2.1-2.2概述、轴向拉伸与压缩 1.教学目标 1)掌握轴力的计算方法及轴力图的绘制 2)掌握轴向拉伸(压缩)时的应力分布规律及计算 3)了解轴向拉伸或压缩时的变形胡克定律的两种形式 2.教学重点和难点 重点:轴力图的绘制应力计算胡克定律计算形变量 难点:轴力的符号问题线应变ε 3.教学手段与方法: 多媒体 4.讲授学时:4学时 2.1概述 2.1.1材料力学的任务 构件:机械或结构物的每一组成部分称为构件,构件的承载能力一般从以下三方面衡量。 1.足够的强度 在材料力学中,构件抵抗破坏的能力称为强度。在载荷作用下构件应不致于破坏,即具 有足够的强度 2.足够的刚度 构件抵抗变形的能力称为刚度。在载荷作用下构件所产生的变形应在工程允许的范围以 内,即具有足够的刚度。 3.足够的稳定性 某些构件,例如细长直杆,在一定数值的压力作用下不再保持其原有的直线形状下的平 衡状态,而突然变弯或折断。构件在原有几何形状下保持平衡的能力称为构件的稳定性 1.2材料力学的基本假设 由各种固体材料制成的构件在载荷作用下将产生变形,故称变形固体或变形体。为了便 于理论分析和实际计算,对变形固体作以下基本假设
2.1- 2.2 概述、 轴向拉伸与压缩 1．教学目标 1）掌握轴力的计算方法及轴力图的绘制 2）掌握轴向拉伸（压缩）时的应力分布规律及计算 3）了解轴向拉伸或压缩时的变形 胡克定律的两种形式 2．教学重点和难点 重点：轴力图的绘制 应力计算 胡克定律计算形变量 难点： 轴力的符号问题 线应变ε 3．教学手段与方法： 多媒体 4.讲授学时：4 学时 2．1 概 述 2．1．1 材料力学的任务 构件：机械或结构物的每一组成部分称为构件，构件的承载能力一般从以下三方面衡量。 1．足够的强度 在材料力学中，构件抵抗破坏的能力称为强度。在载荷作用下构件应不致于破坏，即具 有足够的强度。 2．足够的刚度 构件抵抗变形的能力称为刚度。在载荷作用下构件所产生的变形应在工程允许的范围以 内，即具有足够的刚度。 3．足够的稳定性 某些构件，例如细长直杆，在一定数值的压力作用下不再保持其原有的直线形状下的平 衡状态，而突然变弯或折断。构件在原有几何形状下保持平衡的能力称为构件的稳定性。 2．1．2 材料力学的基本假设 由各种固体材料制成的构件在载荷作用下将产生变形，故称变形固体或变形体。为了便 于理论分析和实际计算，对变形固体作以下基本假设
1.连续性假设构件在其所占用的整个体积内毫无空隙地充满了物质。 2.均匀性假设整个构件由同一材料制成,其任意部分都具有相同的力学性能 3.各向同性假设认为材料在各个方向的力学性能均相等。 4.小变形假设认为构件受力后的变形与构件原始尺寸相比是极其微小的。 5完全弹性假设当载荷不超过一定限度时,材料在载荷作用下的变形,在撤去载荷后可全 部消失,这种变形称为弹性变形。 2.1.3杆件变形的基本形式 杆件即长度尺寸远大于横向尺寸的构件。杆件的几何特点由轴线和横截面描述。 轴线:横截面与杆的长度方向相垂直:横截面形心的连线称为轴线。 杆件变形的基本形式有以下四种 (1)轴向拉伸与压缩,如图2.1所示 图2.1图2.2 图2.4 (2)剪切,如图2.2所示。(3)扭转,如图2.3所示 (4)弯曲,如图2.4所示。 2.1.4内力、截面法、应力 1内力:构件内部质点之间相互作用力(固有内力)的改变量即由外力作用而引起的“附 加内力”,简称内力。 2.截面法 截面法是分析、计算内力的方法,就是假想用一截面把构件截为两部分,取其中一部分 对研究对象,并以内力代替另一部分对研究部分的作用,根据研究部分内力与外力的平衡来 确定内力的大小和方向。 如图2.5所示可求出截面mm上的内力 3.应力 截面法可以确定杆件截面上内力的合力,但不能确定内力在截面上的分布密度,由此需 引入应力的概念
1．连续性假设 构件在其所占用的整个体积内毫无空隙地充满了物质。 2．均匀性假设 整个构件由同一材料制成，其任意部分都具有相同的力学性能。 3．各向同性假设 认为材料在各个方向的力学性能均相等。 4．小变形假设 认为构件受力后的变形与构件原始尺寸相比是极其微小的。 5.完全弹性假设 当载荷不超过一定限度时，材料在载荷作用下的变形，在撤去载荷后可全 部消失，这种变形称为弹性变形。 2．1．3 杆件变形的基本形式 杆件 即长度尺寸远大于横向尺寸的构件。杆件的几何特点由轴线和横截面描述。 轴线：横截面与杆的长度方向相垂直；横截面形心的连线称为轴线。 杆件变形的基本形式有以下四种： (1) 轴向拉伸与压缩，如图 2.1 所示。 图 2.1 图 2.2 图 2.3 图 2.4 (2)剪切，如图 2.2 所示。(3)扭转，如图 2.3 所示。 (4)弯曲，如图 2.4 所示。 2.1.4 内力、截面法、应力 1.内力：构件内部质点之间相互作用力(固有内力)的改变量即由外力作用而引起的“附 加内力”，简称内力。 2．截面法 截面法是分析、计算内力的方法，就是假想用一截面把构件截为两部分，取其中一部分 对研究对象，并以内力代替另一部分对研究部分的作用，根据研究部分内力与外力的平衡来 确定内力的大小和方向。 如图 2.5 所示可求出截面 m-m 上的内力。 3．应力 截面法可以确定杆件截面上内力的合力，但不能确定内力在截面上的分布密度，由此需 引入应力的概念
图2.5截面法 图2.6应力的概念 平均应力Pm如图2.6a所示,pn △F △FdF K点的全应力p:p=lim △→0△4dA p是一个矢量,通常把p分解为两个正交的分量:垂直于截面的分量o称为正应力,切于截 面的分量τ称为切应力,如图2.6b所示。 应力的单位是Pa(帕),1Pa=1N/m2。另外,在工程实践中还常用MPa和GPa,其换算关 系为IMPa=10°Pa,lGPa=10°Pa。 2.2轴向拉伸与压缩 2.21轴向拉伸与压缩的概念 工程中杆件承受轴向拉伸或压缩的。例如,简易吊车中的AB杆(图2.7)、紧固螺栓(图 2.8)等是受拉伸的杆件,而油缸活塞杆(图2.9)等则是受压缩的杆件 受力特点:作用于杆件的外力合力的作用线与杆件的轴线相重合 变形特点:为沿杆轴线方向的伸长或缩短。 图2.9 2.2.2拉压杆的内力计算、轴力图 1内力的计算 图2.10a所示的拉杆受两个力F的作用,现用截面法求其内力
图 2.5 截面法 图 2.6 应力的概念 平均应力 m p 如图 2.6a 所示， A F pm = K 点的全应力 p： dA dF A F p A = = →0 lim p 是一个矢量，通常把 p 分解为两个正交的分量：垂直于截面的分量σ称为正应力，切于截 面的分量τ称为切应力，如图 2.6b 所示。 应力的单位是 Pa(帕)，1Pa=1N／m 2。另外，在工程实践中还常用 MPa 和 GPa，其换算关 系为 1MPa＝106 Pa，1GPa＝109 Pa。 2.2 轴向拉伸与压缩 2．2.1 轴向拉伸与压缩的概念 工程中杆件承受轴向拉伸或压缩的。例如，简易吊车中的 AB 杆(图 2.7)、紧固螺栓(图 2.8)等是受拉伸的杆件，而油缸活塞杆(图 2.9)等则是受压缩的杆件。 受力特点：作用于杆件的外力合力的作用线与杆件的轴线相重合。 变形特点：为沿杆轴线方向的伸长或缩短。 图 2.7 图 2.8 图 2.9 2.2.2 拉压杆的内力计算、轴力图 1.内力的计算 图 2.10a 所示的拉杆受两个力 F 的作用，现用截面法求其内力：
图2.10拉杆内力计算 用截面mm假想将杆截为两段,取左段为研究对象,并单独画出。同时,用内力Fs表 示右段对左段的作用,如图2.10b所示。根据平衡条件列出平衡方程如下 ∑F1=0F-F= 求得 如果取右段为研究对象,如图2.10c所示,所得结果相同,即 F=F 轴力:由于外力F沿杆的轴线方向,内力的合力FN也可合成为一个合力,作用于杆轴 线,故称为轴力,如图2.10d所示。 轴力的正负号规定如下:轴力的正负号由杆件的变形确定,当轴力沿轴线离开截面,即 与横截面外法线方向一致时为正,这时杆件受拉:反之轴力为负,杆件受压。一般未知指向 的轴力可假设为正向,由计算结果的正负判断截面受拉还是受压 例2-1杆件在A、B、C、D各截面处作用有外力如图2.11,求1-1、2-2、3-3横 截面处的轴力 解:由截面法,沿各所求截面将杆件切开,取左段为研究对象,在相应截面分别画出轴 力F,Fk2,Fk3,列平衡方程∑F=0 由图2.11b F,-3F-F=0 F,=3F+F=4F 同理,由图2.11c FN2-3F=0 FMa=3F 由图2.11d FN3+2F-3F-F=0 (3) 3F-2F+F=2F
图 2.10 拉杆内力计算 用截面 m—m 假想将杆截为两段，取左段为研究对象，并单独画出。同时，用内力 FN 表 示右段对左段的作用，如图 2.10b 所示。根据平衡条件列出平衡方程如下 Fx = 0 FN − F = 0 求得 FN = F 如果取右段为研究对象，如图 2.10c 所示，所得结果相同，即 FN = F 轴力：由于外力 F 沿杆的轴线方向，内力的合力 FN 也可合成为一个合力，作用于杆轴 线，故称为轴力，如图 2.10d 所示。 轴力的正负号规定如下：轴力的正负号由杆件的变形确定，当轴力沿轴线离开截面，即 与横截面外法线方向一致时为正，这时杆件受拉；反之轴力为负，杆件受压。一般未知指向 的轴力可假设为正向，由计算结果的正负判断截面受拉还是受压。 例 2—1 杆件在 A、B、C、D 各截面处作用有外力如图 2.11，求 1—1、2—2、3—3 横 截面处的轴力。 解：由截面法，沿各所求截面将杆件切开，取左段为研究对象，在相应截面分别画出轴 力 FN1，FN2，FN3，列平衡方程∑Fx=0 由图 2.11b 3 0 1 FN − F − F = (1) FN1 = 3F + F = 4F 同理，由图 2.11c 3 0 2 FN − F = (2) FN 2 = 3F 由图 2.11d 2 3 0 3 FN + F − F − F = （3） FN 3 = 3F − 2F + F = 2F
由式(1)、(2)、(3),不难得到以下结论 拉(压)杆各横截面上的轴力在数值上等于该截面一侧(研究段各外力的代数和。外力 离开该截面时取为正,指向该截面时取为负。即 Fx=∑F 求得的轴力为正时,表示轴力离开截面,此段杆件受拉;轴力为负时,表示轴力指向截面, 此段杆件受压。 2.轴力图 多力杆:工程上受拉、压的杆件往往同时受多个外力作用,称为多力杆 轴力图 可按选定的比例尺,用平行于杆件轴线的坐标表示杆件截面的位置,用垂直于杆件轴线 的另一坐标表示轴力数值的大小,正轴力画在坐标轴正向,反之画在负向。这样绘出的图形 称为轴力图。清楚地表达轴力随截面位置变化的情况。 例2-2图2.12a表示一等截面直杆,其受力情况如图所示。试作其轴力图 解:(1)作杆的受力图(图2.12b),求约束反力F4 根据∑F=0,得 F4-F1+F2-F3+F4=0 F4=-40+55-25+20=10kN (2)求各段横截面上的轴力并作轴力图 计算轴力可用截面法,亦可直接应用式(2-1),因而不必再逐段截开及作研究段的分离 体图。在计算时,取截面左侧或右侧均可,一般取外力较少的杆段为好。 AB段FM1=FA=10kN (考虑左侧) BC段N2=FA+F1=50kN(考虑左侧)
图 2.11 由式(1)、(2)、(3)，不难得到以下结论： 拉(压)杆各横截面上的轴力在数值上等于该截面一侧(研究段)各外力的代数和。外力 离开该截面时取为正，指向该截面时取为负。即 = = n i FN Fi 1 (2—1) 求得的轴力为正时，表示轴力离开截面，此段杆件受拉；轴力为负时，表示轴力指向截面， 此段杆件受压。 2．轴力图 多力杆：工程上受拉、压的杆件往往同时受多个外力作用，称为多力杆。 轴力图： 可按选定的比例尺，用平行于杆件轴线的坐标表示杆件截面的位置，用垂直于杆件轴线 的另一坐标表示轴力数值的大小，正轴力画在坐标轴正向，反之画在负向。这样绘出的图形 称为轴力图。清楚地表达轴力随截面位置变化的情况。 例 2-2 图 2.12a 表示一等截面直杆，其受力情况如图所示。试作其轴力图。 解：(1)作杆的受力图(图 2.12b)，求约束反力 FA 根据∑Fx=0，得 − FA − F1 + F2 − F3 + F4 = 0 FA = −40 +55− 25+ 20 =10kN (2)求各段横截面上的轴力并作轴力图 计算轴力可用截面法，亦可直接应用式(2-1)，因而不必再逐段截开及作研究段的分离 体图。在计算时，取截面左侧或右侧均可，一般取外力较少的杆段为好。 AB 段 FN1 = FA =10kN (考虑左侧) BC 段 FN2 = FA + F1 = 50kN (考虑左侧)
CD段FN3=F4-F3=-5kN(考虑右侧) DE段FN4=F4=20kN (考虑右侧) 由以上计算结果可知,杆件在CD段受压,其它各段均受拉。最大轴力Fanx在BC段, 其轴力图如图2.12c所示。 00-300}500 10 kN 图2.12轴力图 2.2.3轴向拉伸或压缩时横截面上的正应力 1、应力分析:取一等截面直杆试验,结论: 横截面上各点只有正应力且均匀分布(图2.13b),故横截面上各点的正应力可以直接表 示为 图2.13 F 公式:O F O (2-2) 例2—3一钢制阶梯杆如图2.14a所示。各段杆的横截面面积分别为AB段A=1500m BC段A2=500mm2,CD段A=900m2,试画出轴力图,并求出此杆横截面上的最大正应力
CD 段 FN3 = F4 − F3 = −5kN (考虑右侧) DE 段 FN4 = F4 = 20kN (考虑右侧) 由以上计算结果可知，杆件在 CD 段受压，其它各段均受拉。最大轴力 FNmax 在 BC 段， 其轴力图如图 2.12c 所示。 图 2.12 轴力图 2.2.3 轴向拉伸或压缩时横截面上的正应力 1、应力分析：取一等截面直杆试验，结论： 横截面上各点只有正应力且均匀分布(图 2.13b)，故横截面上各点的正应力可以直接表 示为 图 2.13 公式： A F A FN = 或 = （2—2） 例 2—3 一钢制阶梯杆如图 2.14a 所示。各段杆的横截面面积分别为 AB 段 A1=1500mm2， BC 段 A2=500mm2 ，CD 段 A3=900mm2，试画出轴力图，并求出此杆横截面上的最大正应力
F1=120kN,F2=220kNF=260kN F4=160kN 0.751 图2.14 解:(1)求各段轴力 根据式(2-1),得 F1=F1=120kN FN2=F1-F2=120-220=-100kN FMa=F=160kN (2)作轴力图 由各横截面上的轴力数值,作轴力图(图2.14b)。 3)求横截面上的最大正应力 根据式(2-2),得 120×10 AB段 =80×107Pa=80MPa A11500×10 100×10 BC段 -2.0×108Pa=-200MPa A2500×10-6 N3160×103 F 42900×10~6=1.78×10°Pa=178MPa 由计算可知,杆横截面上的最大正应力在BC段内,其值为200MPa。由此可见轴力最大处并 非一定是应力最大截面。 2.24轴向拉伸或压缩时的变形胡克定律 轴向拉伸或压缩时,杆件的变形主要表现为沿轴向的伸长或缩短,即纵向变形。由试验 可知,当杆沿轴向伸长(或缩短)时,其横向尺寸也会相应缩小(或增大),即产生垂直于轴线 方向的横向变形 1.纵向变形
图 2.14 解：(1)求各段轴力 根据式(2—1)，得 FN1 = F1 =120kN FN 2 = F1 − F2 =120 − 220 = −100kN FN3 = F4 =160kN (2)作轴力图 由各横截面上的轴力数值，作轴力图(图 2.14b)。 (3)求横截面上的最大正应力 根据式(2—2)，得 AB 段 Pa MPa A FN 8 0 10 80 1500 10 120 10 7 6 3 1 1 1 = = = = − . BC 段 Pa MPa A FN 2 0 10 200 500 10 100 10 8 6 3 2 2 2 = − = − = = − − . CD 段 Pa MPa A FN 1 78 10 178 900 10 160 10 8 6 3 3 3 3 = = = = − . 由计算可知，杆横截面上的最大正应力在 BC 段内，其值为 200MPa。由此可见轴力最大处并 非一定是应力最大截面。 2．2.4 轴向拉伸或压缩时的变形 胡克定律 轴向拉伸或压缩时，杆件的变形主要表现为沿轴向的伸长或缩短，即纵向变形。由试验 可知，当杆沿轴向伸长(或缩短)时，其横向尺寸也会相应缩小(或增大)，即产生垂直于轴线 方向的横向变形。 1. 纵向变形
设一等截面直杆原长为1,横截面面积为A。在轴向拉力F的作用下,长度由1变为1 (图2.15a)。杆件沿轴线方向的伸长量为 4-7 图2.15 拉伸时M为正,压缩时M为负 杆件的伸长量与杆的原长有关,为了消除杆件原长的影响,将M除以l,即以单位长 度的伸长量表征杆件变形的程度,称为纵向线应变,用ε表示 △l (2-4) E是一个无量纲的量,其正负号与的正负号一致。 2胡克定律 试验证明:若杆横截面上的正应力不超过某一限度时,则杆件的伸长量M与轴力F3 杆原长度l成正比,与横截面面积A成反比。即 M∝ 引入比例常数E,则上式可写为 Fl EA 上式称为胡克定律 将式(2-2)和(2-4)代入上式,可得 σ=E·E 这是胡克定律的另一形式。可表述为:若应力不超过某一限度,则横截面上的正应力与纵 向线应变成正比。式中E为材料的弹性模量,其单位与应力相同,常用单位为GPa。材料的 弹性模量由试验测定。 弹性模量表示杆在受拉(压)时抵抗弹性变形的能力。由式(2-5)可看出,EA越大,杆件 的变形M就越小,故称EA为杆件的抗拉(压)刚度。 3.横向变形 在轴向外力作用下,杆件沿轴向伸长(缩短)的同时,横向尺寸也将缩小(增大)。设横向 尺寸由b变为b(图7.15b),则横向线应变为
设一等截面直杆原长为 l，横截面面积为 A。在轴向拉力 F 的作用下，长度由 l 变为 l 1(图 2.15a)。杆件沿轴线方向的伸长量为 l = l −l 1 （2—3） 图 2.15 拉伸时 l 为正，压缩时 l 为负。 杆件的伸长量与杆的原长有关，为了消除杆件原长的影响，将 l 除以 l ，即以单位长 度的伸长量表征杆件变形的程度，称为纵向线应变，用ε表示 l l = （2—4） ε是一个无量纲的量，其正负号与 l 的正负号一致。 2.胡克定律 试验证明：若杆横截面上的正应力不超过某一限度时，则杆件的伸长量 l 与轴力 FN、 杆原长度 l 成正比，与横截面面积 A 成反比。即 A F l l N 引入比例常数 E，则上式可写为 EA F l l N = （2—5） 上式称为胡克定律。 将式(2—2)和(2—4)代入上式，可得 = E （2—6） 这是胡克定律的另一形式。可表述为：若应力不超过某一限度，则横截面上的正应力与纵 向线应变成正比。式中 E 为材料的弹性模量，其单位与应力相同，常用单位为 GPa。材料的 弹性模量由试验测定。 弹性模量表示杆在受拉(压)时抵抗弹性变形的能力。由式(2—5)可看出，EA 越大，杆件 的变形 l 就越小，故称 EA 为杆件的抗拉(压)刚度。 3. 横向变形 在轴向外力作用下，杆件沿轴向伸长(缩短)的同时，横向尺寸也将缩小(增大)。设横向 尺寸由 b 变为 b1 (图 7.15b)，则横向线应变为
△bb1-b 2-7 b 也为一个无量纲的量 拉伸时,纵向伸长E>0:横向变细,E'0。 4泊松比 试验表明,对于同一种材料,当应力不超过比例极限时,横向线应变与纵向线应变之 比的绝对值为常数。比值U称为泊松比,亦称横向变形系数。即 (2-8a) 由于这两个应变的正负号恒相反,故有 (2-8b) 泊松比υ是材料的另一个弹性常数,为一个无量纲的量,由试验测得。工程上常用材 料的泊松比见表2.1。 例2—4图2.16a为一阶梯形钢轴,已知材料的弹性模量E=200GPa,AC段的横截面 面积为AAB=ABC=500mm2,CD段的横截面面积为AcD=250mm2,杆的各段长度及受力情况 如图所示。试求: (1)杆横截面上的轴力和正应力 (2)杆的总变形 解:(1)求各段杆横截面上的轴力 FM1=F1-F2=30-10=10kN BC段与CD段FN2=F2=-10kN (2)画轴力图(图2.16b) (3)计算各段正应力 OA÷ 20×10 AAB500×0=4.0×107Pa=40MPa BC段OBC-A 10×10 =-2.0×10Pa=-20MPa 500×10 10×10 CD段σcDA250×1065-4.0×107Pa=-40MPa (4)杆的总变形 杆总变形MA等于各段杆变形的代数和,即
b b b b b − = = 1 (2-7) 也为一个无量纲的量。 拉伸时，纵向伸长 ＞0；横向变细， ＜0。 压缩时，纵向缩短 ＜0；横向增粗， ＞0。 4.泊松比 试验表明，对于同一种材料，当应力不超过比例极限时，横向线应变与纵向线应变之 比的绝对值为常数。比值υ称为泊松比，亦称横向变形系数。即 = （2－8a） 由于这两个应变的正负号恒相反，故有 = − （2－8b） 泊松比υ是材料的另一个弹性常数，为一个无量纲的量，由试验测得。工程上常用材 料的泊松比见表 2.1。 例 2—4 图 2.16a 为一阶梯形钢轴，已知材料的弹性模量 E=200GPa，AC 段的横截面 面积为 AAB=ABC=500mm2，CD 段的横截面面积为 ACD=250mm2，杆的各段长度及受力情况 如图所示。试求： (1)杆横截面上的轴力和正应力； (2)杆的总变形。 解：(1)求各段杆横截面上的轴力 AB 段 FN1 = F1 − F2 = 30 −10 =10kN BC 段与 CD 段 FN 2 = F2 = −10kN (2)画轴力图(图 2.16b) (3)计算各段正应力 AB 段 Pa MPa A F AB N AB 4 0 10 40 500 10 20 10 7 6 3 1 = = = = − . BC 段 Pa MPa A F BC N BC 2 0 10 20 500 10 10 10 7 6 3 2 = − = − = = − − . CD 段 Pa MPa A F CD N CD 4 0 10 40 250 10 10 10 7 6 3 3 = − = − = = − − . (4)杆的总变形 杆总变形 AD l 等于各段杆变形的代数和，即
al. =a. +a+A-FNLaB FN2 BC+ FN2cD 1B EA 将有关数据代人,即得 20×103×0.1010×103×0.1010×103×0.10 200×10 500×10 500×10-6 250×10 -0.01×10-3m=-0.01mm 负值说明整个杆件是缩短的 作业pll4习题1.2.5
CD N CD BC N BC AB N AB AD AB BC CD EA F l EA F l EA F l l l l l 1 2 2 = + + = + + 将有关数据代人，即得 m m m l A D 0 01 10 0 01 250 10 10 10 0 10 500 10 10 10 0 10 500 10 20 10 0 10 200 10 1 3 6 3 6 3 6 3 9 . . ) . . . ( = − = − − − = − − − − 负值说明整个杆件是缩短的。 作业 p114 习题 1.2.5