中国科学技术大学《电磁学》 第二章稳恒电流 作者:叶邦角 §2-6基尔霍夫定律 一、基本概念及定律的表述 欧姆定律只能用于解比较简单的电路。复杂的电路,往往有许多条导线交汇于一点,整个电路由若干个闭合回路组成,同一 回路的各段电路中的电流并不相同。对于这类复杂电路,欧姆定律无法解决。1847年基尔霍夫(Kirchhoff)给出了求解一般复杂 电路的 Kirchhoff方程组,它包括节点电流方程和回路电压方程,前者是恒定电流条件下任意闭合曲面内电荷守恒的结果,后者是 恒定电场环路积分为零(即静电场环路定理)的结果,两者构成了完备的方程组,原则上可以解决任何直流电路问题。Kirchhoff 方程组不仅在恒定条件下严格成立,而且在似稳条件(即整个电路的尺度远小于电路工作频率下的电磁波的波长)下也符合得相当 好。把 Kirchhoff方程组用于交流电路时,电流、电压电动势均应取瞬时值,通常采用复电压、复电流的形式表示,并引入复阻 抗,这就是交流电路的复数解法。于是,从原则上说无论直流或交流电路的求解问题,均可由Kico定律解决。 1.基本概念 (1)节点:在电路中,三条或三条以上导线相交在一起的点。如图2-50,有A、B、C和D四个节点。 (2)支路:两个相邻节点间,由电源和电阻串联而成的且不含其他它节点的通路。如图AB支路,BC支路和BD支路等, 共有6个支路。通过支路的电流叫支路电流;支路两端的电压叫支路电压。 (3)回路:起点和终点重合在一个节点的环路。如图2-50中1回路。 (4)独立回路:各回路不相重合,即每个回路至少有一条其它回路所没有的支路如图2-50中有1、2和3等三个独立回路。 独立回路数目减1正好等于支路的数目减去节点的数目
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中国科学技术大学《电磁学》 第二章稳恒电流 作者:叶邦角 R2 图2-50多回路直流电路 方程 2.基尔霍夫方 (1)基尔霍夫第一方程 对电路中每一个节点,有的电流流入节点,有的电流自节点流出。根据电荷守恒定律和稳恒电流条件,流入分支点的电流 应等于流出分支点的电流,因此,对于每一个分支点,有 ∑l=0
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中国科学技术大学《电磁学》 第二章稳恒电流 作者:叶邦角 在求和时,流入节点的电流用“+”号,流出节点的电流用“”号,这就是基尔霍夫第一方程,其实质就是稳恒电流情况下的电 荷守恒定律。 (2)基尔霍夫第二方程 对于复杂电路中任一闭合回路,沿闭合回路绕行一周,回路中各电阻上电势降落的代数和等于各电源的电动势造成的电势 升高的代数和,这一结论称为基尔霍夫第二方程。 U=∑(土e±r±R)=0 式中为回路的总电动势,r是总内阻,R是总电阻。正负好取法如下: 先任意假定绕行方向,当绕行方向经电源内部由正极指向负极时,E取正号,反之取负号。当绕行方向与电流方向一致时,取正 号,反之取负号 (3)基尔霍夫方程求解电路注意事项 任意复杂的电路,原则上都可以用基尔霍夫方程求解。对于各分支点,可用基尔霍夫第一方程,对于各分回路,可以用基尔 霍夫第二方程。在应用基尔霍夫方程解题时,应注意以下几点 电流方向:在实际问题中,电流方向不一定已知,但我们可以假定一个方向,若最后求得的电流为正,则表示所标的方向与 实际方向相同,若求得的电流为负,则表示所标的方向与实际电流的方向相反 独立节点方程数:根据基尔霍夫第一方程,对每一个分支点,可列出一个方程,但n个节点,只有n-1个基尔霍夫第一方程 是独立的。 ·独立电压方程数:对每一个闭合回路,可以列一个基尔霍夫第二方程.要注意方程式的独立性。若所列的方程式中,至少有 条支路在已列出的方程式中未用过,则这回路的方程式必定是独立的。但又要注意有足够的方程,以使方程数与未知量的 数目相等
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中国科学技术大学《电磁学》 第二章稳恒电流 作者:叶邦角 3.叠加原理 在具有几个电动势的电路中,几个电动势共同在某一支路中引起的电流,等于每个电动势单独存在时在该支路上所产生的 电流之和。这个关于各个电动势作用独立性的原理称为叠加原理。 尽2 址R b) 图2-51叠加原理的图示 应用叠加原理可以把一个复杂的电路分解成若干比较简单的电路。在每一个比较简单的电路中,仅有一个电动势在所研究的 问题中起作用,其他电动势假定被短接了,不过它们的内电阻应包括在相应的各支路的电阻内
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中国科学技术大学《电磁学》 第二章稳恒电流 作者:叶邦角 二、基尔霍夫六程及其应用 1.支路电流法 即对每个支路设定电流的方向和取值(为代数值,由计算决定),对每个独立回路设定绕行方向,然后利用基尔霍夫定律列 出方程组。注意独立方程组的数目正好等于待求支路电流的数目,故可解得各支路电流。 [例题]如图25所示电路,求各支路中的电流表达式。 解]节点数为以n=2,独立回路数m=2,支路数为上=3,满足关系m-1=-n.利用基尔霍夫定律,列出3个独立方程: 2+l2-1=0节点电流方程个 e+lR+l1R=0回路电压方程2个 21R+E-lR=0 解方程组,得到 -"号表示实际电流与原假定电流方向相反
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中国科学技术大学《电磁学》 第二章稳恒电流 作者:叶邦角 图2-52支路电流法 2.回路电流法 即设定独立回路的电流的方向(该方向通常取为相应回路的绕行方向)和取值(为代数值,由计算决定),只用基尔霍夫第 定律,便可解岀回路的电流。然后再用已得的回路电流求出各支路电流,这样求得的支路电流将自动满足基尔霍夫第一定律。 l 图2-53回路电流法
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中国科学技术大学《电磁学》 第二章稳恒电流 作者:叶邦角 例题]对如图253所示的电路,求各支路电流表达式 解]设回路的电流I和L2的方向如图所示,列出回路电压方程,有 e+R+(l1-l2)R=0 22R+(12-1)R+E=0 解之,得到的1和L2的电流值与上题相同,中间支路aRb的电流值为 =1,-l,= 5R 两种解法的结果完全相同。 3.其它典型例题 例题]图254是一电桥电路,R1、R2、R3和R的是四臂的电阻,G是内阻为R2的电流计,电源的电动势为,并忽略其内阻,求 通过电流计G的电流L2与四臂电阻的关系 解]该桥式电路由4个节点和6条支路组成,可列出3个节点方程和3个回路方程,共6个独立方程
Ё⾥ᄺᡔᴃᄺlj⬉⺕ᄺNJ Ѡゴ 〇ᘦ⬉⌕ 㗙˖䙺㾦 7 [՟乬] ᇍབ 2-53 ᠔⼎ⱘ⬉䏃ˈ∖ᬃ䏃⬉⌕㸼䖒ᓣDŽ [㾷]䆒ಲ䏃ⱘ⬉⌕ I1 I2 ⱘᮍབ᠔⼎ˈ߫ߎಲ䏃⬉य़ᮍˈ᳝ + − + = − + + − = 2 ( ) 0 ( ) 0 2 2 1 1 1 2 ε εI R I I R I R I I R 㾷Пˈᕫࠄⱘ I1 I2 ⱘ⬉⌕ؐϢϞ乬ⳌৠˈЁ䯈ᬃ䏃 aRb ⱘ⬉⌕ؐЎ R I I I 5 3 1 2 ε = − = ϸ⾡㾷⊩ⱘ㒧ᵰᅠܼⳌৠDŽ 3ˊ ݊ᅗൟ՟乬 [՟乬] 2-54 ᰃϔ⬉ḹ⬉䏃ˈR1ǃR2ǃR3 R4 ⱘᰃಯ㞖ⱘ⬉䰏ˈG ᰃݙ䰏Ў Rgⱘ⬉⌕䅵ˈ⬉⑤ⱘ⬉ࡼЎˈᑊᗑ⬹݊ݙ䰏ˈ∖ 䗮䖛⬉⌕䅵 G ⱘ⬉⌕ IgϢಯ㞖⬉䰏ⱘ݇㋏DŽ [㾷] 䆹ḹᓣ⬉䏃⬅ 4 Ͼ㡖⚍ 6 ᴵᬃ䏃㒘៤ˈৃ߫ߎ 3 Ͼ㡖⚍ᮍ 3 Ͼಲ䏃ᮍˈ݅ 6 Ͼ⣀ゟᮍDŽ
中国科学技术大学《电磁学》 第二章稳恒电流 作者:叶邦角 节点A,1+12-1=0 节点B,+1 节点C,I-l-14=0 回路,1R+lR2-12R2=0 回路2,R+1R-1R2=0 回路3,2R2+1R4-e=0 R R2 Ra 图254桥式电路 简化后,得到三个方程组
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中国科学技术大学《电磁学》 第二章稳恒电流 作者:叶邦角 Rl4-R2+R=0 R1-Rl2-(R3+R4+R22=0 (R2+R4)12+R=E 采用行列式法解该方程组,则 △ 其中Δ,和△分别为 R,-R2 △=R3-R4-(R+R+R 0R2+R R4 =(RR2+RR4+R2R3+RR)R2+(R3+R)RR2+(R+R2RR R1-R2 △=R3-R 0R2+R4 F(R,,R4)E
Ё⾥ᄺᡔᴃᄺlj⬉⺕ᄺNJ Ѡゴ 〇ᘦ⬉⌕ 㗙˖䙺㾦 9 + + = − − + + = − + = ε g g g g g R R I R I R I R I R R R I R I R I R I 2 4 2 4 3 1 4 2 3 4 1 1 2 2 ( ) ( ) 0 0 䞛⫼㸠߫ᓣ⊩㾷䆹ᮍ㒘ˈ߭ ∆ ∆ = g g I ݊Ё∆g ∆ ߿ߚЎ˖ 1 2 1 4 2 3 3 4 3 4 1 2 1 2 3 4 2 4 4 3 4 3 4 1 2 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R g g g = + + + + + + + + − − + + − ∆ = ε ε ( ) 0 0 0 2 3 1 4 2 4 3 4 1 2 R R R R R R R R R R g = − + − − ∆ =
中国科学技术大学《电磁学》 第二章稳恒电流 作者:叶邦角 若12=0,则△,必为零,由此必有 RI R2 R, R2 桥式电路可以用于测量电阻,若R3为可变电阻,R√R4的比值一定,则通过调节R3,使L=0,由上式就可求得R1
Ё⾥ᄺᡔᴃᄺlj⬉⺕ᄺNJ Ѡゴ 〇ᘦ⬉⌕ 㗙˖䙺㾦 10 㢹 Ig=0ˈ߭∆g ᖙЎ䳊ˈ⬅ℸᖙ᳝ 4 2 3 1 R R R R = ḹᓣ⬉䏃ৃҹ⫼Ѣ⌟䞣⬉䰏ˈ㢹 R3Ўৃব⬉䰏ˈR2/R4 ⱘ↨ؐϔᅮˈ߭䗮䖛䇗㡖 R3ˈՓ Ig=0ˈ⬅Ϟᓣህৃ∖ᕫ R1DŽ