第5 Dynamics of Rigid body 则体 使生命
1 第 5 章 Dynamics of Rigid Body (6) 刚体力学基础
S5-1刚体运动学 刚体一运动中形状和大小都保持不变的物体。 (a)刚体上各质点之间的距离保持不变。 (b)刚体有确定的形状和大小。 (c)刚体可看作是由许多质点(质元)组成的质点系。 刚体的平动和转动 如果刚体在运动中,刚体内任何两点的连线在空间 的指向始终保持平行,这样的运动就称为平动。 在平动时,刚体内各质点的运动状态完全相同,因此 平动刚体可视为质点。通常是用刚体质心的运动来 代表整个刚体的平动
2 刚体—运动中形状和大小都保持不变的物体。 (a)刚体上各质点之间的距离保持不变。 (b)刚体有确定的形状和大小。 (c)刚体可看作是由许多质点(质元)组成的质点系。 一.刚体的平动和转动 如果刚体在运动中,刚体内任何两点的连线在空间 的指向始终保持平行,这样的运动就称为平动。 在平动时,刚体内各质点的运动状态完全相同,因此 平动刚体可视为质点。通常是用刚体质心的运动来 代表整个刚体的平动。 §5-1 刚体运动学
如果刚体内的各个质点都绕同一直线转轴)作圆 周运动,这种运动便称为转动。如果转轴是固定不动 的就称为定轴转动。 刚体的一般运动比较复杂。但可以证明,刚体一般 运动可看作是平动和转动的结合。 O 二定轴转动的描述 刚体在作定轴转动时,由于各质点 到转轴的距离不同,所以各质点的线 速度、加速度一般是不同的。 但由于各质点的相对位置保持不 变,所以描述各质点运动的角量,如 角位移、角速度和角加速度都是 样的。 图5-1
3 刚体的一般运动比较复杂。但可以证明,刚体一般 运动可看作是平动和转动的结合。 如果刚体内的各个质点都绕同一直线(转轴)作圆 周运动,这种运动便称为转动。如果转轴是固定不动 的,就称为定轴转动。 刚体在作定轴转动时,由于各质点 到转轴的距离不同,所以各质点的线 速度、加速度一般是不同的。 但由于各质点的相对位置保持不 变,所以描述各质点运动的角量,如 角位移、角速度和角加速度都是一 样的。 二.定轴转动的描述 r 图5-1
定轴转动刚体的运动用角量 描述。 de d dt 若角加速度a=c(恒量),则有 0=0+t △O=at+-ar2 2 图5-1 02=2a△6
4 , dt d = dt d = t =o + 2 2 1 t t =o + − = 2 2 2 o 若角加速度 =c(恒量)，则有 r 图5-1 定轴转动刚体的运动,用角量 描述
S5-2刚体的定轴转动 一刚体的角动量 刚体的角动量=刚体上各个质点的角动量之和。 设刚体以角速度绕固定轴转动(见图5-2,质量 为Am的质点对o点的角动量为 L=dm:v r: 4m:r20 L 刚体对轴的角动量就是 L2=(m2r2)0=Jm 式中:J=别mr2 称为刚体对轴的转动惯量。 图5-2
5 一.刚体的角动量 刚体的角动量=刚体上各个质点的角动量之和。 §5-2 刚体的定轴转动 图5-2 Z L mi i r o i 式中: J=Δmi ri 2 称为刚体对z轴的转动惯量。 Li=Δmii ri=Δmi ri 2 刚体对z轴的角动量就是 Lz=(Δmi ri 2 ) 设刚体以角速度 绕固定轴z转动(见图5-2),质量 为Δmi的质点对o点的角动量为 =J
刚体对轴的角动量: L2=J0(5-1) 可 显然,刚体的角动量的方向 与角速度萌的方向相同,沿z轴 方向(见图52),故也称为刚体对 固定轴z的角动量 Ami 问题:为何动量的概念对刚体 图5-2 已失去意义? 产
6 问题：为何动量的概念对刚体 已失去意义？ P=0 图5-2 Z L mi i r o i 刚体对z轴的角动量： Lz= J (5-1) 显然，刚体的角动量的方向 与角速度的方向相同，沿z轴 方向(见图5-2),故也称为刚体对 固定轴z的角动量
一▲ 刚体定轴转动定理 设有一质点系,第质点的 位矢为,外力为F,内力为∑/, j(i≠j) 按质点角动量定理(4-11)式,有 m; :rxF. +rx d(r1×m,U,) j(i≠j dt 对各质点求和,并注意到 ∑(1×∑)=0 ≠ 得∑xF d(氏×mD1 dt
7 对各质点求和，并注意到 二.刚体定轴转动定理 按质点角动量定理(4-11)式，有 j( i j ) ij f 设有一质点系, 第i个质点的 位矢为 ri , 外力为 Fi , 内力为 , d t d(r m ) r F r f i i i j( i j ) i i i ij + = mi： = 0 (r f ) j( i j ) ij i i (r m ) d t d r F i i i i i i i 得 =
∑ d X F ∑ (r1×m,U) d t ∑xF=M质点系所受的合外力矩 ∑(Xm)=乙质点系的总角动量 于是得M L 式5-2)的意义是:质点系所受的合外力矩等于质点系的 总角动量对时间的变化率。这个结论叫质点系角动量 定理。 显然它也适用于定轴转动刚体这样的质点系
8 (r m ) d t d r F i i i i i i i = i i ri F =M⎯质点系所受的合外力矩 (r m ) i i i i =L⎯质点系的总角动量 于是得 (5-2) dt dL M = 式(5-2)的意义是:质点系所受的合外力矩等于质点系的 总角动量对时间的变化率。这个结论叫质点系角动量 定理。 显然它也适用于定轴转动刚体这样的质点系
M 上式是一矢量式,它沿通过定点的固定轴z方 向上的分量式为 dl, d(o) M (5-3)(L2=Jm) dt dt 上式称为物体定轴转动方程。 对定轴转动的刚体,J为常量, do /dt=ax,故式6-16) 又可写成 MEJa 5-4) 这就是刚体定轴转动定理
9 上式称为物体定轴转动方程。 对定轴转动的刚体, J为常量, d /dt=, 故式(6-16) 又可写成 dt dL M z z = 上式是一矢量式, 它沿通过定点的固定轴z方 向上的分量式为 这就是刚体定轴转动定理。 M=J (5-4) (5-3) dt d( J ) = (5-2) dt dL M = (Lz =J)
M=Ja 5-4 5-4)表明,刚体所受的合外力矩等于刚体的转动 惯量与刚体角加速度的乘积。 M→XF(4-21) 应当指出,这里我们虽然借用上式来计算力矩, 但对定轴转动刚体来说,平行于转轴的力是不产生力 矩的,因此,这里力矩公式中的力应理解为外力在 垂直于转轴的平面内的分力。 以上内容的学习要点:掌握刚体定轴转 动定律及用隔离体法求解(刚体+质点)系统问 题的方法
10 应当指出，这里我们虽然借用上式来计算力矩， 但对定轴转动刚体来说,平行于转轴的力是不产生力 矩的，因此，这里力矩公式中的力应理解为外力在 垂直于转轴的平面内的分力。 (5-4)表明, 刚体所受的合外力矩等于刚体的转动 惯量与刚体角加速度的乘积。 以上内容的学习要点：掌握刚体定轴转 动定律及用隔离体法求解(刚体+质点)系统问 题的方法。 M=J (5-4) M=r×F (4-21)