第七章静电场与物质的相互作用 1 第七章静电场与物质的相互作用 物质的导电性涉及其微观结构.粗略地说,我们可以将物质划分为导体和绝缘体(或称之为电介质) 导体的特征是具有大量自由电子,而电介质则相反,其中的电子作绕核运动而不易有自由运动。我们也可 以从能量的观点来说明,构成导体的原子的能级通常有不满的壳层,例如,Na1s2s22p3s.当形成晶体 的时候,将存在能带.在导体中存在一个满带,一个禁带和一个导带,而在绝缘体中,禁带较宽而导带是 空的。至于半导体,它也有一个空的导带但是它的禁带较窄,这就带来了可变的电导,出现热激发也是 可能的。 在以前的章节中我们已经得到了很多有关真空中电磁场的一些结论.在本章中我们着重讨论电介质 在静电场中的一些行为,在这个意义上,本章的标题中的物质已是一个太大的集合,而我们在这里只关 注电介质这一子集
第七章 静电场与物质的相互作用 1 第七章 静电场与物质的相互作用 物质的导电性涉及其微观结构. 粗略地说, 我们可以将物质划分为导体和绝缘体(或称之为电介质). 导体的特征是具有大量自由电子, 而电介质则相反, 其中的电子作绕核运动而不易有自由运动 我们也可 以从能量的观点来说明, 构成导体的原子的能级通常有不满的壳层, 例如, . 当形成晶体 的时候, 将存在能带. 在导体中存在一个满带, 一个禁带和一个导带, 而在绝缘体中, 禁带较宽而导带是 空的 Na :1s 2s 2 p 3s 2 2 6 11 至于半导体, 它也有一个空的导带, 但是它的禁带较窄, 这就带来了可变的电导, 出现热激发也是 可能的 在以前的章节中我们已经得到了很多有关真空中电磁场的一些结论. 在本章中我们着重讨论电介质 在静电场中的一些行为, 在这个意义上, 本章的标题中的物质已是一个太大的集合, 而我们在这里只关 注电介质这一子集
本章撰稿人:石名俊 §7-1电介质与极化强度矢量P 7.1.1电介质及其极化的解释 电介质的一些实例:纸张、空气、熔石英、琥珀、云母等等.其特性为电绝缘性,从微观层次上说,该 类物质中的电子绕核运动而不是自由运动下面我们从微观角度作一些相对简单的讨论 考虑电介质中的某个原子或分子,一般情形下它当然是电中性的,其正电荷来自于一个或多个原子核,而负电荷则对 应于核外运动的电子我们可以设想一个正电荷中心和一个负电荷中心,如果正负电荷中心不重合(这涉及到有无外电场, 我们将在下面详细讨论),就相当于一个电偶极子,由此将会产生电偶极矩.实际上,这一微观层次上的电偶极矩将直接导 致宏观上的极化强度 考虑单位体积的电介质,我们有电偶极矩密度—极化强度( polarization定义 其中n是电偶极子密度,(p}是每个偶极子的平均偶极矩 电介质分为三类:极性电介质、非极性电介质和铁电体 极性电介质 polar dielectric))的分子具有永久的电偶极矩,也就是说,即使在没有外加电场的情况下,它们的正负电荷 中心也不重合.例如 电介质分子电偶极矩(Cm) H,O 6.03×10
2 电磁学网上课件 本章撰稿人 石名俊 §7-1 电介质与极化强度矢量 P 7.1.1 电介质及其极化的解释 电介质的一些实例: 纸张 空气 熔石英 琥珀 云母等等. 其特性为电绝缘性, 从微观层次上说, 该 类物质中的电子绕核运动而不是自由运动.下面我们从微观角度作一些相对简单的讨论. 考虑电介质中的某个原子或分子, 一般情形下它当然是电中性的, 其正电荷来自于一个或多个原子核, 而负电荷则对 应于核外运动的电子. 我们可以设想一个正电荷中心和一个负电荷中心, 如果正负电荷中心不重合(这涉及到有无外电场, 我们将在下面详细讨论), 就相当于一个电偶极子, 由此将会产生电偶极矩. 实际上, 这一微观层次上的电偶极矩将直接导 致宏观上的极化强度. 考虑单位体积的电介质, 我们有电偶极矩密度——极化强度(polarization)的定义: ( ) p p P n V = = ∑ d d . (7.1.1) 其中 n 是电偶极子密度, p 是每个偶极子的平均偶极矩. 电介质分为三类: 极性电介质 非极性电介质和铁电体. 极性电介质(polar dielectric)的分子具有永久的电偶极矩, 也就是说, 即使在没有外加电场的情况下, 它们的正负电荷 中心也不重合. 例如: 电介质分子 电偶极矩(C ⋅ m ) H2O 30 6.03 10− ×
第七章静电场与物质的相互作用 CO 400×10-30 HCI 343×10 在没有外加电场时,各个电偶极子的方向是随机的,于是整个电介质不表现出电极化现象.在外电场中, 电偶极子的方向将尽可能地趋向与电场方向一致,这将在整体上有所体现 我们知道,一个具有偶极矩p的电偶极子在外电场E中具有的势能与两者间的夹角是密切相关的,即 U=-p0·E+C=- prEcose+C(C为常数)(71.2) 由于分子的热运动以及由此引起的分子间的碰撞,每个偶极子的方向并不一定是和电场方向完全一致的, 偶极矩的方向在空间中呈现一定的分布.根据统计物理学的基本原理,在温度为T时,电场中的偶极子具 有某个势能的几率正比于e,这里k为玻耳兹曼常数.这种几率分布就是所谓的波耳兹曼分布
第七章 静电场与物质的相互作用 3 CO 30 4.00 10− × HCl 30 3.43 10− × 在没有外加电场时, 各个电偶极子的方向是随机的, 于是整个电介质不表现出电极化现象. 在外电场中, 电偶极子的方向将尽可能地趋向与电场方向一致, 这将在整体上有所体现. 我们知道, 一个具有偶极矩 p0 的电偶极子在外电场 E 中具有的势能与两者间的夹角是密切相关的, 即 U = − p0 ⋅ E +C = − p0Ecosθ +C (C 为常数) (7.1.2) 由于分子的热运动以及由此引起的分子间的碰撞, 每个偶极子的方向并不一定是和电场方向完全一致的, 偶极矩的方向在空间中呈现一定的分布. 根据统计物理学的基本原理, 在温度为 T 时, 电场中的偶极子具 有某个势能的几率正比于 k T U B e − , 这里 为玻耳兹曼常数. 这种几率分布就是所谓的波耳兹曼分布. B k
本章撰稿人:石名俊 选择外电场的方向为参考方向,设E=Ek.则平均偶极矩为 Po e-/ dQ 其中姐为立体角,如上图所示,显然n的x分量和y分量的平均值均为零,于是(7.1.3)式变为 e-U/kg' sin 0 cos 0 d0 (p)=kpo 2丌e/ kg sin 0 de 将U的表达式(712代入上式,令n≡P1E/k7有 k-In""dy=k coth (7.15)
4 电磁学网上课件 本章撰稿人 石名俊 选择外电场的方向为参考方向, 设 E = E kˆ . 则平均偶极矩为 Ω Ω = ∫ ∫ − − d 0 d U k T U k T B B ep e p (7.1.3) 其中dΩ为立体角, 如上图所示,. 显然 p0的 x 分量和 y 分量的平均值均为零, 于是(7.1.3)式变为 π θ θ π θ θ θ 2 sin d 2 sin cos d ˆ 0 ∫ ∫ − − = U k T U k T B B e e p k p . (7.1.4) 将 U 的表达式(7.1.2)代入上式, 令η ≡ p0E kBT 有 = − ∂∂ = ∫− η η η η 1 coth ˆ ln d ˆ 1 0 1 k k p e y p y . (7.1.5)
第七章静电场与物质的相互作用 括号中的函数称之为朗之万函数 Langevin function),其函数曲线如图7-1所示.在通常的温度下,n<1, 可以近似地认为曲线呈线性关系,于是有 Po 图71朗之万函数 可以看岀,对于单个电偶极子,其平均值的大小取决于它在外电场中的势能与热运动能量之比热运动 使偶极子的方向趋于混乱;而电场则使各个偶极子的方向尽量一致.考虑到极化强度的定义(711式,我 们通常写 E (7.1.7)
第七章 静电场与物质的相互作用 5 括号中的函数称之为朗之万函数(Langevin function), 其函数曲线如图 7-1 所示. 在通常的温度下, η << 1, 可以近似地认为曲线呈线性关系, 于是有 p k ˆ 3 1 0 k T pE p B = . (7.1.6) 0.8 0.6 0.4 0.2 2 4 6 8 图 7.1 朗之万函数 可以看出, 对于单个电偶极子, 其平均值的大小取决于它在外电场中的势能与热运动能量之比. 热运动 使偶极子的方向趋于混乱; 而电场则使各个偶极子的方向尽量一致. 考虑到极化强度的定义(7.1.1)式, 我 们通常写: P = χε 0E , (7.1.7)
本章撰稿人:石名俊 其中x称作极化率( susceptibility),具体的形式为 以上是有关极性电介质的讨论,我们得到了电场E与极化强度矢量P的线性关系,即(717式,这里我们采用了标量的 表示,意味着我们假定E与P的方向是一致的,要注意的是,对于某些各向异性的电介质,E与P的关系不一定是线性的, 二者的方向也不一定一致.下面我们讨论非极性电介质,同样地,我们的讨论是针对各向同性的物质而言 非极性电介质( non-polar dielectric)分子没有永久性电偶极矩,例如氧、氮等等.在没有外加电场的情形下该种分子的正 负电荷中心是重合的,整体上没有电极化现象.引入外电场后,正负电荷中心发生分离,产生所谓的诱导电偶极矩,或是 感应电偶极矩,其形式可以表示为 p=a 其中的E。称为局部电场,也被叫作有效电场,指的是单个分子所感受到的电场,我们将在下面对此稍加 讨论,这里只给出直观的解释,那就是,外电场越大,正负电荷中心的分离就越大,电偶极矩就越大,所 以有 E (7.18) 这与(716式有类似之处,同样地我们可以用(⑦17式表示该种情形下的电极化强度矢量P与外电场E的 关系,只不过这时极化率x的具体形式有所不同而已.以后,在一般情形下,我们就用该公式描述均匀的
6 电磁学网上课件 本章撰稿人 石名俊 其中χ 称作极化率(susceptibility), 具体的形式为 kT np 0 2 3 0 ε χ = 以上是有关极性电介质的讨论, 我们得到了电场E与极化强度矢量P的线性关系, 即(7.1.7)式, 这里我们采用了标量的 表示, 意味着我们假定 E 与 P 的方向是一致的, 要注意的是, 对于某些各向异性的电介质, E 与 P 的关系不一定是线性的, 二者的方向也不一定一致. 下面我们讨论非极性电介质, 同样地, 我们的讨论是针对各向同性的物质而言. 非极性电介质(non-polar dielectric)分子没有永久性电偶极矩, 例如氧 氮等等. 在没有外加电场的情形下该种分子的正 负电荷中心是重合的, 整体上没有电极化现象. 引入外电场后, 正负电荷中心发生分离, 产生所谓的诱导电偶极矩, 或是 感应电偶极矩, 其形式可以表示为 Elocal p = α 其中的 Elocal称为局部电场, 也被叫作有效电场, 指的是单个分子所感受到的电场, 我们将在下面对此稍加 讨论, 这里只给出直观的解释, 那就是, 外电场越大, 正负电荷中心的分离就越大, 电偶极矩就越大, 所 以有 p ∝ E (7.1.8) 这与(7.1.6)式有类似之处, 同样地我们可以用(7.1.7)式表示该种情形下的电极化强度矢量 P 与外电场 E 的 关系, 只不过这时极化率χ 的具体形式有所不同而已. 以后, 在一般情形下, 我们就用该公式描述均匀的
第七章静电场与物质的相互作用 线性极化的介质中P与E的关系,对于不同的介质,极化率是不同的.显然,对于真空,x=0 铁电体( ferroelectric)有自发的电极化强度,就是说即使没有外场,该种物质本身也会有电极化强度.钛酸钡( BaTio3)就 是一例 7.12P与极化电荷的关系 我们已经知道,电介质置于电场中,其分子的正负电荷中心将沿电场方向有所偏离.可以想象,如果 电介质是均匀的,那么物质内部不会有净的极化电荷,但是在介质表面将会产生极化面电荷 实际上,法拉第发现,如果在电容器的两极板间插入电介质(如云母)而同时保持电势差不变,则极板上的电荷将变大 由此可以推知此时电容也有所增大 Cd E≥1 上式中的下标d表示电容器极板间有电介质存在时的情形.另一方面,如果保持电荷不变而插入电介质, 则会发现两极板间的电势差减小, Cd (7.1.10) 于是我们可以根据电介质的插入给电容器带来的某些变化来考察该电介质的宏观的电极化现象.以上两
第七章 静电场与物质的相互作用 7 线性极化的介质中 P 与 E 的关系, 对于不同的介质, 极化率是不同的. 显然, 对于真空, χ = 0 . 铁电体(ferroelectric)有自发的电极化强度, 就是说即使没有外场, 该种物质本身也会有电极化强度. 钛酸钡(BaTiO3)就 是一例. 7.1.2 P 与极化电荷的关系 我们已经知道, 电介质置于电场中, 其分子的正负电荷中心将沿电场方向有所偏离. 可以想象, 如果 电介质是均匀的, 那么物质内部不会有净的极化电荷, 但是在介质表面将会产生极化面电荷. 实际上, 法拉第发现, 如果在电容器的两极板间插入电介质(如云母)而同时保持电势差不变, 则极板上的电荷将变大, 由此可以推知此时电容也有所增大. 1 0 0 = ≡ r ≥ d d q q C C ε (7.1.9) 上式中的下标 d 表示电容器极板间有电介质存在时的情形. 另一方面, 如果保持电荷不变而插入电介质, 则会发现两极板间的电势差减小, 1 0 0 = = ≥ d r d V V C C ε (7.1.10) 于是我们可以根据电介质的插入给电容器带来的某些变化来考察该电介质的宏观的电极化现象. 以上两
本章撰稿人:石名俊 式中出现的为相对介电常数,是一个无量纲量.而对于平板电容器而言,此时电容可以表示为 a EA E dd 其中A为电容器的极板的面积,d为两板的间距式中出现的E=Eo,称为绝对介电常数虽然可以通过实 验测得某种电介质的s或ε,但是我们还是希望知道其进一步的物理意义,具体地说就是与极化强度矢量 的联系.为此我们继续考虑电容器中的电介质这一简单模型,并且假设电介质布满电容器极板间的整个 空间,而且,假设在电场中介质里的每一个偶极子的极化方向都沿着电场方向,即p∥E.这样的话,极化 强度矢量可以简单地表示为P=四=mq,其中n为单位体积内的偶极子数目,q为偶极子中的正的或负的 电荷的电量的绝对值,l为由负电荷指向正电荷的方向矢量 图7-2
8 电磁学网上课件 本章撰稿人 石名俊 式中出现的ε r 为相对介电常数, 是一个无量纲量. 而对于平板电容器而言, 此时电容可以表示为 d A d A Cd rC r ε ε = ε = ε ≡ 0 0 (7.1.11) 其中 A 为电容器的极板的面积, d 为两板的间距. 式中出现的 称为绝对介电常数. 虽然可以通过实 验测得某种电介质的 或 , 但是我们还是希望知道其进一步的物理意义, 具体地说就是与极化强度矢量 的联系. 为此我们继续考虑电容器中的电介质这一简单模型, 并且假设电介质布满电容器极板间的整个 空间, 而且, 假设在电场中介质里的每一个偶极子的极化方向都沿着电场方向, 即 . 这样的话, 极化 强度矢量可以简单地表示为 , 其中 n 为单位体积内的偶极子数目, q 为偶极子中的正的或负的 电荷的电量的绝对值, l 为由负电荷指向正电荷的方向矢量. r ε ε ε = 0 r ε ε p // E P = np = nql 图 7-2
第七章静电场与物质的相互作用 将电介质置于电场中,介质表面将出现正的或负的极化电荷在如图7-2所示情形下,由于电场的作用,与电容器的负 极板相邻的介质表面上将出现正的极化电荷.在面积为A的介质表面上会有厚度为l的正的极化电荷.于是我们可以得到 极化电荷的面密度 o=ngAl/A=ngl (7.1.12) 注意这里我们假设每个电偶极子的方向都是与电场方向一致的.容易看出,上式中的ql就是每个偶极子 的电偶极矩的大小,而n不过时单位体积内偶极子的个数,于是(7112)式又可写作 a,=np=P=Pl (7.1.13) 这样我们看到了极化面电荷密度与极化强度矢量的关系.这里我们计算的是正的极化电荷的面密度,在 介质的另一面出现的极化电荷将是负的 将关于平板电容器的讨论继续下去设平板电容器的带正电的极板上的自由电荷的面密度为a,若极板间没有介质, 则其间的电场强度的大小为E0=/E0.若在极板间置以电介质,则正极板附近的介质表面上的极化电荷是负的,于是 σn=-P.可以想象,此时电容器极板间的场强要减小设此时的场强的大小为E.由(7113和(717式,我们可以得到 0to g-p E 从中解出
第七章 静电场与物质的相互作用 9 将电介质置于电场中, 介质表面将出现正的或负的极化电荷. 在如图 7-2 所示情形下, 由于电场的作用, 与电容器的负 极板相邻的介质表面上将出现正的极化电荷. 在面积为 A 的介质表面上会有厚度为 l 的正的极化电荷. 于是我们可以得到 极化电荷的面密度: nqAl A nql σ p = = (7.1.12) 注意这里我们假设每个电偶极子的方向都是与电场方向一致的. 容易看出, 上式中的 ql 就是每个偶极子 的电偶极矩的大小, 而 n 不过时单位体积内偶极子的个数, 于是(7.1.12)式又可写作 σ p = np = P = P (7.1.13) 这样我们看到了极化面电荷密度与极化强度矢量的关系. 这里我们计算的是正的极化电荷的面密度, 在 介质的另一面出现的极化电荷将是负的. 将关于平板电容器的讨论继续下去. 设平板电容器的带正电的极板上的自由电荷的面密度为 , 若极板间没有介质, 则其间的电场强度的大小为 σ 0 0 E = σ ε . 若在极板间置以电介质, 则正极板附近的介质表面上的极化电荷是负的, 于是 σ p = −P . 可以想象, 此时电容器极板间的场强要减小. 设此时的场强的大小为 E. 由(7.1.13)和(7.1.7)式, 我们可以得到 0 0 0 0 ε σ χε ε σ ε σ σ P E E p − = − = + = 从中解出
电磁学网上课件 本章撰稿人:石名俊 Eo I+x 另一方面,当极板间不存在介质时,其间的电势差为V=Ead;置入介质时,电势差变为 Vd= ed= eod- z1+x:与(7110比较,有 E,=1+x (7.1.14) 这便是极化率与相对介电常数的关系 E P④ 图7-3
10 电磁学网上课件 本章撰稿人 石名俊 ε χ χ σ + = + = 1 1 1 1 0 0 E E 另一方面 , 当极板间不存在介质时 , 其间的电势差为 V0 = E0d ; 置入介质时 , 电势差变为 χ + χ = + = = 1 1 1 0 0 V V Ed E d d . 与(7.1.10)比较, 有 ε r = 1+ χ (7.1.14) 这便是极化率与相对介电常数的关系. 图 7-3
