安黴理工大学2005级《大学物理》补充 第十八章量子物理基础 第三讲量子力学应用初步 物狸教研室
安徽理工大学 2005级《大学物理》补充 物理教研室 第十八章 量子物理基础 第三讲量子力学应用初步
本次课内容 819-8量子力学简介(2) 三薛定谔方程解一维势阱问题 四对应原理 五一维方势垒隧道效应 819-9氢原子的量子理论 819-10多电子原子中的电子分布 课本pp266-289;练习册第二十单元
本次课内容 §19-8 量子力学简介（2） 三 薛定谔方程解一维势阱问题 四 对应原理 五 一维方势垒 隧道效应 §19-9 氢原子的量子理论 §19-10 多电子原子中的电子分布 课本 pp266—289； 练习册 第二十单元
819-8量子力学简介(2) 定态薛定谔方程 y2+/(o(F)=E0( 维定态薛定谔方程 九2dl2 2m dr+v(x)p(x)e p(x) 求解定态薛定谔方程,就是在已知势函数的条件下,求 出体系可能有的能量值和波函数
§19-8 量子力学简介（2） 定态薛定谔方程 一维定态薛定谔方程 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 V x x E x dx d m − + = ( )] ( ) ( ) 2 [ 2 2 V r r E r m + = − 求解定态薛定谔方程，就是在已知势函数的条件下，求 出体系可能有的能量值和波函数
三薛定谔方程解一维势阱问题 质量为m的粒子在外场中作一维运 动,势能函数为 0(0a时,v(x)=0
三 薛定谔方程解一维势阱问题 质量为m 的粒子在外场中作一维运 动，势能函数为 = (x 0 x 0) 0 (0 x a) V(x) 或 8 8 x = 0 x = a V (x ) 定态薛定谔方程为： (0 ) (1) 2 2 2 2 E x a dx d m − = 当 x a 时， (x) = 0
求解方程(1) h2a=Ev(0<x<a)(1) 2m dx2 (1)式可写成4(x)12mE dx hy(x)=0(0<x<a) 令k=√2mE/n2代入上式得: d-v(x) 2+kv(x)=0(0<x<a) 此方程的通解为:v(x)= Asin kx+ Bcos kx 由于阱壁无限高,所以v(0)=0v(a)=0 Asin(0)+ Bcos(0)=0 Asin(ka)+Bcos(ka)=0 2
求解方程（1） 令 代入上式得： 此方程的通解为： 由于阱壁无限高，所以 ( ) 0 (0 ) ( ) 2 2 2 2 x x a mE dx d x + = (x) = Asin k x+ Bcos k x 2 k = 2mE/ ( ) 0 (0 ) ( ) 2 2 2 k x x a dx d x + = (0) = 0 (a) = 0 sin( ) cos( ) 0 (2) sin( 0) cos(0) 0 (1) + = + = A k a B k a A B (1)式可写成 (0 ) (1) 2 2 2 2 E x a dx d m − =
由式(1)得B=0,波函数为:v(x)= a sin kx 由式(2)得 asin ka=0,于是 n兀 ka=n兀.k (n=1,2,3 a :k=√2mE/h2=m/a 由此得到粒子的能量En 丌2h E n=1,2,3 2ma En称为本问题中能量E的本征值。势阱中的粒子,其能量 是量子化的
由式（1）得 B = 0 ，波函数为： 由此得到粒子的能量En (x) = Asin kx = , = (n =1,2,3,) a n k a n k 由式（2）得 Asin ka = 0 ，于是 即: 2 / / , 2 k = mE = n a , 1,2,3, 2 2 2 2 2 = = n n ma En En 称为本问题中能量E 的本征值。势阱中的粒子,其能量 是量子化的
势阱中粒子的能级图 E ( 2ma E 当n=1, E≈nh2 2ma 8ma n=3 E1即基态能级 E=ne E n叫作主量子数 a
当 n = 1, n 叫作主量子数 2 2 2 2 2 1 2 8ma h ma E = = 1 2 En = n E 势阱中粒子的能级图 o a x n =1 n = 2 n = 4 n = 3 E E1 E2 E3 E4 E1即基态能级 2 2 2 2 2 n ma En =
与E相对应的本征函数,即本问题的解为: n兀 y(x)=asin( 0<x<a) a 式中常数A可由归一化条件求得。 ∫Vn(x)a= n兀 )x=A==1 得到A=√2/a 最后得到薛定谔方程的解为: S 0<x<a) a
与 E 相对应的本征函数，即本问题的解为： 式中常数Ａ可由归一化条件求得。 最后得到薛定谔方程的解为： ( ) sin( x) (0 x a) a n n x = A 1 2 ( ) sin ( ) 2 2 0 2 2 = = = + − a x dx A a n x dx A a n 得到 A = 2/ a sin( ) (0 ) 2 ( ) x x a a n a x n =
讨论 1势阱中的粒子的能量不是任意的,只能取分立值,即 能量是量子化的。能量量子化是微观世界特有的现象, 经典粒子处在势阱中能量可取连续的任意值。 电子(m=9.1×1031千克): ①若势阱宽a=10A,则En=0.75nev,量子化明显 ②若a=1cm,则E=0.75×1014ev,量子化不明显。 2能量为En的粒子在x-x+内被发现的概率: dW=v (x)dx sIn
1 势阱中的粒子的能量不是任意的，只能取分立值，即 能量是量子化的。能量量子化是微观世界特有的现象， 经典粒子处在势阱中能量可取连续的任意值。 讨论 2 能量为En的粒子在 x-x+dx 内被发现的概率: xdx a n a dW n x dx 2 2 sin 2 = ( ) = 电子(m=9.1×10-31千克)： ①若势阱宽a=10Å，则 En=0.75neV, 量子化明显； ②若a=1cm,则En=0.75×10-14eV ,量子化不明显
波函数 几率密度分布 shH ws 2sin ) e ∧∧ 2y cf 3丌 3 sin(-x) n=. 8ma 丌 n(=x)n=2 C E1 sin(-x) n=1
0 ax (x) 0 a x 2 (x) 波函数 几率密度分布 n=3 n=2 n=1 n=4 sin( ) 2 8 1 2 1 2 2 1 x ma a a h E = = ) 2 sin( 2 8 2 2 2 2 2 2 x ma a a h E = = ) 3 sin( 2 8 3 2 3 2 2 3 x ma a a h E = = ) 4 sin( 2 8 4 2 4 2 2 4 x ma a a h E = =