理论力学(二) 哈密顿力学 2011.10
理论力学（二） 哈密顿力学 2011.10
拉格朗日方程的降阶 拉格朗日函数是以广义坐标和广义速度描 述系统的。通过拉格朗日方程,可以得到 二阶微分方程组。这与牛顿力学通过力的 各个分量的分析,得到运动的加速度满足 的方程具有类似的形式 ·可以用广义速度为中间变量v,把二阶微分 方程变为一阶微分方程,代价是变量个数 d,aL(q,v,)、oL
拉格朗日方程的降阶 • 拉格朗日函数是以广义坐标和广义速度描 述系统的。通过拉格朗日方程，可以得到 二阶微分方程组。这与牛顿力学通过力的 各个分量的分析，得到运动的加速度满足 的方程具有类似的形式。 • 可以用广义速度为中间变量vi，把二阶微分 方程变为一阶微分方程，代价是变量个数 加倍。 ( , , ) , ( ) i i i i d L q v t L q v dt v q = =
广义动量作为中间变量 这2个方程中,计算q1的时间微商太简单,而计 算ⅵ的时间微商太复杂。中间变量取ⅵ并不合适 从拉格朗日方程看,直接可以计算广义动量p, 因而把它取为中间变量是合适的。 ·但是,拉格朗日函数中,自变量含有广义速度, 而不含有广义动量。需要反解出广义速度用广义 动量来表达 ·哈密顿力学的理论研究了如何取自变量和系统函 数来描述力学体系,使所得方程更加简单易解: OL OL →q=q(9,P,1)2P1=
广义动量作为中间变量 • 这2s个方程中，计算 qi 的时间微商太简单，而计 算 vi 的时间微商太复杂。中间变量取 vi 并不合适。 从拉格朗日方程看，直接可以计算广义动量 pi ， 因而把它取为中间变量是合适的。 • 但是，拉格朗日函数中，自变量含有广义速度， 而不含有广义动量。需要反解出广义速度用广义 动量来表达。 • 哈密顿力学的理论研究了如何取自变量和系统函 数来描述力学体系，使所得方程更加简单易解： , ( , , ), i i i i i i L L p q q q p t p q q = = =
勒让德变换 系统函数以谁为自变量,则它的全微分就 写成这些变量的微分之线性组合,系数就 是该自变量的共轭变量,也即系统函数对 该自变量的偏微分。 勒让德变换可以将系统函数的某个自变量 (如下例的x)换为它的共轭变量(u) 同时,系统函数也有相应变化。例如: (x,1)O dx+dy= udx +vdy=d()-xdu vdy dg(u,y=d(ux-f)=xdu-vdy
勒让德变换 • 系统函数以谁为自变量，则它的全微分就 写成这些变量的微分之线性组合，系数就 是该自变量的共轭变量，也即系统函数对 该自变量的偏微分。 • 勒让德变换可以将系统函数的某个自变量 （如下例的x）换为它的共轭变量（u）， 同时，系统函数也有相应变化。例如： ( , ) ( ) ( , ) ( ) f f df x y dx dy udx vdy d ux xdu vdy x y dg u y d ux f xdu vdy = + = + = − + = − = −
拉格朗日函数变换为哈密顿函数 拉格朗日函数为系统函数时,广义速度和 广义动量是共轭坐标。 d(q91)=∑(+如)+t 如果想以p为自变量,则进行勒让德变换: d(q91)=∑ OL d q, +d(p, -q,dp,+ dt H=p-1(g9川=人M+9啊人∥ at
拉格朗日函数变换为哈密顿函数 • 拉格朗日函数为系统函数时，广义速度和 广义动量是共轭坐标。 • 如果想以 pi 为自变量，则进行勒让德变换： 1 ( , , ) ( ) s i i i i i L L dL q q t p dq dq dt q t = = + + 1 1 1 ( , , ) [ ( ) ] [ ( , , )] [ ] s i i i i i i i s s i i i i i i i i L L dL q q t dq d p q q dp dt q t L L dH p q L q q t dq q dp dt q t = = = = + − + = − = − + −
哈密顿函数 定义哈密顿函数H(p,q),数值上等于广义能量积 分,但必须以广义动量为自变量 H(Pp,q,1)=∑pq(P,q,1)-L(q,(pq,1),) i=1 aL aL dq i + gi ---at at s、.OH OH OH ∑ d.+ 十 at ·则对应有: aH OL aH aL H P Oa at at
哈密顿函数 • 定义哈密顿函数H(p,q,t)，数值上等于广义能量积 分，但必须以广义动量为自变量。 • 则对应有： 1 1 1 ( , , ) ( , , ) ( , ( , , ), ) [ ] [ ] s i i i s i i i i i s i i i i i H p q t p q p q t L q q p q t t L L dH dq q dp dt q t H H H dq dp dt q p t = = = = − = − + − = + + , , i i i i i H L H L H q p p q q t t = = = − − =
哈密顿正则方程 得到哈密顿正则方程(共2S个): aH OH 方程给出了2s个变量随时间的变化率,可 步步积分求出以后各个时刻的值。其中 前s个给出广义速度和广义动量之间的关系 后s个等价于原来的s个拉格朗日方程 p和q称为正则共轭变量,正则方程具有 对称形式
哈密顿正则方程 • 得到哈密顿正则方程（共2s个）： • 方程给出了2s个变量随时间的变化率，可 一步步积分求出以后各个时刻的值。其中 前s个给出广义速度和广义动量之间的关系， 后s个等价于原来的s个拉格朗日方程。 • p 和 q 称为正则共轭变量，正则方程具有 对称形式。 , i i i i H H q p p q = = −
哈密顿正则方程中的循环坐标 OL aH OL cH 从对应关系 pi og i otar得知, 如果拉格朗日函数不显含某个广义坐标,即 存在某循环坐标 恰密顿函数也不显含它, 对应的广义动量守恒,因而可以将系统的自 由度减少一维(可遗坐标) ·2S个正则变量只要其中一个在哈密顿函数中 券的自由度就罚苡减办一维(可透) 如果拉格朗日函数不显含时间,则哈密顿函 数也不显含时间,广义能量积分或哈密顿量 dH a aH at at
哈密顿正则方程中的循环坐标 • 从对应关系 得知， 如果拉格朗日函数不显含某个广义坐标，即 存在某循环坐标，则哈密顿函数也不显含它， 对应的广义动量守恒，因而可以将系统的自 由度减少一维（可遗坐标） • 2s个正则变量只要其中一个在哈密顿函数中 不显含，它对应的正则共轭变量就是常数， 系统的自由度就可以减少一维（可遗）。 • 如果拉格朗日函数不显含时间，则哈密顿函 数也不显含时间，广义能量积分或哈密顿量 守恒。 , i i i L H L H p q q t t = = − − = dH L H dt t t = − =
哈密顿正则方程与拉格朗日方程比较 ·拉格朗日函数及方程可以直接得到。而哈密 顿函数需要通过广义动量代替广义速度之后, 从拉格朗日函数经过变换得到。 拉格朗日方程是二阶的微分方程,而哈密顿 方程是一阶的。但哈密顿方程的变量个数增 大了一倍 ·对于循环坐标,哈密顿正则方程处理起来方 便很多,无论哈密顿函数缺少任意一个q,p, t,都可以找到它相应的守恒量。 拉格朗日方程和哈密顿方程本质上是等价的
哈密顿正则方程与拉格朗日方程比较 • 拉格朗日函数及方程可以直接得到。而哈密 顿函数需要通过广义动量代替广义速度之后， 从拉格朗日函数经过变换得到。 • 拉格朗日方程是二阶的微分方程，而哈密顿 方程是一阶的。但哈密顿方程的变量个数增 大了一倍。 • 对于循环坐标，哈密顿正则方程处理起来方 便很多，无论哈密顿函数缺少任意一个q，p， t，都可以找到它相应的守恒量。 • 拉格朗日方程和哈密顿方程本质上是等价的
斯函数 ·经过对比得知,哈密顿正则方程擅长对循环 坐标处理,而拉格朗日方程对普通坐标处理 较为简便。若只对循环坐标采用勒让德变换, 使其处理用哈密顿正则方程,而对其余则不 做变换,所得的为劳斯函数。设q1qm是循 环坐标,其余不是,则劳斯函数为 R(q …qs5P1…Pm,4m+15…qs ∑P-L
劳斯函数 • 经过对比得知，哈密顿正则方程擅长对循环 坐标处理，而拉格朗日方程对普通坐标处理 较为简便。若只对循环坐标采用勒让德变换， 使其处理用哈密顿正则方程，而对其余则不 做变换，所得的为劳斯函数。设q1~qm是循 环坐标，其余不是，则劳斯函数为 1 1 1 1 ( ,..., ; ,..., , ,..., ; ) m s m m s i i i R q q p p q q t p q L + = = −