5L,100004(2014) L光气米用子寻用层o ⊙2014（中国激光）杂志社 光的自旋和轨道角动量 魏功祥刘晓娟刘云煮付圣贵 山东理工大学理学院，山东溜博255019 掖要光具有由偏振性决定的自旋角动量(SAM)和由光场空间分布决定的轨道角动量(OAM)两种不同的物理性 质。重点对光的自旋和轨道角动量在光束生成和变换性衡，存在形式和描述方法、力学效应，空间相干性和时间相干 性，角向多普勒镜移效应及参量转换与量子纠缠等方面进行对比，探索它们的现象学差别，以期更好地理解光的本 性，为该领城的研究提供启发和拓展思路。总结和分析了轨道角动量的最新研究成果，并展望了该缓域的最新研究 动。 关键间物理光学：奇点光学：测量：角动量：光学涡旋：光学微操纵：量子纠咖 中围分类号0436文献标识码Adoi:10.3788L0P61.100004 Spin and Orbital Angular Momentum of Light Wei Gongxiang Liu Xiaojuan Liu Yunyan Fu Shenggui School of Sciences,Shandong University of Tecknology.Zibo,Shandong 25049.China Abstraet Spin angular momentum (SAM)and orbital angular momentum (OAM)are two absolutely differen physical properties of light which are determined by the polarization and spatial distribution,respectively.Th o dem nstrated about the generati reton and ar h of the basis for th future in the field is reviewed and analyzed. Key words physical optics;singular optics;measurement;angular momentum:optical vortices;optical 65080.4865,230.5440 1引 由经典的麦克斯韦方程组可知光是一种电磁波，具有能量和动量。动量可以分为线动量和角动量，角 动量包括由偏振性决定的自旋角动量(SAM)和由光场空间分布决定的轨道角动量(OAM)。光与物质相互作 用时不可避免地存在动量的交换。在一些情况下，会表现出较明显的力学效应。 1936年，Bth首次实验测量了圆偏振光通过一个半波片产生的扭矩，测量的扭矩大小与波动光学和量 子力学的理论结果非常符合，证明了理想圆偏振光具有自旋角动量J,=Nh和能量W=N@(W为光子数)，其 比值为/。对椭偏度为-1≤c≤)的椭圆偏振光，自旋角动量和能量的比值为σ。其中=±l,分别 代表左旋和右旋圆偏振光，σ=0为线偏振光。 偏振光除了具有自旋角动量外，还可具有轨道角动量。如何从偏振光能流中检测和区分自旋和轨道角 动量是一个闲扰研究者的重要问题。测量轨道角动量的第个实验由Alen等国于1g92年在荷兰莱桶大学 的惠更斯实验室完成。 实验采用拉盖尔-高斯LG)光束，通过一个像散光学系统变换为厄米 高斯G)光 束时对系统产生的扭矩进行测量。LG模式光束的复振幅可简写为“，x,x,exp(-ik)exp(+i0),有与方位角 收稿日期：2014-04-21，收到修改稍日期：2014-05-22：网络出版日期：2014-08-20 基金项目：国家自然科学基金(11304184).山东省自然科学基金(ZR2013F1007).山东省高等学校优秀中青年骨干教师国 际合作培养项目 作者简介：魏功样(1971一).男，博士.副教授，主要从事全息，相干衍射成像和图像识别等方面的研究。 E-mail:weigx@sdut.edu.cn 10004-l 1994-2014 China Academie Joumal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/www.cnki.net
51, 100004(2014) 激光与光电子学进展 Laser & Optoelectronics Progress ©2014《中国激光》杂志社 100004-1 光的自旋和轨道角动量 魏功祥 刘晓娟 刘云燕 付圣贵 山东理工大学理学院, 山东 淄博 255049 摘要 光具有由偏振性决定的自旋角动量(SAM)和由光场空间分布决定的轨道角动量(OAM)两种不同的物理性 质。重点对光的自旋和轨道角动量在光束生成和变换性质、存在形式和描述方法、力学效应、空间相干性和时间相干 性、角向多普勒频移效应及参量转换与量子纠缠等方面进行对比，探索它们的现象学差别，以期更好地理解光的本 性，为该领域的研究提供启发和拓展思路。总结和分析了轨道角动量的最新研究成果，并展望了该领域的最新研究 动态。 关键词 物理光学; 奇点光学; 测量; 角动量; 光学涡旋; 光学微操纵; 量子纠缠 中图分类号 O436 文献标识码 Ａ doi: 10.3788/LOP51.100004 Spin and Orbital Angular Momentum of Light Wei Gongxiang Liu Xiaojuan Liu Yunyan Fu Shenggui School of Sciences, Shandong University of Technology, Zibo, Shandong 255049, China Abstract Spin angular momentum (SAM) and orbital angular momentum (OAM) are two absolutely different physical properties of light which are determined by the polarization and spatial distribution, respectively. The comparison of the two properties is performed in terms of demonstrated about the generation and conversion, existence form and description method, mechanical effect, spatial and time coherence, angular Doppler effect, parameter conversion and quantum entanglement, etc. The phenomenology provides much of the basis for the exploration and exploitation of the field. The progress of OAM development with an eye towards the promising future in the field is reviewed and analyzed. Key words physical optics; singular optics; measurement; angular momentum; optical vortices; optical micromanipulation; quantum entanglement OCIS codes 260.6042; 050.4865; 080.4865; 230.5440 1 引 言 由经典的麦克斯韦方程组可知光是一种电磁波，具有能量和动量。动量可以分为线动量和角动量，角 动量包括由偏振性决定的自旋角动量(SAM)和由光场空间分布决定的轨道角动量(OAM)。光与物质相互作 用时不可避免地存在动量的交换。在一些情况下，会表现出较明显的力学效应。 1936 年，Beth[1] 首次实验测量了圆偏振光通过一个半波片产生的扭矩，测量的扭矩大小与波动光学和量 子力学的理论结果非常符合，证明了理想圆偏振光具有自旋角动量 Jz = Nℏ 和能量 W = Nℏω (N 为光子数)，其 比值为 1 ω 。对椭偏度为 σ(-1 ≤ σ ≤ 1) 的椭圆偏振光，自旋角动量和能量的比值为 σ/ω 。其中 σ = ±1 ，分别 代表左旋和右旋圆偏振光，σ = 0 为线偏振光。 偏振光除了具有自旋角动量外，还可具有轨道角动量。如何从偏振光能流中检测和区分自旋和轨道角 动量是一个困扰研究者的重要问题。测量轨道角动量的第一个实验由 Allen 等[2] 于 1992 年在荷兰莱顿大学 的惠更斯实验室完成。实验采用拉盖尔-高斯(LG)光束，通过一个像散光学系统变换为厄米-高斯(HG)光 束时对系统产生的扭矩进行测量。LG 模式光束的复振幅可简写为 u0 (x, y,z)exp(-ikz)exp(+ilθ) ，有与方位角 收稿日期: 2014-04-21; 收到修改稿日期: 2014-05-22; 网络出版日期: 2014-08-20 基金项目: 国家自然科学基金(11304184)、山东省自然科学基金(ZR2013FM007)、山东省高等学校优秀中青年骨干教师国 际合作培养项目 作者简介: 魏功祥(1971—)，男，博士，副教授，主要从事全息、相干衍射成像和图像识别等方面的研究。 E-mail: weigx@sdut.edu.cn
51.1000042014) 激光与光电子学进展 www.opticsiournal.net 8=arctan(v/r)成正比的相位项。其中，I表征祸旋光束的相位②和方位角日的关系，称作雍绕数或拓扑荷。 涡旋的拓扑荷在数学上定义为路径积分1=山，其中C为绕涡旋中心的积分路径，山为无穷小的 矢量路径元，7为相位梯度。1为整数时，光束波前除了轴向上的相位奇点外，在空间上是接续的，形成螺 旋波面，具有这种特征的光束通常称为祸旋光束侧。此时，光子具有确定的轨道角动量伍，偏振涡旋光束的 角动量和能量的比值为J,/W=L±Vw。如果没有涡旋相位项xpG©，光束为普通的平面波，自旋角动量和 能量的比值为。如果1为非整数.则光束中存在一个波面不连续的方位角，会出现一个截断线，称为 分数光学涡旋 对LG光束，半径r为常数时，线动量表征的坡印亭矢量（光线方向）指向一个确定倾角的螺旋路径。 6日为营数时，拔印学矢量相对于0的装转角度为号周m一目)：径向量子数为零的0光束。 强度分布是半径为2的环带，又称为面包圈光束m。在自由空间中，坡印亭矢量都平行于波矢，rcan 项正比于高斯光束中的Gouy相移。 上述理论是在傍轴近似条件下从麦克斯韦方程组中通过严格的推导得到的。傍轴近似条件只假设光 束具有有限的能量，)是可规范化的，没有给出具体的表达式，因此具有遍性。 可以看出，即使对于 ,=0的线偏振光，光束依然具有与空间参数拓扑荷！相关的角动量。在非近轴条件下，自旋和轨道角动虽 的分离会更复杂。尽管所有的问题都需要利用量子力学方法进行推导和验证，但除了量子纠缠等特殊领域 基本上都可以用经典的电磁理论加以解释」 20世纪90年代后，这些概念性的实验结果促使人们探索近轴光学中自旋和轨道角动量的差别，催生了 对 系列特殊光学现象的观测探素和开发，激发了人们对光的本性更深层次的思考，逐渐形成了关于光的 道角动量的现象学分支。本文对不同情形下的自旋和轨道角动量的行为特征进行了对比，以期更好地理 解光的本性及其基本性质，拓展光的角动量的应用领域研究。 2光的自旋和轨道角动量的对比 2.1光束生成和变换性质 从激光器中发出的激光，通常是自然光，可以简单地通过起偏器和14波片组成的变换系统转化为具有 自旋角动量的圆偏振光。波片只改变入射光的偏振态，不改变其光强分布。圆偏振光通过半波片后会出射 旋向相反的圆偏振光。不考虑光子量子力学效应的情况下，坡印亭由经典电磁理论预言了圆偏振光能够对 波片产生扭矩作用，并由Beth进行了实验验证和测量。 具有轨道角动量的涡旋光束，最先实现的是LG光束。LG激光模式的相位xp0与方位角有关，其波 前是缠绕数为（的螺旋波前，与光矢量的偏振态无关。第一次获得高阶LG光束是通过柱透镜组成的π2模 式转换器实现的州。LG光束不是唯一的具有螺旋波前的激光，贝塞尔光束网、马修光束和恩斯-高撕光束 也同样具有轨道角动量。 涡旋光束与平面波的干涉图都具有又形干涉条纹，是判断光束涡旋性质最常用的方法。反之，利用叉 形干涉条纹的全息图或衍射光学元件生成涡旋光束也是 种简便的方法 。衍射光学元件可以是 个简单 的衍射光橱，光悟中包含与入射光光轴共线的相位奇点，其一级衍射具有环状强度剖面结构，这是涡旋光束 的共同特点。这种光束的光学相位奇点已经得到广泛研究，也称为光学涡旋。但在之前的光学相位奇点研 究中叫，很少对其角动量特性进行测量。现在，这种衍射光学元件可以方便地通过计算机到全息图进行设 计，并通过液品空间光调制器显示来控制涡旋光東的生成，已成为多数实验室采用的普遍方法， 起来简单，但这种方法生成的涡旋光束只是近似LG模式。最近，又型衍射光橱已经应用于显微术中，通过 对其点扩展函数增加一个螺旋相位，实现图像的边缘增强 螺旋相位板(SPP)是另一种实现祸旋光束的方法。螺旋相位板的光学厚度？=入2T)。平面被入射到 螺旋相位板，倾斜板面对入射光产生折射。随者相位角的变化，透射光线产生的倾斜，形成具有相位 ep0)的螺旋波前透射光来。 动量为仙的光子，透过SPP后产生的角向分量，每个光子就具有轨道角 100004-2 1994-2014 China Aeademic Joumal Electronie Publishing House.All rights reserved. http://www.cnki.ne
51, 100004(2014) 激光与光电子学进展 www.opticsjournal.net 100004- θ = arctan(y/x) 成正比的相位项。其中，l 表征涡旋光束的相位 φ 和方位角 θ 的关系，称作缠绕数或拓扑荷。 涡旋的拓扑荷在数学上定义为路径积分 l = 1 2π ∮C ∇φ∙dr ，其中 C 为围绕涡旋中心的积分路径，dr 为无穷小的 矢量路径元，∇φ 为相位梯度。 l 为整数时，光束波前除了轴向上的相位奇点外，在空间上是接续的，形成螺 旋波面，具有这种特征的光束通常称为涡旋光束[3] 。此时，光子具有确定的轨道角动量 lℏ ，偏振涡旋光束的 角动量和能量的比值为 J′ z /W =(l ± σ)/ω 。如果没有涡旋相位项 exp(ilθ) ，光束为普通的平面波，自旋角动量和 能量的比值为 ℏσ/ℏω 。如果 l 为非整数，则光束中存在一个波面不连续的方位角，会出现一个截断线，称为 分数光学涡旋[4] 。 对 LG 光束，半径 r 为常数时，线动量 p 表征的坡印亭矢量（光线方向）指向一个确定倾角的螺旋路径。 r(z)/w(z) 为常数时，坡印亭矢量相对于 z=0 的旋转角度为 l 2 é ë ê ù û ú w(z) r(z) 2 arctanæ è ç ö ø ÷ z zR 。径向量子数为零的 LG 光束， 强度分布是半径为 w(z)l/2 的环带，又称为面包圈光束[5] 。在自由空间中，坡印亭矢量都平行于波矢，arctan 项正比于高斯光束中的 Gouy 相移[6] 。 上述理论是在傍轴近似条件下从麦克斯韦方程组中通过严格的推导得到的。傍轴近似条件只假设光 束具有有限的能量，u(x, y,z) 是可规范化的，没有给出具体的表达式，因此具有普遍性。可以看出，即使对于 σ = 0 的线偏振光，光束依然具有与空间参数拓扑荷 l 相关的角动量。在非近轴条件下，自旋和轨道角动量 的分离会更复杂。尽管所有的问题都需要利用量子力学方法进行推导和验证，但除了量子纠缠等特殊领域[7] ， 基本上都可以用经典的电磁理论加以解释。 20 世纪 90 年代后，这些概念性的实验结果促使人们探索近轴光学中自旋和轨道角动量的差别，催生了 对一系列特殊光学现象的观测、探索和开发，激发了人们对光的本性更深层次的思考，逐渐形成了关于光的 轨道角动量的现象学分支。本文对不同情形下的自旋和轨道角动量的行为特征进行了对比，以期更好地理 解光的本性及其基本性质，拓展光的角动量的应用领域研究。 2 光的自旋和轨道角动量的对比 2.1 光束生成和变换性质 从激光器中发出的激光，通常是自然光，可以简单地通过起偏器和 1/4 波片组成的变换系统转化为具有 自旋角动量的圆偏振光。波片只改变入射光的偏振态，不改变其光强分布。圆偏振光通过半波片后会出射 旋向相反的圆偏振光。不考虑光子量子力学效应的情况下，坡印亭由经典电磁理论预言了圆偏振光能够对 波片产生扭矩作用，并由 Beth[1] 进行了实验验证和测量。 具有轨道角动量的涡旋光束，最先实现的是 LG 光束。LG 激光模式的相位 exp(ilθ) 与方位角有关，其波 前是缠绕数为 l的螺旋波前，与光矢量的偏振态无关。第一次获得高阶 LG 光束是通过柱透镜组成的 π 2 模 式转换器实现的[8] 。LG 光束不是唯一的具有螺旋波前的激光，贝塞尔光束[9] 、马修光束[10] 和恩斯-高斯光束[11] 也同样具有轨道角动量。 涡旋光束与平面波的干涉图都具有叉形干涉条纹，是判断光束涡旋性质最常用的方法。反之，利用叉 形干涉条纹的全息图或衍射光学元件生成涡旋光束也是一种简便的方法[12] 。衍射光学元件可以是一个简单 的衍射光栅，光栅中包含与入射光光轴共线的相位奇点，其一级衍射具有环状强度剖面结构，这是涡旋光束 的共同特点。这种光束的光学相位奇点已经得到广泛研究，也称为光学涡旋。但在之前的光学相位奇点研 究中[13] ，很少对其角动量特性进行测量。现在，这种衍射光学元件可以方便地通过计算机制全息图进行设 计，并通过液晶空间光调制器显示来控制涡旋光束的生成，已成为多数实验室采用的普遍方法。虽然实现 起来简单，但这种方法生成的涡旋光束只是近似 LG 模式。最近，叉型衍射光栅已经应用于显微术中，通过 对其点扩展函数增加一个螺旋相位，实现图像的边缘增强[14] 。 螺旋相位板(SPP)是另一种实现涡旋光束的方法。螺旋相位板的光学厚度 t = λlθ/(2π) 。平面波入射到 螺旋相位板，倾斜板面对入射光产生折射。随着相位角的变化，透射光线产生 l/kr 的倾斜，形成具有相位 exp(ilθ) 的螺旋波前透射光束。动量为 ℏk 的光子，透过 SPP 后产生 lℏ/r 的角向分量，每个光子就具有轨道角 2
51,1000042014) 激光与光电子学进展 www.opticsjournal.net 动量伍。这是在儿何光学模式下非交轴倾射光束所描述的光子的轨道角动量。当然，这种螺旋相位板虽 然透射率很高，但其制作成本也高。高撕基棋光束通过螺旋相位板生成的高斯涡旋光束会随传输距离的增 加沿径向扩展，在保持轨道角动量分布的能力方面逊色于LG光束心。 光学涡旋阵列可以通过螺旋相位滤波法叫和基于分数泰伯效应的射光学元件脚等方法生成。三束或 多束平面波干涉也可以生成光学涡旋阵列脚。这种情况类似于激光照射到粗糙表面时产生的光学散斑，每 个黑斑（暗核）对应着一个相位奇点。因为暗核处没有光强，所以既没有能量，也没有动量。但紧邻暗核处的 光具有螺旋相位波前，具有能量和轨道角动量。对整个散斑图，顺时针方向和逆时针方向的奇点数是相同 的，总角动量为零。这些相位奇点 二维波场中表现为暗斑，在三维波场中则表现为暗线，形成特有的分型 和拓扑结构四。 2.2存在形式和描述方法 圆偏振态是光振动矢量末端运动轨速为圆的偏振态，与光场的空间分布情况无关。圆偏振光所具有的 自旋角动量，只围绕其自身轴，大小正比于局城光强，也称为内率角动量：而LG光束绕光轴的轨道角动量大 小正比于绕光轴的环带光强，与光的空间分布相关，不同于自旋角动量，故又称外察角动量 内禀（自旋）角动量不依赖于光轴的选取，而轨道角动量则与光轴的选取密切相关。但对于 个给定的 传播方向x,光的横向动量都为零。如果光轴产生偏折，1和是不变的，所以轨道角动量又可以称为准内 角动量。对于柱对称情况下的离轴光束，光束的横向动量是非零值，是外察的。 偏振光经过14波片后的自旋特性可以用数学分析的方法进行解释。同样地，涡旋光束通过柱透镜模 式转换器后的行为也可以用数学分析的方法进行解释。实际上，利用邦加球也可以表 示任意两种轨道角。 量态。描述偏振光透过光学系统的琼斯矩阵法在研究轨道角动量通过像散光学器件的传播时也是等价的 对具有轨道角动量的偏振光也有相应的联合矩阵表示形式，可以分别乘自旋琼斯矩阵，再乘轨道角动量矩 阵：或者反过来，都是正确的。这种情况等价于氢原子波函数的自旋和轨道角动量分量的分离情况。 2.3自旋与轨道角动量的检测 旋和右旋圆偏振，其自一化球斯矢量分别为用和两垂直分量的相位差分别为和2。 SM态通常采用检偏器和1/4波片的组合系统进行检验。在检偏器前插入14波片，旋转波片，出现最大透 射光强时表明波片快轴方向与检偏器透光轴方向相同。根据出射线偏振光的光矢量所在象限可以分辨其 旋向。光子的SAM态通过一维态空间来描写提供了 一种单量子位的物理实现方法，广泛地应用于量子 秘钥分配 除了SAM态，单光子还可以具有无限多的正交OAM态，可以具有无限多的量子位。现在已经能够生成 不同OAM态的叠加，可以实现N维希尔伯特空间的单光子量子态(quNits)。研究表明，光的轨道角动量是 可以进行测量的。最常用的方法是用平面光与涡旋光束干涉，根据叉形干涉条纹的分支数判断涡旋光束的 拓扑荷。此外，利用球面光与其干涉形成的分支螺旋干涉条纹，与其镜像光束干涉产生的21径向轮辐 图，通过环状多针孔产生的特殊干涉图 多针孔相位恢复算法叫，窄环带孔径形成的径向环带分布干涉图 和透过锥透镜干涉，都可以实现OAM定量测量。 上述技术虽然都能够分辨OAM态，但需要多光子产生干涉图，在测量单光子态时遇到困难。单光子角 动量态的测量通常利用计算机别全息图与孔径光阑相结合的方法，使涡旋光束通过叉形全息图变为平面 光，并使其一级衍射合进单模光纤，通过单光子计数器实现单光子特殊OAM态的测定四。这种测量技术 可探测具有一定特殊态的光子，更复杂一些的计算全息图可以测量几种不同的1态，但测量效率不超过 还可以用干涉仪中Goy相移的不同来分辨两种不同的模式级四，但只能分选两种态。利用两个相对旋转 角度为a/2的DOVE棱镜的Mach-Zehnder干涉仪的级联，可以在原则上以10O%的效率测量OAM态。进 一步改进后，可用插入波片的MaCh-Zehnder干涉仪室现多酒道同时测量SAM和OAM.至总角动量， 应用于高密度信息传递 100004-3 1994-2014 China Academie Joural Electronic Publishing House.All rights reserved.htp://www.enki.ne
51, 100004(2014) 激光与光电子学进展 www.opticsjournal.net 100004- 动量 lℏ 。这是在几何光学模式下非交轴倾射光束所描述的光子的轨道角动量[15] 。当然，这种螺旋相位板虽 然透射率很高，但其制作成本也高。高斯基模光束通过螺旋相位板生成的高斯涡旋光束会随传输距离的增 加沿径向扩展，在保持轨道角动量分布的能力方面逊色于 LG 光束 [16-18] 。 光学涡旋阵列可以通过螺旋相位滤波法[19] 和基于分数泰伯效应的衍射光学元件[20] 等方法生成。三束或 多束平面波干涉也可以生成光学涡旋阵列[21] 。这种情况类似于激光照射到粗糙表面时产生的光学散斑，每 个黑斑(暗核)对应着一个相位奇点。因为暗核处没有光强，所以既没有能量，也没有动量。但紧邻暗核处的 光具有螺旋相位波前，具有能量和轨道角动量。对整个散斑图，顺时针方向和逆时针方向的奇点数是相同 的，总角动量为零。这些相位奇点在二维波场中表现为暗斑，在三维波场中则表现为暗线，形成特有的分型 和拓扑结构[22] 。 2.2 存在形式和描述方法 圆偏振态是光振动矢量末端运动轨迹为圆的偏振态，与光场的空间分布情况无关。圆偏振光所具有的 自旋角动量，只围绕其自身轴，大小正比于局域光强，也称为内禀角动量；而 LG 光束绕光轴的轨道角动量大 小正比于绕光轴的环带光强，与光的空间分布相关，不同于自旋角动量，故又称外禀角动量[23] 。 内禀(自旋)角动量不依赖于光轴的选取，而轨道角动量则与光轴的选取密切相关。但对于一个给定的 传播方向 z，光的横向动量都为零。如果光轴产生偏折，l和 σ 是不变的，所以轨道角动量又可以称为准内禀 角动量。对于柱对称情况下的离轴光束，光束的横向动量是非零值，l是外禀的。 偏振光经过 1/4 波片后的自旋特性可以用数学分析的方法进行解释。同样地，涡旋光束通过柱透镜模 式转换器后的行为也可以用数学分析的方法进行解释。实际上，利用邦加球也可以表示任意两种轨道角动 量态[24] 。描述偏振光透过光学系统的琼斯矩阵法在研究轨道角动量通过像散光学器件的传播时也是等价的[25] 。 对具有轨道角动量的偏振光也有相应的联合矩阵表示形式，可以分别乘自旋琼斯矩阵，再乘轨道角动量矩 阵；或者反过来，都是正确的。这种情况等价于氢原子波函数的自旋和轨道角动量分量的分离情况。 2.3 自旋与轨道角动量的检测 偏振光的琼斯矩阵表示为 Er = é ë ê ù û ú Ex Ey = é ë ê ù û ú |Ex| exp(iφx ) |Ey | exp(iφx ) 。内禀 SAM 由光的圆偏振态决定。圆偏振态分为左 旋和右旋圆偏振，其归一化琼斯矢量分别为 1 2 ( ) 1 i 和 1 2 æ è ç ö ø ÷ 1 -i ，两垂直分量的相位差分别为 π /2 和 -π /2。 SAM 态通常采用检偏器和 1/4 波片的组合系统进行检验。在检偏器前插入 1/4 波片，旋转波片，出现最大透 射光强时表明波片快轴方向与检偏器透光轴方向相同。根据出射线偏振光的光矢量所在象限可以分辨其 旋向[26] 。光子的 SAM 态通过二维态空间来描写，提供了一种单量子位的物理实现方法，广泛地应用于量子 秘钥分配。 除了 SAM 态，单光子还可以具有无限多的正交 OAM 态，可以具有无限多的量子位。现在已经能够生成 不同 OAM 态的叠加，可以实现 N 维希尔伯特空间的单光子量子态(quNits)。研究表明，光的轨道角动量是 可以进行测量的。最常用的方法是用平面光与涡旋光束干涉，根据叉形干涉条纹的分支数判断涡旋光束的 拓扑荷。此外，利用球面光与其干涉形成的分支螺旋干涉条纹[27] ，与其镜像光束干涉产生的 2l径向轮辐干涉 图，通过环状多针孔产生的特殊干涉图[28] 、多针孔相位恢复算法[29] 、窄环带孔径形成的径向环带分布干涉图[30] 和透过锥透镜干涉[31] ，都可以实现 OAM 定量测量。 上述技术虽然都能够分辨 OAM 态，但需要多光子产生干涉图，在测量单光子态时遇到困难。单光子角 动量态的测量通常利用计算机制全息图与孔径光阑相结合的方法，使涡旋光束通过叉形全息图变为平面 光，并使其一级衍射耦合进单模光纤，通过单光子计数器实现单光子特殊 OAM 态的测定[7] 。这种测量技术 可探测具有一定特殊态的光子，更复杂一些的计算全息图可以测量几种不同的 l 态，但测量效率不超过 1/l。 还可以用干涉仪中 Gouy 相移的不同来分辨两种不同的模式级[32] ，但只能分选两种态。利用两个相对旋转 角度为 α 2 的 DOVE 棱镜的 Mach-Zehnder 干涉仪的级联，可以在原则上以 100%的效率测量 OAM 态。进 一步改进后，可用插入波片的 Mach-Zehnder 干涉仪实现多通道同时测量 SAM 和 OAM，甚至总角动量[33] ，可 应用于高密度信息传递。 3
51.1000042014) 激光与光电子学进履 www.opticsiournal.net 2.4自旋和轨道角动量的力学效应 涡旋光束具有确定的轨道角动量，可以造成微小物体沿光轴旋转叫。光的轨道角动量的力学效应可以 在光摄系统中排行测量。光摄利用高度聚他光束的醒度梯度力俘获微米量级的介质题数。对悬浮于被体 中的直径为5um的胶体球，激光强度只需要几毫瓦。利用G模式激光，可以将角动量传递给介质球，使其 围绕光轴旋转。 当且有光吸数特性的拉子被保获到光轴上时光摄系统同样表理为两种角动量行为。当光是圆偏振光 时，可以使粒子沿顺时针或逆时针方向旋转，这取决于偏振光的旋向可=±1。如果光束是拓扑荷=±1的况 旋光束时，它也可以使粒子产生旋转。如果。和1的符号相同，粒子的角速度正比于。+1，如果。和1的符 号相反，粒子会停止旋转，这是由于σ-1=0。这表明自旋和轨道角动量的等价性。另一方面，自旋角动 可以与轨道角动量相加或相减，说明光的总角动量为（σ+）。这与角动量流密度理论相符合。可以观 到，在共轴情况下粒子的质量中心都没有信移，自旋和轨道角动量都使球沿其自身轴旋转。对离蚰情况 粒子的运动状态会发生明显的变化。绕光轴的轨道角动量大小正比于绕光轴的环带光强，使粒子绕环带旋 转。而自旋角动量只围绕其自身轴，粒子只能绕自身轴旋转，旋转正比于局域的光强。此时，自旋和轨道表 现为完全不同的两种性质，是光的内禀和外禀角动量的具体体现。这些是光镊系统实现的重要研究工作， 主要包括微流体泵和其他的驱动微机械等。 光摄系中中空的LG光吏结构怀可以作为“热管”束铺超诊原子四。在很多场合特别是螺旋波前，轴 上强度为零，它可以囚禁蓝失谐原子。利余散射可以导致奇点尺度的变化。 冷却的原子能 一步生成玻 色爱因斯坦凝聚(BEC),还可以产生BEC的旋转“。有轨道角动量的光束与共振原子的相互作用也引起 了广泛关注。携带轨道角动量的偏振光使角速度为的原子在共振跃迁时产生频移！，对原子质量中心 的扭矩为五！.与椭圆度σ无关四。 2.5空间相干性和时间相干性 自旋角动量对圆偏振光的时间和空间相干性都没有特殊的要求。但对轨道角动量，情况就有些复杂 轨道角动量对无线电频段到X射线的整个电磁波谱都是有意义的。轨道角动量因为和光束的横截面相位 项相联系，因此对其时间相干性没有限制，每个光普分量都可以且有完整的趣旋相位结构。对于包含多个 光谱分量的涡旋光束，可以用常用的义型衍射光栅生成，色散可以用偏转棱镜回或补偿光栅进行消除。完 美的螺旋波前要求光是完全空间相干的，空间相干性的减小会破坏轴上相位奇点和暗核的保真度。 加里水 是部分相干的 ,则在透过螺旋 相 分叉衍射光栅时，产生的光束可以分解为 一定范围内不同轨道角 量模式的非相干叠加，这些光束称为兰金涡旋。研究表明，部分相干祸旋光束的光谱相干度及光强分和 与光束的拓扑电荷数，空间相对相干长度及酱流介质的折射奉结构常数等因素有关。随着空间相对相干长 度的增大，相干涡旋逐渐演化为强度况旋岳。在望远镜中置入螺旋相位板可以作为天文滤波器制从 个恒星发出的光，从而探测从其行呈上发出的离轴光 2.6角向多普勒频移效应 光束沿自身轴以角速度2旋转时会产生频移，说明光存在角向多普勒效应。这与横向多苦勒效应是 不同的。对自旋光束，由自旋产生的频移为6@'=2如，对OAM频移量为6u"=,总角动量频移为 wm=+。对且有相同偏振态、不同总角动量的复合光束，产生的桶移分量分别为8，=2(+) 6测，=σ+)。这是一种与自旋与轨道角动量的和有关的频移效应e。这种现象是因为无法在螺旋相 波前的时间演变过程中将沿光轴的两种旋转因子区分开造成的。光束的总旋转量使相位变化+)周。这 种相位和相关的顿移也话用于复色光，所有的颜谱成分会产生同样大小的援移。 2.7鱼游性质与测不准关系 自旋和轨道角动量另 ~明显的差别是轨道角动量和角位置存在傅里叶变换共轭关系。在柱坐标系 统中，所有的物理性质都是角位置的周期函数。由于方位角日是周期变化的，它的傅里叶变换共轭项OAM 是离散的，其傅里叶变换关系为 100004-4 1994-2014 China Academie Joumal Electronie Publishing House.All rights reserved. http://www.cnki.ne
51, 100004(2014) 激光与光电子学进展 www.opticsjournal.net 100004- 2.4 自旋和轨道角动量的力学效应 涡旋光束具有确定的轨道角动量，可以造成微小物体沿光轴旋转[34] 。光的轨道角动量的力学效应可以 在光镊系统中进行测量。光镊利用高度聚焦光束的强度梯度力俘获微米量级的介质颗粒。对悬浮于液体 中的直径为 5 μm 的胶体球，激光强度只需要几毫瓦。利用 LG 模式激光，可以将角动量传递给介质球，使其 围绕光轴旋转。 当具有光吸收特性的粒子被俘获到光轴上时，光镊系统同样表现为两种角动量行为。当光是圆偏振光 时，可以使粒子沿顺时针或逆时针方向旋转，这取决于偏振光的旋向 σ = ±1 。如果光束是拓扑荷 l= ±1 的涡 旋光束时，它也可以使粒子产生旋转。如果 σ 和 l 的符号相同，粒子的角速度正比于 σ + l ，如果 σ 和 l 的符 号相反，粒子会停止旋转，这是由于 σ - l = 0 。这表明自旋和轨道角动量的等价性。另一方面，自旋角动量 可以与轨道角动量相加或相减，说明光的总角动量为 (σ + l)ℏ 。这与角动量流密度理论相符合。可以观测 到，在共轴情况下，粒子的质量中心都没有偏移，自旋和轨道角动量都使球沿其自身轴旋转。对离轴情况， 粒子的运动状态会发生明显的变化。绕光轴的轨道角动量大小正比于绕光轴的环带光强，使粒子绕环带旋 转。而自旋角动量只围绕其自身轴，粒子只能绕自身轴旋转，旋转正比于局域的光强。此时，自旋和轨道表 现为完全不同的两种性质，是光的内禀和外禀角动量的具体体现。这些是光镊系统实现的重要研究工作， 主要包括微流体泵[35] 和其他的驱动微机械[36] 等。 光镊系统中中空的 LG 光束结构还可以作为“势管”束缚超冷原子[37] 。在很多场合，特别是螺旋波前，轴 上强度为零，它可以囚禁蓝失谐原子[38] 。剩余散射可以导致奇点尺度的变化。冷却的原子能进一步生成玻 色-爱因斯坦凝聚(BEC)，还可以产生 BEC 的旋转[39-40] 。有轨道角动量的光束与共振原子的相互作用也引起 了广泛关注。携带轨道角动量的偏振光使角速度为 Ω 的原子在共振跃迁时产生频移 Ωl ，对原子质量中心 的扭矩为 ℏlI ，与椭圆度 σ 无关[41] 。 2.5 空间相干性和时间相干性 自旋角动量对圆偏振光的时间和空间相干性都没有特殊的要求。但对轨道角动量，情况就有些复杂。 轨道角动量对无线电频段到 X 射线的整个电磁波谱都是有意义的。轨道角动量因为和光束的横截面相位 项相联系，因此对其时间相干性没有限制，每个光谱分量都可以具有完整的螺旋相位结构。对于包含多个 光谱分量的涡旋光束，可以用常用的叉型衍射光栅生成，色散可以用偏转棱镜[42] 或补偿光栅[43] 进行消除。完 美的螺旋波前要求光是完全空间相干的，空间相干性的减小会破坏轴上相位奇点和暗核的保真度。如果光 是部分相干的，则在透过螺旋相位板或分叉衍射光栅时，产生的光束可以分解为一定范围内不同轨道角动 量模式的非相干叠加[44] ，这些光束称为兰金涡旋[45] 。研究表明, 部分相干涡旋光束的光谱相干度及光强分布 与光束的拓扑电荷数、空间相对相干长度及湍流介质的折射率结构常数等因素有关。随着空间相对相干长 度的增大, 相干涡旋逐渐演化为强度涡旋[46-47] 。在望远镜中置入螺旋相位板可以作为天文滤波器抑制从一 个恒星发出的光，从而探测从其行星上发出的离轴光[48-50] 。 2.6 角向多普勒频移效应 光束沿自身轴以角速度 Ω 旋转时会产生频移，说明光存在角向多普勒效应[51] 。这与横向多普勒效应是 不 同 的 。 对 自 旋 光 束 ，由 自 旋 产 生 的 频 移 为 δω′ = Ωσ ，对 OAM 频 移 量 为 δω″ = Ωl ，总 角 动 量 频 移 为 δω‴ = Ω(l + σ) 。对具有相同偏振态、不同总角动量的复合光束，产生的频移分量分别为 δω1 = Ω(σ + l1) ， δω2 = Ω(σ + l2 ) 。这是一种与自旋与轨道角动量的和有关的频移效应[52-53] 。这种现象是因为无法在螺旋相位 波前的时间演变过程中将沿光轴的两种旋转因子区分开造成的。光束的总旋转量使相位变化 (l + σ) 周。这 种相位和相关的频移也适用于复色光，所有的频谱成分会产生同样大小的频移[54] 。 2.7 角谱性质与测不准关系 自旋和轨道角动量另一个明显的差别是轨道角动量和角位置存在傅里叶变换共轭关系。在柱坐标系 统中，所有的物理性质都是角位置的周期函数。由于方位角 θ 是周期变化的，它的傅里叶变换共轭项 OAM 是离散的，其傅里叶变换关系为[55] Al = 1 2π ∫-π π ψ(θ)exp(-ilθ)dθ , (1) 4
51.1000042014) 题光写兴甲子学进园 www.opticsjournal.net (e)=∑A,exp(ile0), (2) (②)式螺旋谐波exp的形式给出光模式的简洁表达式。光束角向横截面的限制会改变OAM谱，产生新的 OAM边频带。 在传统单缝或多缝衍射实验中，对光的位置限制导致了多个傅里叶颜谱分量间的干涉。角孔径对角向 的限制同样会导致多个OAM谱分量的干涉，形成角孔衍射现象，是角动量和角位置关系的直接展示。实 验表明，角位置和轨道角动量同样具有相应的测不准关系调，△△≥/2。这种测不准关系最先是在测量 动量和位置时提出的。到日前为止，还没有发现关于自旋角动量的共轭量。与轨道角动量相关的的测不准 关系成许会限制利用轨道角动量所讲行的量子纠箱的研空 2.8参量转换与量子纠缠 利用非线性品体的倍频效应和上转换效应可以实现螺旋相位模式的倍频效应侧。这与自旋角动量是不 同的，因为自旋角动量只有±九取值。这也是自旋和轨道角动量的另一个不同点。轨道角动量倍频没有上 限，上转换可以改变模式的级次，而圆偏振模式的转换则没有对应项。因为在基频和倍颜的波矢方向和坡 印亭矢量（光线方向此线这种倍领效应品通过严格的相位匹实现的。被数增加一倍音味着拓扑益 会相应增加1倍。该现象在光场轨道角动量的转换中得到验证 这项工作促进了光子参量下转换的 究，直接影响了利用轨道角动量实现高阶量子纠缠的探索。在参量下转换效应中，轨道角动量的相关运 算可以通过两幅全息图来实现。全息图决定给定的抽运拓扑荷，的闲频拓扑荷，和信号拓扑荷，。对于给 定的抽运拓扑荷，闲频和信号拓扑荷可以取个很大的范围。结合单光子分选技术，轨道角动量的高维希 尔伯特空间和大信息容量特性使其可以应用于量子信息处理。参量下转换光束和破坏贝尔不等式的研究 表明，轨道角动量是 个量子水平上的有意义的概念 ,具有真正的光子特 3展 组 在最近30年的时间里，人们认识到螺旋相位光束具有一个大小为1方的量子轨道角动量后，在经典和量 子体系涡旋光束研究领域得到了讯速发展。轨道角动量可以提供作用力，施加力矩到宏观或者量子尺度的 物体上。轨道角动量可以从光传递给微小粒子，也可以传逆给原子和玻色爱因斯坦凝聚物。尽管轨道角动 量的许多性质仅仪用经典的几何光学内容，依据爆旋相位波前和非轴向坡印亭矢量就可以理解，但轨道角 动量也具有单光子的性质。光学轨道角动量的量子方面在参量下转换实验中是显著的，发射的光子对的 道角动量是相互纠缠的。现在轨道角动量的随机叠加，以及光学角动量态是可以被制造、观察和测量的。 虽然携带轨道角动量的光束的生成和控制已经相当成熟，光的轨道角动量与物体之间相互作用的实验 已经得到开发和利用，实现了由轨道角动量扭矩驱动的微型机械，但对轨道角动量的研究仍处在初级阶 段。将继续关注以下几方面的研究进展：)在量子计算和量子通信领域中，提供了更大数据容量和更高安 全等级的高维希尔伯特空间轨道角动量量子许可新协议和量子纠缠：2)旋转物体造成偏振态的微小旋转 示的“以太阻力“及旋转多普勒效应；)光子轨道角动量与原子角动量的传递与转换时的选择规则和理论解 释：4)低相干光学涡旋在天文观测望远系统和衬度成像显微系统中应用等。在这些方面，仍然有大量的研 究工作需要深入探素，相信不会有更多的本质内容被发理 参考文献 1Beth RA.Mechanical detection and measurement of the angular momentum of light).Physical Review,1936.50(2): 115-123. Allen L.Beijersbergen M W,Spreeuw R J C.et al.Orbital angular momentum of light and the transformation of Laguerre-Gaussian laser modes[J].Physical Review A.1992.45(11):8185-8189 Lu Xuanhui,Huang Huigin,Zhao Chengliang.et al.Optical vortex beams and optical vortices(J].Lase Optoelectronies Progress,2008,45(1):50-56 陆装辉，黄造琴，赵承良，等.涡旋光束和光学祸旋微光与光电子学进履，2008,451)：50-56. 4 Leach J.Yao E.Padgett M.Observation of the vortex strueture of a non-integer vortex beam Jj.New Journal of Physies.2004,6(1):71 100004- 1994-014 China Academie Joural Electronie Publishing House.All rights reserved.http://www.enki.ne
51, 100004(2014) 激光与光电子学进展 www.opticsjournal.net 100004- ψ(θ) =∑l = -∞ +∞ Al exp(ilθ) , (2) (2)式螺旋谐波 exp(ilθ) 的形式给出光模式的简洁表达式。光束角向横截面的限制会改变 OAM 谱，产生新的 OAM 边频带。 在传统单缝或多缝衍射实验中，对光的位置限制导致了多个傅里叶频谱分量间的干涉。角孔径对角向 的限制同样会导致多个 OAM 谱分量的干涉，形成角孔衍射[56] 现象，是角动量和角位置关系的直接展示。实 验表明，角位置和轨道角动量同样具有相应的测不准关系[57-58] ，ΔθΔl ≥ ℏ/2 。这种测不准关系最先是在测量 动量和位置时提出的。到目前为止，还没有发现关于自旋角动量的共轭量。与轨道角动量相关的的测不准 关系或许会限制利用轨道角动量所进行的量子纠缠的研究[59] 。 2.8 参量转换与量子纠缠 利用非线性晶体的倍频效应和上转换效应可以实现螺旋相位模式的倍频效应[59] 。这与自旋角动量是不 同的，因为自旋角动量只有 ±ℏ 取值。这也是自旋和轨道角动量的另一个不同点。轨道角动量倍频没有上 限，上转换可以改变模式的级次，而圆偏振模式的转换则没有对应项。因为在基频和倍频的波矢方向和坡 印亭矢量(光线方向)共线，这种倍频效应是通过严格的相位匹配实现的。波数增加一倍，意味着拓扑荷 l 也 会相应增加 1 倍。该现象在光场轨道角动量的转换中得到验证[60] 。这项工作促进了光子参量下转换的研 究，直接影响了利用轨道角动量实现高阶量子纠缠的探索[61-62] 。在参量下转换效应中，轨道角动量的相关运 算可以通过两幅全息图来实现。全息图决定给定的抽运拓扑荷 lp的闲频拓扑荷 li和信号拓扑荷 ls。对于给 定的抽运拓扑荷，闲频和信号拓扑荷可以取一个很大的范围。结合单光子分选技术，轨道角动量的高维希 尔伯特空间和大信息容量特性使其可以应用于量子信息处理。参量下转换光束和破坏贝尔不等式的研究 表明，轨道角动量是一个量子水平上的有意义的概念，具有真正的光子特性。 3 展 望 在最近 30 年的时间里，人们认识到螺旋相位光束具有一个大小为 l ℏ 的量子轨道角动量后，在经典和量 子体系涡旋光束研究领域得到了迅速发展。轨道角动量可以提供作用力，施加力矩到宏观或者量子尺度的 物体上。轨道角动量可以从光传递给微小粒子，也可以传递给原子和玻色爱因斯坦凝聚物。尽管轨道角动 量的许多性质仅仅用经典的几何光学内容，依据螺旋相位波前和非轴向坡印亭矢量就可以理解，但轨道角 动量也具有单光子的性质。光学轨道角动量的量子方面在参量下转换实验中是显著的，发射的光子对的轨 道角动量是相互纠缠的。现在轨道角动量的随机叠加，以及光学角动量态是可以被制造、观察和测量的。 虽然携带轨道角动量的光束的生成和控制已经相当成熟，光的轨道角动量与物体之间相互作用的实验 已经得到开发和利用，实现了由轨道角动量扭矩驱动的微型机械，但对轨道角动量的研究仍处在初级阶 段。将继续关注以下几方面的研究进展：1) 在量子计算和量子通信领域中，提供了更大数据容量和更高安 全等级的高维希尔伯特空间轨道角动量量子许可新协议和量子纠缠；2) 旋转物体造成偏振态的微小旋转揭 示的“以太阻力”及旋转多普勒效应；3) 光子轨道角动量与原子角动量的传递与转换时的选择规则和理论解 释；4) 低相干光学涡旋在天文观测望远系统和衬度成像显微系统中应用等。在这些方面，仍然有大量的研 究工作需要深入探索，相信还会有更多的本质内容被发现。 参 考 文 献 1 Beth R A. Mechanical detection and measurement of the angular momentum of light[J]. Physical Review, 1936, 50(2): 115-123. 2 Allen L, Beijersbergen M W, Spreeuw R J C, et al. Orbital angular momentum of light and the transformation of Laguerre-Gaussian laser modes[J]. Physical Review A, 1992, 45(11): 8185-8189. 3 Lu Xuanhui, Huang Huiqin, Zhao Chengliang, et al. Optical vortex beams and optical vortices[J]. Laser & Optoelectronics Progress, 2008, 45(1): 50-56. 陆璇辉, 黄慧琴, 赵承良, 等. 涡旋光束和光学涡旋[J]. 激光与光电子学进展, 2008, 45(1): 50-56. 4 Leach J, Yao E, Padgett M. Observation of the vortex structure of a non- integer vortex beam[J]. New Journal of Physics, 2004, 6(1): 71. 5
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