量子力学 笫八:绝燕近仰与Bery相阖于 杨焕雄 中闽科技本大地骨院近代物理亲 hyang@ustc.edu.cn December 19, 2019
量子力学 第八章：绝热近似与 Berry 相因子 杨焕雄 中国科学技术大学物理学院近代物理系 hyang@ustc.edu.cn December 19, 2019 1 / 32
章动机 量于力骨体的 Schrodinger方程, ix.|(功)=Hw() 多H不你赖于时间t时买有通群 V()=∑|)〈叫W(0)p(-E) 式中出现的En与|)分别是H的存猃值以及相应的归一化存 矢量,H1n)=En|n),(川m)=6nm 如果初鼎时刻体处在的某个存上, v(0)=|m 则在以的一时刻,体無仍确定烂处在的运个礻猃 忐工,麦别只是多了一个不改亥概率分布的含时因子 l()>=|m)ckm,(t≥0)
本章动机： 量子力学体系的 Schrödinger 方程， iℏ B Bt |Ψptqy “ Hˆ |Ψptqy 当 Hˆ 不依赖于时间 t 时具有通解： |Ψptqy “ ÿ n |ny xn|Ψp0qy expp´iEnt{ℏq 式中出现的 En 与 |ny 分别是 Hˆ 的本征值以及相应的归一化本征 矢量，Hˆ |ny “ En |ny， xn|my “ nm. 如果初始时刻体系处在 Hˆ 的某个本征态上， |Ψp0qy “ |my 则在以后的任一时刻，体系仍然确定地处在 Hˆ 的这个本征 态上，差别只是多了一个不改变概率分布的含时相因子： |Ψptqy “ |my e ´ i ℏ Emt ; ` t ě 0 ˘ 2 / 32
绝热过程 所以,在体系的 Hamilton算待不你于时间的帱刑下,体糸量 弃征忐随时间的演化是绝热过程. Q绝热过程 慑设体無的哈蜜頓算特在慕个物理过程中从初雀B()逐 新变亿到终值团(小若过程是绝热过程、且体余在 初时訓右处于哈密頓算特H()的存松态|n(t), H(t)|n(+)=En()n(t) 则体在演化过程中的饪一时訓t均处在瞬时哈密頓算 符H(t)的车栖起|n(), H(n)ln()=En()ln(0),(≤≤引
绝热过程： 所以，在体系的 Hamilton 算符不依赖于时间的情形下，体系能量 本征态随时间的演化是绝热过程. 1 绝热过程： 假设体系的哈密顿算符在某个物理过程中从初值 Hˆ ptiq 逐 渐变化到终值 Hˆ ptfq. 倘若此过程是绝热过程、且体系在 初始时刻 ti 处于哈密顿算符 Hˆ ptiq 的本征态 |nptiqy， Hˆ ptiq |nptiqy “ Enptiq |nptiqy 则体系在演化过程中的任一时刻 t 均处在瞬时哈密顿算 符 Hˆ ptq 的本征态 |nptqy， Hˆ ptq |nptqy “ Enptq |nptqy ; pti ď t ď tfq 3 / 32
含时的 Hamilton算符例: 请问 若自体執于时间秀数,H=H(),其存矢是石可以进行 绝热演化? 考虑具有妇下性的談转籬帕,场的 方间与3轴夹角为日,且以常角速废山 疣x轴转 B)=图|cos+ ei sin 0 cos(ur) +e2 sin 0 sin(wt) 鸿处约定囝为一常歉,绱若让曳于秭止于鸿的坐标原点, 则电子的 Hamilton算待丁为 (1)=-sB() cos 803+sin 8 cos(wt)oI +sin 0 sin(wt)02
含时的 Hamilton 算符举例： 请问： 1 若 Hˆ 依赖于时间参数，Hˆ “ Hˆ ptq，其本征态矢是否可以进行 绝热演化？ 考虑具有如下性质的旋转磁场. 磁场的 方向与 x3 轴夹角为 ，且以常角速度 ! 绕 x3 轴转动： ~Bptq “ B ” ~e3 cos `~e1 sin cosp!tq `~e2 sin sinp!tq ı BE ! x3 x2 x1 O e 此处约定 B 为一正常数. 倘若让电子静止于此磁场的坐标原点， 则电子的 Hamilton 算符可表为： Hˆ ptq “ ´~S ¨~Bptq “ eℏB 2 ” cos 3 `sin cosp!tq1 `sin sinp!tq2 ı 4 / 32
在H随时间亥化的帱刑下, H的车值方程仍絮府在: H()1yn(1)=En(t)1yn() 仅態量值En(与屬于它的礻矢量ψn()》均时间 变.体糸的態量不是守恒量 ◎H仍是厄未算特、因此,在一瞬间,H()存共的 金体仍袈构忒 Hilbert空阃的一徂女归一的基承: y(ym()=6m,∑n()(y(=1 因讷,含时藓定谔方程 v(a)=B()v() 的通解可以写作{n(》}的伐性叠加∷
在 Hˆ 随时间变化的情形下， 1 Hˆ 的本征值方程仍然存在： Hˆ ptq | nptqy “ Enptq | nptqy 但能量本征值 Enptq 与属于它的本征态矢量 | nptqy 均随时间 变化. 体系的能量不是守恒量. 2 Hˆ 仍然是厄米算符. 因此，在任一瞬间 t，Hˆ ptq 本征态矢的 全体仍然构成 Hilbert 空间的一组正交归一的基底： x nptq| mptqy “ nm; ÿ n | nptqy x nptq| “ 1 因此，含时薛定谔方程 iℏ B Bt |Ψptqy “ Hˆ ptq |Ψptqy 的通解可以写作 t| nptqyu 的线性叠加： |Ψptqy “ ÿ n ˜cnptq | nptqy “ ÿ n cnptq | nptqy exp „ ´ i ℏ ż t 0 Enp qd ȷ 5 / 32
现在讨论叠加东数cn()从的方程 na2w)=n∑0(4)+400)-F一方E ∑E(0(sp-五E(tr i∑2()|w()+m(0,()∞p-|E1T)h +200= =H()v() +∑0(+= 把式与含时藓定谔方程比,可知: 0=i∑[n(ly(n)+cn()n()exp 五E(r
现在讨论叠加系数 cnptq 服从的方程： iℏ B Bt |Ψptqy “ iℏ ÿ n rc9nptq | nptqy ` cnptq | 9 nptqysexp „ ´ i ℏ ż t 0 Enp qd ȷ ` ÿ n cnptqEnptq | nptqy exp „ ´ i ℏ ż t 0 Enp qd ȷ “ iℏ ÿ n rc9nptq | nptqy ` cnptq | 9 nptqysexp „ ´ i ℏ ż t 0 Enp qd ȷ ` ÿ n cnptqHˆ ptq | nptqy exp „ ´ i ℏ ż t 0 Enp qd ȷ “ Hˆ ptq |Ψptqy ` iℏ ÿ n rc9nptq | nptqy ` cnptq | 9 nptqysexp „ ´ i ℏ ż t 0 Enp qd ȷ 把此式与含时薛定谔方程比较，可知： 0 “ iℏ ÿ n rc9nptq | nptqy ` cnptq | 9 nptqysexp „ ´ i ℏ ż t 0 Enp qd ȷ 6 / 32
Gm(t) G,()(wm(o)I )n())exp-1 E(r)dr+hJo m(T)dr 显然,欲求解鸿方程需事光计算〈vn(t)lyn() 为,我们求H()弃值方程 H(6l n(0))=En(o)lpn(t)> 的时间导数 H()|yn()+H()yn()=En()lyn(t)+En()yn(功) 再求上式与1yn()的标积,如 vn()|Hlybn()+En()(ym(功)pn(t)=En(5m+En(t)(yn(t)vn(t)
所以： c9mptq “ ´ÿ n cnptq x mptq| 9 nptqy exp „ ´ i ℏ ż t 0 Enp qd ` i ℏ ż t 0 Emp qd ȷ 显然，欲求解此方程需事先计算 x mptq| 9 nptqy. 为此，我们求 Hˆ ptq 本征值方程 Hˆ ptq | nptqy “ Enptq | nptqy 的时间导数： 9Hˆ ptq | nptqy ` Hˆ ptq | 9 nptqy “ E9 nptq | nptqy ` Enptq | 9 nptqy 再求上式与 | mptqy 的标积，知： x mptq| 9Hˆ ptq| nptqy`Emptqx mptq| 9 nptqy “ E9 nptqmn`Enptqx mptq| 9 nptqy 7 / 32
上式在m≠n时给出 vm(圳y(≈《吵m(圳H(圳yn()(m≠n En(a-Em(t 所以,cm()順从的徽分方程私达为 cm(t)=-Cm(0)(ym(olym(o)> (ym(OH(Ol n(O)>(E(T)-Ea(r)dr En(t)-Em(t) 到此为止,cm()满致的方程是情确的 绝热近似:」 K lm(OH(lln(o> En(o-Em((m(H(olan(t) 请思考:为何称此不等式为绝燕近似条件?
上式在 m ‰ n 时给出： x mptq| 9 nptqy “ x mptq| 9Hˆ ptq| nptqy Enptq ´ Emptq ; pm ‰ nq 所以，cmptq 服从的微分方程表达为： c9mptq “ ´cmptq x mptq| 9 mptqy ´ ÿ n‰m cnptq x mptq| 9Hˆ ptq| nptqy Enptq ´ Emptq e ´ i ℏ ş t 0 rEnp q´Emp qsd 到此为止，cmptq 满足的方程是精确的. 绝热近似： › › › › › ℏ Enptq ´ Emptq x mptq| 9Hˆ ptq| nptqy x mptq|Hˆ ptq| nptqy › › › › › ! 1 请思考：为何称此不等式为绝热近似条件？ 8 / 32
若工述不等式戎立,则有 cm()≈-cm(t)〈vym()lym() 真解为 m(t)=cm(o) 真中出现的 ym(t)=i dr( pm()lpm(T)) 为宗数(Why冫).所以,绝燕近伈下含时定谔方程的通解丁 lw())s2'm(o) lym(o))exp im()-hL Em(r)dr 佩设cm(0)=δm,即倔设体在初时刻处在H(O)的第n个弃 态:|(0)=y2(0),则在以后的任一时刻t>0,它亦旖处 在H()的第n个幸猃: ()|,(sp|(-E),(adh
若上述不等式成立，则有： c9mptq « ´cmptq x mptq| 9 mptqy 其解为： cmptq “ cmp0qe i mptq 其中出现的 mptq “ i ż t 0 d x mp q| 9 mp qy 为实参数 ( Why ?). 所以，绝热近似下含时薛定谔方程的通解可 写为： |Ψptqy « ÿ m cmp0q | mptqy exp „ i mptq ´ i ℏ ż t 0 Emp qd ȷ 假设 cmp0q “ mn，即假设体系在初始时刻处在 Hˆ p0q 的第 n 个本 征态：|Ψp0qy “ | np0qy，则在以后的任一时刻 t ą 0，它亦将处 在 Hˆ ptq 的第 n 个本征态： |Ψptqy « | nptqy exp „ i nptq ´ i ℏ ż t 0 Enp qd ȷ ; padiabatic !q 9 / 32
旋转属场中曳子的自旋起: 秽止于旋转炻原点处的曳子的哈蜜頓 算丁为 H(o=hwo[o n(t) 式中,0o=e/ 成()=se+ sin 8 cos(wt)+snin1 因为[G戒]2=1,鸿体H的存值请为 这两个態量弃猃值均不依赖于时间.绝燕近条在例中积 达为:d《W0
旋转磁场中电子的自旋态： 静止于旋转磁场原点处的电子的哈密顿 算符可表为： Hˆ ptq “ 1 2 ℏ!0r~ ¨ ~nptqs 式中，!0 “ eB{，且： ~nptq “~e3 cos `~e1 sin cosp!tq`~e2 sin sinp!tq BE ! x3 x2 x1 O e 因为 r~ ¨ ~nptqs2 “ 1，此体系 Hˆ ptq 的本征值谱为： E˘ “ ˘ 1 2 ℏ!0 这两个能量本征值均不依赖于时间. 绝热近似条件在此例中表 达为：! ! !0. 10 / 32