字母表示如I(s),U(s) 原函数(t)用小写字母表示,如it),u(t)。 ⑧象函数f(s存在的条件 ef(l"t<∞c”为收敛因子 “理形步文通大浮
注 在t＝0 − 至t＝0＋ f(t)=(t)时此项 0 = = − ( ) ( ) ( ) ( ) f t F S F S f t 简 写 1 正变换 反变换 F S f t e d t f t e d t f t e d t s t s t s t + − − + − + + = − = − + 0 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s)，U(s)。 原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)。 2 3 象函数F(s) 存在的条件： − − f t e dt st 0 ( ) e −st 为收敛因子
如果存在有限常数M和c使函数f()满足: f(t)≤Meat∈[0,) 则[f(t) e-stdts me -(s-c)ddt M 总可以找到一个合适的s值使上式积分为有限值,即 的拉氏变换式F(s)总存在。 “理形步文通大浮
如果存在有限常数M和c使函数f(t)满足： f (t) Me t [0,) ct f t e dt Me dt t c t − − − − − 0 0 s (s ) ( ) C M − = s 则 总可以找到一个合适的s值使上式积分为有限值，即 f(t)的拉氏变换式F(s)总存在
3典型函数的拉氏变换 F(S)=∫+of(esdt (1)单位阶跃函数的象函数 f(t=8(t) F()=a()-=ma("=et 0o is-a 0 “理形步文通大浮
3.典型函数的拉氏变换 (1)单位阶跃函数的象函数 ( ) ( ) 0 F S f t e dt st + − − = f (t) = (t) F s t t e dt −s t = = − 0 ( ) [ ( )] ( ) 0 1 = − −st e s s 1 = − + = 0 e dt st
(2)单位冲激函数的象函数 f(t)=6(t) F()=6()-6(2"t=!ror)e"t e (3)指数函数的象函数 f(t) F(s)= ere"e"h-+10° “理形步文通大浮
(3)指数函数的象函数 0 1 + = − −( s−a )t e s a s − a = 1 (2)单位冲激函数的象函数 + − − = 0 0 (t )e dt st f (t) = (t) F s t t e dt −s t = = − 0 ( ) [ ( )] ( ) 1 0 = = −s e at f (t ) = e F(s ) e e e dt a t a t −s t = = − 0
132拉普拉斯变换的基本性质 1线性性质 若Lf(t)=F1(S),</t川=F2(S) 则2[A,f(t)+A2f(t力小=A.2Lx+A2[( =A1F1(S)+A2F2(S) 证:[A,f()+A2f2(t)=「[Af(t)+Ayd A,f(t)e dt+a2f2(t)e dt A1F1(S)+A2F2(S) “理形步文通大浮
13.2 拉普拉斯变换的基本性质 1.线性性质 f (t ) f (t )e dt −s t = + 0 A1 1 A2 2 f (t )e dt f (t )e dt s t −s t − = + 0 2 2 0 A1 1 A F ( S ) F ( S ) = A1 1 + A2 2 F ( S ) F ( S ) = A1 1 + A2 2 f (t ) F ( S ) f (t ) F ( S ) 1 1 2 2 若 [ ]= , [ ]= f (t ) f (t ) A1 1 A2 2 则 + f (t ) f (t ) 1 1 2 2 = A + A f (t ) f (t ) A1 1 A2 2 证： +
根据拉氏变换的线性性质,求函数与常数相乘及几个 函数相加减的象函数时,可以先求各函数的象函数再进行 计算。 例1求:f()=U(t)的象函数 解F()=(o0-0go)]= 例2求:f(t)=sin(at)的象函数 解F(s)=gsin(a)]=2|,;-- s-jS+jo」s2+a “理形步文通大浮
求: f (t) = U (t )的象函数 + − − = S j 1 S j 1 2 j 1 2 2 + = S 例1 解 S U F(s) = [U (t)] = U (t) = 例2 求: f (t) = sin( t)的象函数 解 F(s) = sin(t) = − − ( ) j t j t e e 2 j 1 根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个 函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行 计算