第六章附录—图形变换 6.1数学基础 1.矢量运算 矢量是一有向线段,具有方向和大小两个参数。设有两个矢量V1(x1,y1,z1),V2(x2,y2,z2)。 1)矢量的长度 =(x1*x1,y1*,21*2y2 2)数乘矢量 av=(ax,,ay,az,) 3)两个矢量之和 +v2=(x1,y1,z1)+(x2,y22)=(x1+x2,y1+y2,z1+z2) 2 V: 4)两个矢量的点积 72=V‖ c0s=x1*x211米y2+21米22,6为两向量之间的夹 点积满足交换律和分配律 1V2=v2V1(2+v3)=吃1+ 5)两个矢量的叉积 ×2=1y121|=(n2-2,2一2,y2-2n) y2 Z2 叉积满足反交换律和分配律 Ⅵ×V2=-V2××(2+73)=×2+ V,xV2 2.矩阵运算 设有一个m行n列矩阵A 计算机图形学第六章第177页共14页
计算机图形学 第六章 第 177 页 共 14 页 第 第六章 附录——图形变换 6.1 数学基础 1. 矢量运算 矢量是一有向线段，具有方向和大小两个参数。设有两个矢量 V1（x1，y1，z1），V2（x2，y2，z2）。 1) 矢量的长度 2) 数乘矢量 3) 两个矢量之和 4) 两个矢量的点积 ， 为两向量之间的夹 角。 点积满足交换律和分配律 5) 两个矢量的叉积 叉积满足反交换律和分配律 2. 矩阵运算 设有一个 m 行 n 列矩阵 A
其中(a1,a12,03,i)被称为第i个行向量,142,3” 被称为第j个列向量 1)矩阵的加法运算 设两个矩阵A和B都是mxn的,把他们对应位置的元素相加而得到的矩阵叫做A、B的和 记为A+B 1+h1 12 a.+b. Atb= a,+b, al m2+b 只有在两个矩阵的行数和列数都相同时才能加法。 2)数乘矩阵 用数k乘矩阵A的每一个元素而得的矩阵叫做k与A之积,记为kA k kA 3)矩阵的乘法运算 只有当前一矩阵的列数等于后一矩阵的行数时两个矩阵才能相乘。 Cmom=Ar,Bpxn 矩阵C中的每一个元素 下面让我们用一个简单的例子来说明,设A为2x3的矩阵,B为3x2的矩阵,则两者的乘积 bu b C=A·B a1h1+a121+a12a142+a12+a122 at am a 4)单位矩阵 对于一个nxn的矩阵,如果它的对角线上的各个元素均为1,其余元素都为0,则该矩阵称 为单位阵,记为In。对于任意mxn的矩阵恒有 5)矩阵的转置 交换一个矩阵Amxn的所有的行列元素,那么所得到的nxm的矩阵被称为原有矩阵的转 记为A 计算机图形学第六章第178页共14页
计算机图形学 第六章 第 178 页 共 14 页 其中 被称为第 i 个行向量， 被称为第 j 个列向量。 1) 矩阵的加法运算 设两个矩阵 A 和 B 都是 mxn 的，把他们对应位置的元素相加而得到的矩阵叫做 A、B 的和， 记为 A＋B 只有在两个矩阵的行数和列数都相同时才能加法。 2) 数乘矩阵 用数 k 乘矩阵 A 的每一个元素而得的矩阵叫做 k 与 A 之积，记为 kA 3) 矩阵的乘法运算 只有当前一矩阵的列数等于后一矩阵的行数时两个矩阵才能相乘。 ，矩阵 C 中的每一个元素 。 下面让我们用一个简单的例子来说明，设 A 为 2x3 的矩阵，B 为 3x2 的矩阵，则两者的乘积 为： 4) 单位矩阵 对于一个 nxn 的矩阵，如果它的对角线上的各个元素均为 1，其余元素都为 0，则该矩阵称 为单位阵，记为 In。对于任意 mxn 的矩阵恒有 5) 矩阵的转置 交换一个矩阵 Amxn 的所有的行列元素，那么所得到的 nxm 的矩阵被称为原有矩阵的转置， 记为 A T：
是然(4)=A(A+B)=(A+B)(=k 但是对于矩阵的积:(A:B)=B7A 6)矩阵的逆 对于一个nxn的方阵A,果存在一个nxn的方阵B,使得AB=BA=In,则称B是A的逆,记为 B=a. A则被称为非奇异矩阵 矩阵的逆是相互的,A同样也可记为 任何非奇异矩阵有且只有一个逆矩阵。 A=B_,B也是一个非奇异矩阵。 7)矩阵运算的基本性质 A.矩阵加法适合交换律与结合律 A+b=bta A+(B+C)=(A+B)+C B.数乘矩阵适合分配律与结合律 a(A+B)=CA+aB a(A·B)=(a·A)·B=A·aB 矩阵的乘法适合结合律 A(B·C)=(A·B)C D.矩阵的乘法对加法适合分配律 (A+ B)C=AC BC C(A+B)=CA+CB E.矩阵的乘法不适合交换率 A·B≠B·A 3.齐次坐标 所谓齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n1维向量来表示。如向量(x2,x2,,xn)的 齐次坐标表示为7x2,…,hx m”,其中h是一个实数。显然一个向量的齐次表示是不唯 一的,齐次坐标的h取不同的值都表示的是同一个点,比如齐次坐标[8,4,2]、[4,2,1表示的都是 二维点[2,1]。 那么引进齐次坐标有什么必要,它有什么优点呢? 它提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法 A.它可以表示无穷远的点。n+1维的齐次坐标中如果h=0,实际上就表示了n维空间的一个无穷远点。对于齐次 坐标[a.b,保持a.b不变,”时轴的过程就表示了在二维坐标系中的一个点沿直线ax+y=0 逐渐走向无穷远处的过程。 4线性方程组的求解 对于 个有n个变量的方程组: a11+a12x2+…+ a21+a22x2+…+a b2 x1+ 计算机图形学第六章第179页共14页
计算机图形学 第六章 第 179 页 共 14 页 显然 但是对于矩阵的积： 6) 矩阵的逆 对于一个 nxn 的方阵 A，果存在一个 nxn 的方阵 B，使得 AB=BA=In，则称 B 是 A 的逆，记为 ，A 则被称为非奇异矩阵。 矩阵的逆是相互的，A 同样也可记为 ，B 也是一个非奇异矩阵。 任何非奇异矩阵有且只有一个逆矩阵。 7) 矩阵运算的基本性质 A.矩阵加法适合交换律与结合律 B.数乘矩阵适合分配律与结合律 C.矩阵的乘法适合结合律 D.矩阵的乘法对加法适合分配律 E.矩阵的乘法不适合交换率 3. 齐次坐标 所谓齐次坐标就是将一个原本是 n 维的向量用一个 n+1 维向量来表示。如向量 的 齐次坐标表示为 ，其中 h 是一个实数。显然一个向量的齐次表示是不唯 一的，齐次坐标的 h 取不同的值都表示的是同一个点，比如齐次坐标[8,4,2]、[4,2,1]表示的都是 二维点[2,1]。 那么引进齐次坐标有什么必要，它有什么优点呢？ .它提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。 A.它可以表示无穷远的点。n+1 维的齐次坐标中如果 h=0，实际上就表示了 n 维空间的一个无穷远点。对于齐次 坐标[a,b,h]，保持 a,b 不变， 的过程就表示了在二维坐标系中的一个点沿直线 ax+by=0 逐渐走向无穷远处的过程。 4. 线性方程组的求解 对于一个一个有 n 个变量的方程组：
可将其表示为矩阵形式:AX=B,A为系数矩阵。该方程有唯一解的条件是A是非奇异矩阵, 则方程的解为 X=AB 2几何变换 1.窗口区到视图区的坐标变换 实际的窗口区与视图区往往不一样大小,要在视图区正确地显示形体的,必须将其从窗口区变换到视图区 Y个 yt yb vtb K WXr 窗口区 视图区 由比例关系,两者的变换公式为 Rv-vxls vxr-vx/ wxr-wxl vyt-vyb y b wyb t- wyb 可以简单地将两者的关系表示为 x=a·xm+b y =Cyw+ 其中 uxr-vxl 1了-1 uxr-vxl b=vxl wixr-wxi t- vtb wyt -wy d= vyb-vyt-vyb b t-wyb 计算机图形学第六章第180页共14页
计算机图形学 第六章 第 180 页 共 14 页 可将其表示为矩阵形式：AX=B，A 为系数矩阵。该方程有唯一解的条件是 A 是非奇异矩阵， 则方程的解为： 6.2 几何变换 1. 窗口区到视图区的坐标变换 实际的窗口区与视图区往往不一样大小，要在视图区正确地显示形体的，必须将其从窗口区变换到视图区。 由比例关系，两者的变换公式为： 可以简单地将两者的关系表示为： 其中：
用矩阵表示为 2.二维图形的几何变换 正如我们在附录中提到的那样,用齐次坐标表示点的变换将非常方便,因此在本节中所有的几何变换都将采用齐次坐 标进行运算。二维齐次坐标变换的矩阵的形式是: C g h: i 这个矩阵每一个元素都是有特殊含义的。 a b 可以对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换 是对图形进行平移变换 图形作投影变换 则是对图形整体进行缩放变换 1)平移变换 0 tr x +t 01 y+t,=T(t,, t 1|001 2)缩放变换 001x S(x,3,)y 3)旋转变换 在直角坐标平面中,将二维图形绕原点旋转b角的变换形式如下: cose sIn x cos 6-ysin sing cosg oy=xsing+y cos 0=R(ely 0 0 逆时针旋转口取正值,顺时针旋转如负值。 计算机图形学第六章第181页共14页
计算机图形学 第六章 第 181 页 共 14 页 用矩阵表示为： 2. 二维图形的几何变换 正如我们在附录中提到的那样，用齐次坐标表示点的变换将非常方便，因此在本节中所有的几何变换都将采用齐次坐 标进行运算。二维齐次坐标变换的矩阵的形式是： 这个矩阵每一个元素都是有特殊含义的。 其中 可以对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换； 是对图形进行平移变换； 是对 图形作投影变换； 则是对图形整体进行缩放变换。 1）平移变换 2）缩放变换 3）旋转变换 在直角坐标平面中，将二维图形绕原点旋转 角的变换形式如下： 逆时针旋转 取正值，顺时针旋转 负值
4)对称变换 ab01x1「ax+b 0011 对称变换其实只是a、b、d、e取0、1等特殊值产生的一些特殊效果。例如: A.当b=d=0,a=-1,e=1时有x=x,y=y,产生与y轴对称的图形 B.当b=d=0,a=1,e=-1时有x=x,y=-y,产生与x轴对称的图形 C.当b=d=0,a=e=-1时有x=x,y=-y,产生与原点对称的图形。 D.当b=d=1,a=e=0时有x′=y,y=x,产生与直线y=x对称的图形 E.当b=d=-1,a=e=0时有xy,y=-x,产生与直线y=-x对称的图形 5)错切变换 1b0 +by d 1 oy=dx +y 001 F.当d=0时,x=x+by,y=y,此时,图形的y坐标不变, 随初值(x,y)及变换系数b作线性变化。 G.当b=0时,x=x,y 此时,图形的x坐标不变,y坐标随初值(x,y)及变换系数d作线性变化 平移示意图 缩放示意图 关于Y轴对称示意图 计算机图形学第六章第182页共14页
计算机图形学 第六章 第 182 页 共 14 页 4）对称变换 对称变换其实只是 a、b、d、e 取 0、1 等特殊值产生的一些特殊效果。例如： A. 当 b=d=0，a=-1，e=1 时有 x / =-x，y / =y，产生与 y 轴对称的图形。 B. 当 b=d=0，a=1，e=-1 时有 x / =x，y / =-y，产生与 x 轴对称的图形。 C. 当 b=d=0，a=e=-1 时有 x / =-x，y / =-y，产生与原点对称的图形。 D. 当 b=d=1，a=e=0 时有 x / =y，y / =x，产生与直线 y=x 对称的图形。 E. 当 b=d=-1，a=e=0 时有 x / =-y，y / =-x，产生与直线 y=-x 对称的图形。 5）错切变换 F. 当 d=0 时，x / =x+by，y / =y，此时，图形的 y 坐标不变，x 坐标随初值（x，y）及变换系数 b 作线性变化。 G. 当 b=0 时，x / =x，y / =dx+y，此时，图形的 x 坐标不变，y 坐标随初值（x，y）及变换系数 d 作线性变化
b0 B 相对原点旋转角 X方向错切变换 Y方向错切变换 6)复合变换 如果图形要做一次以上的几何变换,那么可以将各个变换矩阵综合起来进行一步到 位的变换。复合变换有如下的性质: H.复合平移 对同一图形做两次平移相当于将两次的平移两加起来 0 tm2[10 ta r(t2)27(n)=015201动 2+t=T(2+ty+n) 00 00 00 I.复合缩放 两次连续的缩放相当于将缩放操作相乘 00「s,00 8(23y2)(xx)=0 0 0 s S(12·$ 001 0 J.复合旋转 两次连续的旋转相当于将两次的旋转角度相加 cosB2-sine2 0 cose -sin g 0 cos(02+01)-sin(82+01)0 R(B2). R(01)=sin B2 cosB osing cose 0=sin(82+ 01) cos(02+6)0=R(82+g) 0 缩放、旋转变换都与参考点有关,上面进行的各种变换都是以原点为参考点的。如果相对某 个一般的参考点(x,y)作缩放、旋转变换,相当于将该点移到坐标原点处,然后进行缩 放、旋转变换,最后将(xr,yr)点移回原来的位置。切记复合变换时,先作用的变换矩阵 在右端,后作用的变换矩阵在左端 K.关于(xr,yr)点的缩放变换 S(xr,y;S,3)=7(xr,y)·S(x,)7(-xr,-yr) 计算机图形学第六章第183页共14页
计算机图形学 第六章 第 183 页 共 14 页 6）复合变换 如果图形要做一次以上的几何变换，那么可以将各个变换矩阵综合起来进行一步到 位的变换。复合变换有如下的性质： H. 复合平移 对同一图形做两次平移相当于将两次的平移两加起来： I. 复合缩放 两次连续的缩放相当于将缩放操作相乘： J. 复合旋转 两次连续的旋转相当于将两次的旋转角度相加： 缩放、旋转变换都与参考点有关，上面进行的各种变换都是以原点为参考点的。如果相对某 个一般的参考点（xf，yf）作缩放、旋转变换，相当于将该点移到坐标原点处，然后进行缩 放、旋转变换，最后将（xf，yf）点移回原来的位置。切记复合变换时，先作用的变换矩阵 在右端，后作用的变换矩阵在左端。 K. 关于（xf，yf）点的缩放变换
10x,[8,00110 01 0101 001100 001 (1-$, 0 y(1 00 L.绕(xr,yr)点的旋转变换 R(xr,y;日)=7(x1,yr)·R()7(-xr,-y 10x,cos-sine01「10 01 sing cos0 00 1 y5 001 0 001 cos8-sin8 x, (1-cos9)+yr sin 0 sing cosB y,(1-cos 0)-x, sin 8 0 3.三维几何变换 由于用齐次坐标表示,三维几何变换的矩阵是一个4阶方阵,其形式如下: 21a22a23:a2 a32 a 41 42 43 12 其中 a31a2a3」产生缩放、旋转、错切等几何变,234 产生平移变换:41aaa4 产生投影变换: 产生整体的缩放变换 1)平移变换 参照二维的平移变换,我们很容易得到三维平移变换矩阵: 00t x十t y 010t 001t z+t 000 计算机图形学第六章第184页共14页
计算机图形学 第六章 第 184 页 共 14 页 L. 绕（xf，yf）点的旋转变换 3. 三维几何变换 由于用齐次坐标表示，三维几何变换的矩阵是一个 4 阶方阵，其形式如下： 其中 产生缩放、旋转、错切等几何变换； 产生平移变换； 产生投影变换； 产生整体的缩放变换。 1）平移变换 参照二维的平移变换，我们很容易得到三维平移变换矩阵：
直接考虑相对于参考点(x,y,a)的缩放变换,其步骤为: A.将平移到坐标原点处 B.进行缩放变换 C.将参考点(x,yr,zr)移回原来位置 则变换矩阵为 100x 0001「100 Sx00(1-sx) 010y06,00|710-y=0600-),y 001zf100s20001 00s2(1-s2) 0001|1000 0001 000 3)绕坐标轴的旋转变换 三维空间的旋转相对要复杂些,考虑右手坐标系下相对坐标原点绕坐标轴旋转q角的变换: A.绕x轴旋转 0 0 0 6 -sine 0 Rx(0) 0 cos 0.z 00 B.绕y轴旋转 cos日0sin901x B(6 -sing 0 cos 00.z 0001‖1 C.绕z轴旋转 cos日-sin9001x sinb cos 0 R2(6) 00 0 001 计算机图形学第六章第185页共14页
计算机图形学 第六章 第 185 页 共 14 页 2）缩放变换 直接考虑相对于参考点（xf，yf，zf）的缩放变换，其步骤为： A. 将平移到坐标原点处； B. 进行缩放变换； C. 将参考点（xf，yf，zf）移回原来位置 则变换矩阵为： 3）绕坐标轴的旋转变换 三维空间的旋转相对要复杂些，考虑右手坐标系下相对坐标原点绕坐标轴旋转 q 角的变换： A.绕 x 轴旋转 B.绕 y 轴旋转 C.绕 z 轴旋转
Y K 相对F点作缩放变换 三维空间的平移、旋转及缩放示意图 4)绕任意轴的旋转变换 设旋转轴AB由任意一点A(x,ya,za)及其方向数(a,b,c)定义,空间一点P(x,yn,z)绕AB轴旋 转角到P(x1,y,z),则 可以通过下列步骤来实现P点的旋转: A.将A点移到坐标原点 B.使AB分别绕X轴、Y轴旋转适当角度与Z轴重合。 C.将AB绕Z轴旋转角。 作上述变换的逆操作,使AB回到原来位置 所以a()=(x0,y2,2)R(a)(B)尺:()B)R,(a)(x,y2,2a) 其中各个矩阵的形式参照上面所讲的平移、选择矩阵,而∝、P分别是AB在Y0Z平面与XOC平面的投影 与Z轴的夹角。 6.3图形的投影变换 1.投影变换分类 把三维物体变为二维图形表示的过程称为投影变换 投影变换的分类情况如下表所示: 计算机图形学第六章第186页共14页
计算机图形学 第六章 第 186 页 共 14 页 三维空间的平移、旋转及缩放示意图 4）绕任意轴的旋转变换 设旋转轴 AB 由任意一点 A（xa，ya，za）及其方向数（a，b，c）定义，空间一点 P（xp，yp，zp）绕 AB 轴旋 转 角到 P / (xp /，yp /，zp / )，则： 可以通过下列步骤来实现 P 点的旋转： A. 将 A 点移到坐标原点。 B. 使 AB 分别绕 X 轴、Y 轴旋转适当角度与 Z 轴重合。 C. 将 AB 绕 Z 轴旋转 角。 作上述变换的逆操作，使 AB 回到原来位置。 所以 其中各个矩阵的形式参照上面所讲的平移、选择矩阵，而 、 分别是 AB 在 YOZ 平面与 XOZ 平面的投影 与 Z 轴的夹角。 6.3 图形的投影变换 1. 投影变换分类 把三维物体变为二维图形表示的过程称为投影变换 投影变换的分类情况如下表所示：