第六章 量子物理基础
1 第六章 量子物理基础 （5）
56.11氢原子 氢原子中电子的“轨道”角动量谱 (在量子力学中,仍常借用“轨道”这名词) 氢原子中电子在中心力场运动中 其“轨道”角动量是守恒的。那么“轨道” 角动量究竟能取哪些值? 应解“轨道”角动量算符的本征方程。 通常将氢原子“轨道”角动量算符变换到 球坐标系方便 我们只写出L2,L2的算符:
2 §6．11 氢原子 一.氢原子中电子的“轨道”角动量谱 (在量子力学中，仍常借用“轨道”这名词) 氢原子中电子在中心力场运动中 ， 其“轨道”角动量是守恒的。那么“轨道” 角动量究竟能取哪些值？ 应解“轨道”角动量算符的本征方程。 通常将氢原子“轨道”角动量算符变换到 球坐标系方便。 我们只写出 L2 ,Lz的算符：
L2= ine 十 sin 08 a0)sin2θp i=-ihe p “轨道”角动量算符的本征方程为 Lu=u u=_ 解得L的本征值为L=(+12----(1) 式中C=0,1,2,3,…称为角量子数
3 = − + = − L i ˆ sin 1 sin sin 1 Lˆ z 2 2 2 2 2 “轨道”角动量算符的本征方程为 L ˆ u L u 2 2 = L ˆ z u = Lz u 解得 L2 的本征值为 L ( 1 ) ( 1 ) 2 2 = + − − − − 式中 = 0,1,2,3, 称为角量子数
2=(0+1)h2---(1) C=0,1,2,3,称为角量子数 解得L的本征值为 L2=mh-----(2) m=0,+1,2,+3,±l称为磁量子数 (1)(2)两式就是“轨道”角动量的谱 (所能取的值)。 作为一个例子,我们现在来解一下L2的谱:
4 解得 Lz 的本征值为 L m ( 2 ) z = − − − − − m = 0,1,2,3, l 称为磁量子数 （1)（2）两式就是“轨道”角动量的谱 (所能取的值）。 作为一个例子，我们现在来解一下 Lz 的谱： L ( 1 ) ( 1 ) 2 2 = + − − − − = 0,1,2,3, 称为角量子数
L的本征方程为1u=Lu d i(中)=L(中) L,O 用分离变量法解得本征函数Φ()=Aeh 有限,连续条件自动满足; 单值? 由单值条件:匝()=(+2z) 2 L2(中27) L 2T →)e 方
5 Lz的本征方程为 L ˆ z u = Lz u ( ) L ( ) d d i z − = 用分离变量法解得本征函数 Lz i ( ) Ae = 有限，连续条件自动满足； 单值… …？ 由单值条件： ( ) =( + 2 ) e e e 1 L 2 i L ( 2 ) i L i z z z = → = +
L COS(2T )+i sin(2T2)=l =0,±1,+2, 士 L=0,士方士2 =±m方 12=((+1)h m=0,±1,士2,±3,……土l 这就是力学量L2的本征值谱
6 即 ) 1 L ) i sin( 2 L cos( 2 z z + = Lz = 0,,2, = m 这就是力学量 Lz 的本征值谱。 e 1 L 2 i z = 0, 1, 2, m Lz = = m = 0,1,2,3, l 2 2 L = ( +1)
解Du=Ln得到的本征函数 是球谐函数Ym( n(,p)=1(+)2m10, 0(,p) 3 Y10(,4) cose 10 4丌 3 1+1(,9)=千 sIne e 8 C=0,1,2,3 0,土1,±2,3,…士l
7 = = = i 1 1 10 00 sin e 8 3 Y ( , ) cos 4 3 Y ( , ) 4 1 Y ( , ) L Y ( , ) l(l 1) Y ( , ) ˆ l ,m 2 l,m 2 = + 解 得到的本征函数 是球谐函数Yl,m(,) L u L u ˆ 2 2 = = 0,1,2,3, m = 0,1,2,3, l
m=0,土1,2,3,…士l 对于一定的角量子数l, 磁量子数m可取(2l+1)个值, 表明角动量在空间z方向的取向 只有(2l+1)种可能。 “轨道”角动量在空间 的取向是量子化的。 对于 C=0,1,2,3, m=0,1,士2,3,±l m的值最大只能是L,正说明 投影值L,不可能超过L的值
8 对于一定的角量子数 , 磁量子数 m 可取 (2 +1)个值， 表明角动量在空间 z 方向的取向 只有(2 +1)种可能。 l l l “轨道”角动量在空间 的取向是量子化的。 = 0,1,2,3, m = 0,1,2,3, l 对于 m 的值最大只能是 l ，正说明 投影值 Lz 不可能超过L的 值。 m = 0,1,2,3, l
例如:当!=2时, Z(CB)(=2 2 m=0,±1,±2, 共有2l+1=5种。 0九 L=√(+1)h =√6h 2九 =2.45 L=√(+D L2=mh=0,土h,士2h √6h
9 例如：当 = 2 时， Lz = m = 0,,2 2.45 6 L ( 1 ) = = = + 6 L ( 1 ) = = + 0 -2 2 - = 2 Z(B) 共有 2l + 1 = 5 种。 m = 0 , 1, 2
氢原子中电子的坐标概率分布与能谱 中心力场U(r H V+U 2m 定态薛定格方程为(仍采用球坐标系) Ay(r,0,0)=Ey(r, 0, o) 方 V(r,0,)=Ev(r,0,p 2m 4 兀0
10 二. 氢原子中电子的坐标概率分布与能谱 中心力场 定态薛定格方程为 （仍采用球坐标系） U m H ˆ − + 2 2 2 4 r e U(r ) 0 2 = − H (r, , ) E (r, , ) ˆ = (r, , ) E (r, , ) 4 r e 2m 0 2 2 2 = − −
