习题 1.试举出五个曲线和曲面用显式、隐式和参数式表示的实例。 2.求出抛物线P(u)=2u]在u=0和u=1处的切矢与切线。 3.求圆柱螺线P(D)=[ acos asin e b]0≤0≤2z的弧长s,并将其变换成用弧 长s表示的方程 4.求上题在θ=丌处的单位切矢、主法矢、副法矢、曲率和挠率。 5.证明两条参数曲线P()=(12-21,1)和Q(1)=(2+1,1+1)达到C和G连续,并 求出它们达到C和G连续的连接点 6.试求两段三次 Hermite曲线达到C和G1连续的条件 7.给定四点P(0,0,0),P2(1),P(2,-1,-1,P(30,0),用其作为特征多边形来构造 条三次 Bezier曲线,并计算参数为0,1/3,2/3,1的值 给定xoy平面上特征多边形顶点P0(00),P1(4,4),P2(6,0),定义一条二次 Bezier曲 线P(),t∈[0,1]。 (1)用递推算法求点P(1/4),切矢P(1/4)与二阶导矢P(1/4) (2)给出求点P(1/4)的几何作图过程 (3)求曲线由点P(1/4)分成两子曲线段P(),0≤1≤14,1/4≤t≤1的特征多边形顶 (4)求子曲线段P(t),1/4≤t≤3/4的特征多边形顶点。 (5)求升阶一次后的特征多边形顶点 9.给出参数曲线的G°、G与G2连续性的几何解释 10.两 Bezier曲线的G1与G2连续反映在有关控制顶点上具有怎样的几何关系? 11. Bezier曲面中的角点、边界与跨界切矢分别由特征多边形中的哪些顶点决定? 12.编制用 de Casteljau算法产生的双三次 Bezier曲面的程序。 13.证明:对双三次 Bezier曲面P(,v),当u=v=0时, Pn(0.0)=9[(B1-P01)-(Po-P0
习题 1．试举出五个曲线和曲面用显式、隐式和参数式表示的实例。 2．求出抛物线 2 3 P(u) = u u 在 u=0 和 u=1 处的切矢与切线。 3．求圆柱螺线 P(t) = a cos asin b ,0 2 的弧长 s，并将其变换成用弧 长 s 表示的方程。 4．求上题在 = 处的单位切矢、主法矢、副法矢、曲率和挠率。 5．证明两条参数曲线 ( ) ( 2 , ) 2 P t = t − t t 和 ( ) ( 1, 1) 2 Q t = t + t + 达到 1 C 和 1 G 连续，并 求出它们达到 1 C 和 1 G 连续的连接点。 6．试求两段三次 Hermite 曲线达到 1 C 和 1 G 连续的条件。 7．给定四点 (0,0,0), (1,1,1), (2, 1, 1), (3,0,0) P1 P2 P3 − − P4 ，用其作为特征多边形来构造一 条三次 Bezier 曲线，并计算参数为 0，1/3，2/3，1 的值。 8．给定 xoy 平面上特征多边形顶点 (0,0), (4,4), (6,0) P0 P1 P2 ，定义一条二次 Bezier 曲 线 P(t),t [0,1]。 （1）用递推算法求点 P(1/ 4) ，切矢 (1/ 4) ' P 与二阶导矢 (1/ 4) " P 。 （2）给出求点 P(1/ 4) 的几何作图过程。 （3）求曲线由点 P(1/ 4) 分成两子曲线段 P(t),0 t 1/ 4,1/ 4 t 1 的特征多边形顶 点。 （4）求子曲线段 P(t),1/ 4 t 3/ 4 的特征多边形顶点。 （5）求升阶一次后的特征多边形顶点。 9．给出参数曲线的 0 G 、 1 G 与 2 G 连续性的几何解释。 10．两 Bezier 曲线的 1 G 与 2 G 连续反映在有关控制顶点上具有怎样的几何关系？ 11．Bezier 曲面中的角点、边界与跨界切矢分别由特征多边形中的哪些顶点决定？ 12．编制用 de Casteljau 算法产生的双三次 Bezier 曲面的程序。 13 ． 证 明 ： 对 双 三 次 Bezier 曲 面 P(u, v) ， 当 u = v = 0 时 ， (0,0) 9[( ) ( )] Puv = P11 − P01 − P10 − P00
14.计算双三次 Bezier曲面在四个角点处的混合偏导数 15.已知三角形三顶点A、B、C及其内的一点P的直角坐标,怎样求出P点在该三角 形内的面积坐标。 6.三角域上的n次 Bernstein基函数是怎样定义的?共包含多少个基函数?构成怎样 的序列?怎样确定三角域内节点的三个指标? 17.三边 Bezier曲面片与四边 Bezier曲面片有何区别? 18在一个非零节点区间t∈[,]上至少有哪些非零的B样条?它们又由哪些节点决 定? 19.节点矢量和控制顶点的下标与B样条基函数的第一下标之间有什么关系? 20.怎样确定B样条曲线的定义域?为什么它与节点矢量所跨区间不同? 21.重节点对B样条、B样条基和B样条曲线分别有什么影响? 22.于保持B样条曲线位置连续,定义域的内节点应有怎样的最大重复度?端点应有 怎样的最大重复度? 23.B样条曲线按节点矢量划分哪几种类型?它们各具有怎样的节点矢量? 24.写出二、三次均匀B样条曲线的方程 5.用 Boehm的插入一个节点算法怎样确定插入一个节点后的控制顶点? 25.用 de boor算法求k阶(k-1次)B样条曲线上点P(,t∈[,1]c[,ln],涉 及哪些控制顶点与节点? 26.与其它数学描述方法相比, NURBS有哪些优点和缺点? 27.何谓带权控制顶点? NURBS的齐次坐标表示是怎样给出的? 28.为什么所有控制顶点及其它权因子不变,仅改变权因子O时所得一族 NURBS曲 线上等参数点都位于过控制顶点P的同一条直线上? 29.权因子具有怎样的几何意义?改变权因子对 NURBS形状有怎样的影响? 30.拭推导圆锥曲线的参数表达式,并编写程序输出相应圆锥曲线。 31.给定控制顶点、相应权因子和节点矢量,编制程序生成双三次 NURBS曲面。 32.与其它构造曲面的方法相比, Coons曲面的构造方法有何不同? 33.双线性和双三次 Coons曲面片分别是怎样生成的? 34.三维形体有哪些表示方法,各有什么优点和缺点? 35.为什么要引入非正则造型? 36.写出一个欧拉操作序列生成一个长方体 37.比较集合运算与正则集合运算的异同点。 38.几何造型系统中有哪些实体,为什么要分类求交? 39.编写一个程序,计算两个多边形的交点 40.编写一个程序,用几何法计算圆柱与球的交线
14．计算双三次 Bezier 曲面在四个角点处的混合偏导数。 15．已知三角形三顶点 A、B、C 及其内的一点 P 的直角坐标，怎样求出 P 点在该三角 形内的面积坐标。 16．三角域上的 n 次 Bernstein 基函数是怎样定义的？共包含多少个基函数？构成怎样 的序列？怎样确定三角域内节点的三个指标？ 17．三边 Bezier 曲面片与四边 Bezier 曲面片有何区别？ 18．在一个非零节点区间 1 , i i+ t t t 上至少有哪些非零的 B 样条？它们又由哪些节点决 定？ 19．节点矢量和控制顶点的下标与 B 样条基函数的第一下标之间有什么关系？ 20．怎样确定 B 样条曲线的定义域？为什么它与节点矢量所跨区间不同？ 21．重节点对 B 样条、B 样条基和 B 样条曲线分别有什么影响？ 22．于保持 B 样条曲线位置连续，定义域的内节点应有怎样的最大重复度？端点应有 怎样的最大重复度？ 23．B 样条曲线按节点矢量划分哪几种类型？它们各具有怎样的节点矢量？ 24．写出二、三次均匀 B 样条曲线的方程。 25．用 Boehm 的插入一个节点算法怎样确定插入一个节点后的控制顶点？ 25．用 de Boor 算法求 k 阶（k-1 次）B 样条曲线上点 1 1 1 ( ), , , i i+ k− n+ P t t t t t t ，涉 及哪些控制顶点与节点？ 26．与其它数学描述方法相比，NURBS 有哪些优点和缺点？ 27．何谓带权控制顶点？NURBS 的齐次坐标表示是怎样给出的？ 28．为什么所有控制顶点及其它权因子不变，仅改变权因子 i 时所得一族 NURBS 曲 线上等参数点都位于过控制顶点 Pi 的同一条直线上？ 29．权因子具有怎样的几何意义？改变权因子对 NURBS 形状有怎样的影响？ 30．拭推导圆锥曲线的参数表达式，并编写程序输出相应圆锥曲线。 31．给定控制顶点、相应权因子和节点矢量，编制程序生成双三次 NURBS 曲面。 32．与其它构造曲面的方法相比，Coons 曲面的构造方法有何不同？ 33．双线性和双三次 Coons 曲面片分别是怎样生成的？ 34．三维形体有哪些表示方法，各有什么优点和缺点？ 35．为什么要引入非正则造型？ 36．写出一个欧拉操作序列生成一个长方体。 37．比较集合运算与正则集合运算的异同点。 38．几何造型系统中有哪些实体，为什么要分类求交？ 39．编写一个程序，计算两个多边形的交点。 40．编写一个程序，用几何法计算圆柱与球的交线