第六章代数结构 优数結构主噩研穷对禽星种各样您代备 自一二元算的不数纷个绍的群就 本真以为过论代数结枃宝的思想 计算机李 上/暑初我拿握其基不论芳法 读煮通过型駐的学忌宮初若第握对数奢统 茄发 拍象、难学 粮摆自体情 减气 返回首页 2021/1/21
2021/1/21 1 第六章 代数结构 代数结构的主要研究对象是各种各样的代数系 统，即具有一些元运算的集合,本章介绍的群就 是具有一个二元运算的代数系统. 本章以群为例讨论代数结构，它的思想和方 法已经渗透到现代科学的许多分支、它的结果 已应用到计算机的不少方面，因此计算机科学 工作者应初步掌握其基本的理论和方法. 读者通过对群的学习应初步掌握对代数系统研 究的一般方法，从简单到复杂、从具体到一般， 从而发现代数系统的一般规律.本章的内容较为 抽象、难学.可根据具体情况删减一些内容. 返回首页
第一节代数结构概述 ●我们在前面已经研究过集合,那时没有 过多地考虑一个集合内部元素之间的联 系现在我们要在一个集合的内部引入运 算,并研究其运算规律,主要内容为 ●1代数系统的定义然后用例子说明代数 系统的丰富性; ●2代数系统的运算的常用记法和运算表 的概 返回本章首页 2021/121
2021/1/21 2 第一节 代数结构概述 ⚫ 我们在前面已经研究过集合，那时没有 过多地考虑一个集合内部元素之间的联 系.现在我们要在一个集合的内部引入运 算，并研究其运算规律,主要内容为: ⚫ 1.代数系统的定义,然后用例子说明代数 系统的丰富性; ⚫ 2.代数系统的运算的常用记法和运算表 的概念. 返回本章首页
第二节置换(1) ●群论的硏究始于置换群置换群在群论里 有重要的地位例如,五次以上方程不能 用根号求解的问题的证明就用到置换群 置换概念本身在计算机科学中也起作重 要作用,同时置换群的记法简单,运算方 便 本节的概念有:置换、循环置换、不相交 置换、对换、奇置换、偶置换等; 3 返回本章首页 2021/121
2021/1/21 3 第二节 置换(1) ⚫ 群论的研究始于置换群.置换群在群论里 有重要的地位.例如，五次以上方程不能 用根号求解的问题的证明就用到置换群. 置换概念本身在计算机科学中也起作重 要作用.同时置换群的记法简单，运算方 便. ⚫ 本节的概念有:置换、循环置换、不相交 置换、对换、奇置换、偶置换等; 返回本章首页
第二节置换(2) ●本节的结论有: 1.置换的乘法(即合成)满足结合律; 2两个不相交的循环置换的乘法满足交换律; 3任意置换均可惟地分解成不相交循环置 的乘积(不考虑因子的次序); 4每个買换都能分解成对换的乘积,目偶置 资能分解成奇数个对换的乘积,奇置换 京能仝解成偊数个对换的汞积 5在n个元素的所有置换中,奇偶置换各半. 返回本章首页 2021/121
2021/1/21 4 第二节 置换(2) ⚫ 本节的结论有: 1.置换的乘法(即合成)满足结合律; 2.两个不相交的循环置换的乘法满足交换律; 3.任意置换均可惟一地分解成不相交循环置 换的乘积(不考虑因子的次序) ； 4.每个置换都能分解成对换的乘积，且偶置 换只能分解成偶数个对换的乘积，奇置换 只能分解成奇数个对换的乘积； 5.在n个元素的所有置换中,奇偶置换各半. 返回本章首页
第三节 群 ●本节给出了群的定义及群的简单性质 主要概念有左(右)位元、单位元、左 (有元、逆可除条件、消去律、 有限群、无限群、交换群; ●主要结论有: 1群的定义中条件(2)、(3)可分别用左单 元、左逆元替代也可分别用石单位元、 石逆元替代还可以用可除条仟替代; 2任意群中消去律成立 5 返回本章首页 2021/121
2021/1/21 5 第三节 群 ⚫ 本节给出了群 的定义及群 的简单性质. ⚫ 主要概念有:左(右)单位元、单位元、左 (右)逆元、逆元、可除条件、消去律、 有限群、无限群、交换群; ⚫ 主要结论有: 1.群的定义中条件(2) 、(3)可分别用左单 位元、左逆元替代,也可分别用右单位元、 右逆元替代,还可以用可除条件替代; 2.任意群中消去律成立. 返回本章首页
第四节子群 ●与集合的子集向量空间的子空间一样 群也有子群的概念子群作为群的部分 它的结构对群的结构有重要影响 丰要概念有平凡子群、非平凡子群、由 某个元素生成的子群、循环群、生成元 元素的周期. ●讨论了一个群的非空子集构成子群的条 件在某个元素生成的子群的基础上定义 循环群把循环群的结构研究清楚了 6 <返回本章首页 2021/121
2021/1/21 6 第四节 子群 ⚫ 与集合的子集、向量空间的子空间一样. 群也有子群的概念.子群作为群的一部分. 它的结构对群的结构有重要影响. ⚫ 主要概念有:平凡子群、非平凡子群、由 某个元素生成的子群、循环群、生成元、 元素的周期. ⚫ 讨论了一个群的非空子集构成子群的条 件;在某个元素生成的子群的基础上定义 循环群,把循环群的结构研究清楚了. 返回本章首页
第五节陪集与正规子群 本节利用群G的一个子群H来作G的一个分类 并由这样的分类来引入正规子群的概念 1利用群G的一个子群H定义了G的一个等价 关系这个等价关系决定了G的一个分类每个 类Ha称为右陪集类似地也定义了左陪集 2在左、右陪集的基础上定义了群的正规子 群并讨论了子群为正规子群的条件,正规子 群是群的一类重要子群有很好的代数性质, 应很好掌握它. 返回本章首页 2021/121
2021/1/21 7 第五节 陪集与正规子群 ⚫ 本节利用群G的一个子群H来作G的一个分类， 并由这样的分类来引入正规子群的概念. 1.利用群G的一个子群H,定义了G的一个等价 关系,这个等价关系决定了G的一个分类,每个 类Ha称为右陪集,类似地也定义了左陪集; 2.在左、右陪集的基础上定义了群的正规子 群,并讨论了子群为正规子群的条件,正规子 群是群的一类重要子群,有很好的代数性质, 应很好掌握它. 返回本章首页
第六节拉格朗日定理 ●拉格朗日定理反映了有限群的元数与其 子群的元数之间的关系是群论的最基本 定理之 ●拉格朗日定理是:设G是有限群H是G的 子群则有公式G|=H(G:H ●本节给出了拉格朗日定理的两个推论及 几个应用拉格朗日定理的例子 8 返回本章首页 2021/121
2021/1/21 8 第六节 拉格朗日定理 ⚫ 拉格朗日定理反映了有限群的元数与其 子群的元数之间的关系.是群论的最基本 定理之一. ⚫ 拉格朗日定理是:设G是有限群,H是G的 子群,则有公式|G|=|H|(G:H). ⚫ 本节给出了拉格朗日定理的两个推论及 几个应用拉格朗日定理的例子. 返回本章首页
第七节群的同态(1) ●同态是两个代数系统间的一种联系,通 过这种联系,可以把一个代数系统的运 算转杨到另一个代数系统使得在一个 中轻难解决四转格到易个 我们常用的对数实际上它就是实 准的乘法 是统系功量唤的关素试忘1 返回本章首页 2021/121
2021/1/21 9 第七节 群的同态(1) ⚫ 同态是两个代数系统间的一种联系，通 过这种联系，可以把一个代数系统的运 算转移到另一个代数系统.使得在一个代 数系统中较难解决的问题转移到另一个 代数系统中成为较易解决的问题.例如， 我们常用的对数，实际上，它就是正实 数的乘法群到实数的加法群的一个同态. 利用对数，我们实现了把较难的乘法运 算转化成较易的加法运算，因此，同态 是代数系统间十分重要的关系 返回本章首页
第七节群的同态(2) ●主要概念有同态、单同态、满同态、同 构、零同态、同态象、同态核. ●主要结论有: 1设提是群G到群G的同态映射,则G的单 位元的象是G的单位元;且G的子群H 在仆下的象f(H是G的子群 2设f是群G到群G的同态映射则同态核 是G的正规子群; 返回本章首页 2021/121
2021/1/21 10 第七节 群的同态(2) ⚫ 主要概念有:同态、单同态、满同态、同 构、零同态、同态象、同态核. ⚫ 主要结论有: 1.设f是群G到群G’的同态映射，则G的单 位元的象是G’的单位元；且G的子群H 在f下的象f(H)是G’的子群; 2.设f是群G到群G’的同态映射,则同态核 是G的正规子群; 返回本章首页