§93协整与误差修正模型 长期均衡关系与协整 二、协整检验 三、误差修正模型
§9.3 协整与误差修正模型 一、长期均衡关系与协整 二、协整检验 三、误差修正模型
长期均衡关系与协整
一、长期均衡关系与协整
0、问题的提出 ·经典回归模型( classical regression model)是建立在稳定 数据变量基础上的,对于非稳定变量,不能使用经典回归 模型,否则会出现虚假回归等诸多问题。 由于许多经济变量是非稳定的,这就给经典的回归分析方 法带来了很大限制 ·但是,如果变量之间有着长期的稳定关系,即它们之间是 协整的( cointegration),则是可以使用经典回归模型方法 建立回归模型的。 例如,中国居民人均消费水平与人均GDP变量的例子中 因果关系回归模型要比ARMA模型有更好的预测功能, 其原因在于,从经济理论上说,人均GDP决定着居民人均 消费水平,而且它们之间有着长期的稳定关系,即它们之 间是协整的( cointegration)
0、问题的提出 • 经典回归模型（classical regression model）是建立在稳定 数据变量基础上的，对于非稳定变量，不能使用经典回归 模型，否则会出现虚假回归等诸多问题。 • 由于许多经济变量是非稳定的，这就给经典的回归分析方 法带来了很大限制。 • 但是，如果变量之间有着长期的稳定关系，即它们之间是 协整的（cointegration)，则是可以使用经典回归模型方法 建立回归模型的。 • 例如，中国居民人均消费水平与人均GDP变量的例子中： 因果关系回归模型要比ARMA模型有更好的预测功能， 其原因在于，从经济理论上说，人均GDP决定着居民人均 消费水平，而且它们之间有着长期的稳定关系，即它们之 间是协整的（cointegration）
1、长期均衡 经济理论指出,某些经济变量间确实存在着长期 均衡关系,这种均衡关系意味着经济系统不存在破坏 均衡的内在机制,如果变量在某时期受到干扰后偏离 其长期均衡点,则均衡机制将会在下一期进行调整以 使其重新回到均衡状态。 假设X与Y间的长期“均衡关系”由式描述 +a,X,+u 式中:μt是随机扰动项 该均衡关系意味着:给定Ⅹ的一个值,Y相应的 均衡值也随之确定为a0+α1X
经济理论指出，某些经济变量间确实存在着长期 均衡关系，这种均衡关系意味着经济系统不存在破坏 均衡的内在机制，如果变量在某时期受到干扰后偏离 其长期均衡点，则均衡机制将会在下一期进行调整以 使其重新回到均衡状态。 假设X与Y间的长期“均衡关系”由式描述 1、长期均衡 Yt =0 +1 Xt + t 式中:t是随机扰动项。 该均衡关系意味着:给定X的一个值，Y相应的 均衡值也随之确定为 0+1X
在t-1期末,存在下述三种情形之一: (1)Y等于它的均衡值:Y11=x0+ax1X1; (2)Y小于它的均衡值:Y10+ax2Xt; (3)Y大于它的均衡值:Y1>00+0x1X; 在时期t,假设X有一个变化量AX,如果变量X与Y在 时期t与t-1末期仍满足它们间的长期均衡关系,则Y的相应 变化量由式给出 △1=a1△1+v1 式中,v::1
在t-1期末，存在下述三种情形之一： （1）Y等于它的均衡值：Yt-1 = 0+1Xt ； （2）Y小于它的均衡值：Yt-1 0+1Xt ； 在时期t，假设X有一个变化量Xt，如果变量X与Y在 时期t与t-1末期仍满足它们间的长期均衡关系，则Y的相应 变化量由式给出: t t t Y = X + v 1 式中，vt =t-t-1
实际情况往往并非如此 如果t-期末,发生了上述第二种情况,即Y的值小于其 均衡值,则Y的变化往往会比第一种情形下Y的变化AYt 大一些; 反之,如果Y的值大于其均衡值,则Y的变化往往会小 于第一种情形下的ΔYt。 可见,如果Y=α。+α1X+μ1正确地提示了X与Y间的长 期稳定的“均衡关系”,则意味着Y对其均衡点的偏离从 本质上说是“临时性”的。 因此,一个重要的假设就是随机扰动项μ必须是平稳 序列。 显然,如果μ有随机性趋势(上升或下降),则会导 致Y对其均衡点的任何偏离都会被长期累积下来而不能被 消除
实际情况往往并非如此 如果t-1期末，发生了上述第二种情况，即Y的值小于其 均衡值，则Y的变化往往会比第一种情形下Y的变化Yt 大一些； 反之，如果Y的值大于其均衡值，则Y的变化往往会小 于第一种情形下的Yt 。 可见，如果Yt =0+1Xt+t正确地提示了X与Y间的长 期稳定的“均衡关系” ，则意味着Y对其均衡点的偏离从 本质上说是“临时性”的。 因此，一个重要的假设就是:随机扰动项t必须是平稳 序列。 显然，如果t有随机性趋势（上升或下降），则会导 致Y对其均衡点的任何偏离都会被长期累积下来而不能被 消除
式Yr=αo+α1+μ中的随机扰动项也被称为非均衡误差 ( disequilibrium error),它是变量X与Y的一个线性组合: 1t 因此,如果Y=α0+αx1X+μ1式所示的X与Y间的长期均 衡关系正确的话,(*)式表述的非均衡误差应是一平稳时 间序列,并且具有零期望值,即是具有0均值的I(0)序列 从这里已看到,非稳定的时间序列,它们的线性组合也可 能成为平稳的 例如:假设Y0+a1X+式中的X与Y是I(1)序列,如果 该式所表述的它们间的长期均衡关系成立的话,则意味着由 非均衡误差(*)式给出的线性组合是I(O序列。这时我们称 变量X与Y是协整的( cointegrated)
式Yt =0+1Xt+t中的随机扰动项也被称为非均衡误差 （disequilibrium error），它是变量X与Y的一个线性组合： t = Yt −0 −1 Xt (*) 因此，如果Yt =0+1Xt+t式所示的X与Y间的长期均 衡关系正确的话，（*）式表述的非均衡误差应是一平稳时 间序列，并且具有零期望值，即是具有0均值的I(0)序列。 从这里已看到，非稳定的时间序列，它们的线性组合也可 能成为平稳的。 例如：假设Yt =0+1Xt+t式中的X与Y是I(1)序列，如果 该式所表述的它们间的长期均衡关系成立的话，则意味着由 非均衡误差（*）式给出的线性组合是I(0)序列。这时我们称 变量X与Y是协整的（cointegrated）
2协整 如果序列{X1X2,…,Xkt}都是d阶单整,存在向量 α=(x1,O2,…,),使得 Z ax-I(d-b 其中,b>0,X=(X1t,X2t,…,X),则认为序列X1,X2…,X1 是(db阶协整,记为XCI(d,b),a为协整向量( cointegrated vector)。 在中国居民人均消费与人均GDP的例中,该两序列都是2 阶单整序列,而且可以证明它们有一个线性组合构成的新序列 为0阶单整序列,于是认为该两序列是(2,2)阶协整。 由此可见:如果两个变量都是单整变量,只有当它们的单整 阶数相同时,才可能协整;如果它们的单整阶数不相同,就不 可能协整
如果序列{X1t,X2t,…,Xkt}都是d阶单整，存在向量 =(1,2,…,k)，使得 Zt= XT ~ I(d-b) 其中，b>0，X=(X1t,X2t,…,Xkt) T，则认为序列{X1t,X2t,…,Xkt} 是(d,b)阶协整，记为Xt~CI(d,b)，为协整向量（cointegrated vector）。 ⒉协整 在中国居民人均消费与人均GDP的例中，该两序列都是2 阶单整序列，而且可以证明它们有一个线性组合构成的新序列 为0阶单整序列，于是认为该两序列是(2,2)阶协整。 由此可见:如果两个变量都是单整变量，只有当它们的单整 阶数相同时，才可能协整；如果它们的单整阶数不相同，就不 可能协整
三个以上的变量,如果具有不同的单整阶数,有可 能经过线性组合构成低阶单整变量。 例如,如果存在: W~(1),V~/(2),U1~(2) 并且 P=aH7+bU,~/(1) Q=cW1+eP~/(0) 那么认为: V2U1~C/(2,1)
三个以上的变量，如果具有不同的单整阶数，有可 能经过线性组合构成低阶单整变量。 例如，如果存在： W ~ I(1),V ~ I(2),U ~ I(2) t t t 并且 ~ (0) ~ (1) Q cW eP I P aV bU I t t t t t t = + = + 那么认为： , ~ (1,1) , ~ (2,1) W P CI V U CI t t t t
从协整的定义可以看出: (dd)阶协整是一类非常重要的协整关系,它的经济意义 在于:两个变量,虽然它们具有各自的长期浪动规律,但 是如果它们是(d,d)阶协整的,则它们之间存在着一个长 期稳定的比例关系。 例如:前面提到的中国CPC和 GDPPC,它们各自都是2阶 单整,并且将会看到,它们是(2,2)阶协整,说明它们之间 存在着一个长期稳定的比例关系,从计量经济学模型的意 义上讲,建立如下居民人均消费函数模型 CPC=do +a,GDPPC,+u 变量选择是合理的,随机误差项一定是“白噪声”(即均 值为0,方差不变的稳定随机序列),模型参数有合理的经 济解释。 这也解释了尽管这两时间序列是非稳定的,但却可以用 经典的回归分析方法建立回归模型的原因
（d,d）阶协整是一类非常重要的协整关系，它的经济意义 在于：两个变量，虽然它们具有各自的长期波动规律，但 是如果它们是（d,d）阶协整的，则它们之间存在着一个长 期稳定的比例关系。 例如：前面提到的中国CPC和GDPPC，它们各自都是2阶 单整，并且将会看到，它们是(2,2)阶协整，说明它们之间 存在着一个长期稳定的比例关系，从计量经济学模型的意 义上讲，建立如下居民人均消费函数模型 从协整的定义可以看出: CPCt =0 +1 GDPPCt + t 变量选择是合理的，随机误差项一定是“白噪声”（即均 值为0，方差不变的稳定随机序列），模型参数有合理的经 济解释。 这也解释了尽管这两时间序列是非稳定的，但却可以用 经典的回归分析方法建立回归模型的原因