目录 第一章概论 1.1Fourier (2) 1.2积分小波变换和时间频率分析 (7) 1.3反演公式和对偶 (11) 1.4小波的分类… (17) 1.5多分辨分析、样条及小波 (21) 1.6小波分解与重构 (24) 第二章Fourier分析 2.1FourierFourier (30) 2.2连续时间卷积和函数………(35) 2.3方可积Fourier ………………(40) 2.4Foarier (46) 2.5基本收定理和Poisson求和公式……(57) 第三章小波变换和时间-频率分析 3. 1Gabor变换 (66) 3.2短Fourier变换和测准原理 (71) 3.3积分小波变换 (80) 3.4二进小波和反演 (86) 3.5框架…… (91) ·!·
3.6 小波级数 (99) 第四章基数样条分析 4.1基数样条空间 (109) 4.2B-样条及其基本性质 (114) 4.3两尺度关系和插入图形显示算法 (122) 4.4基数样条的B网表示与计算 (128) 4.5样条逼近公式的构造 (135) 4.6样条插值公式的构造 (148) 第五章尺度函数与小波 5.1多分辨分析 (161) 5.2有限两尺度关系的尺度函数 (172) 5.3(R)的直接和分解 (189) 5.4小波和它们的对偶 (198) 5.5线性相位滤波 217 5.6紧支撑小波 229) 第六章基数样条小波 6.1插值样条小波 ……(244) 6.2 紧支撑样条小波 (251) 6.3 基数样条小波的计算 (258) 6. 4 Euler Frobenius (268) 6.5 样条小波分解中的误差分析 ……………… (275) 6.6 全正性、完全振荡及零交叉 (287) 第七章正交小波和小波包 7.1正交小波的例子 ……(297) 7.2 正交两尺度符号的识别 …………(304) ·2
7.3紧支撑正交小波灼构造…………………………(3I7) 7.4正交小波包……………… 328) 7.5小波级数的迁交分解……………………………(333) 注解 …(338) 附录A………………… 参考文献 …………………………………………(348) 索引…………… ·.··曲 垂..由·‘;·、内、 …(355)
第一章概论 “小波”( Wavelets)是E前在许多科学和工程技术聚会中的一 个非常广泛的话题。有些人认为小波可以作为表示函数的一种新 的基底;还有些人认为小波可作为时间-频率分析的一种技术;而 另外有些人则把小波看作是一个新的数学学科。当然,所有这些看 法都是正确的因为“小波是一种具有非常丰富的数学内容,且对 应用有巨大潜力的多方面适用的工具然而,像这样的学科仍在迅 速的发展之中,还不能过早地给出…个明确而统一的描述。本书的 目标是适度的:打算把它作为关于“小波分析”方面的一本导论性 著作。这本书既是为大学高年级学选修课或开始学习研究生课程 的数学与工科各学科的学生写的,也是为希望学习这个学科内容 的数学家与工程师写的。对十专家们来说,本卷书可作为更进步 的专著的补充读物,这些专著如, Yves Meyer著的两卷本: Ondelettes et Operateurs;作者主编的本系列丛书之一: wavelets A Tutorial in Theory and Applications; ngrid Daubechies著的即将出 版的CBMS讲座 :I en Lectuires on Wavelets 因为小波分析是一个比较新的课题和方法,而本书的编排体 系与其它的书有些不同,所以本章的目的是要概括小波分析的 般思想和描述本书所要包括的内容
1. I Fourier分析到小波分析 令b2(0,2x)表示在区间(0,2x)上定义的所有可测且具有 ∫(x)dx 0 的函数集合。对于不熟悉 Lebesgue基础理论的读者,假设f是 个分段连续函数,可使学习所受影响最小。以后总是假定, 2(0,2x)中的函数周期地延拓到实直线 IR:=(…∞,∞) 即:f(x)=∫(x-2丌)对所有x成立。因此,集合L2(0,2x)常称为2x 周期的平方可积函数空间。很容易验证,D(0,2x)是一个向量空 可。12(0,2m)中的任何一个∫都具有一个 Fourier级数表示式 ∫(x) 1.1.1) 其中常数c定义为 2a o ∫(x)e-"dx 它称为f的 Fourier系数。在公式(L.1,1)中,级数的收敛是在 2(0,2x)中,意思是 crema 2dx=0 在 Fourier级数表示公式(1,1,1)中,有两个独特的性质:首先 f可分解为无限多个互相正交分量g(x):=ce"的一个和,其中正 交是指 2
0nm,9n>0,对所有n≠n(1.3) 而公式(1.1.3)中的“内积”定义为 9n·9n .L.1) 公式(1.1.3)成立是一个重要的结论,然而简单的事实 是7(0,2xr)的…个正交基。 Fourier级数表示公式(l.1.1)的第二 个独特的性质是,正交基}可用…个单个函数 u?) 的“膨胀”牛成。也就是说.对所有的整数〃,t,(x)=(nr),这种膨 胀称为整数膨胀。我们概括…下这个值得注意的事实:每个2x周 期平方可积函数都可用基函数v(x)=g"的整数膨胀的“叠加”来 生成 我们还注意到,{m,的正交性质, Fourier级数表示公式 (1.上.1)也满足所谓的 Parseval恒等式 ∫(x)12dx (l.1.7) 令1表示所有双无限平方可和序列的空间,即{∈B如且仪如 那么,如果把公式(1,1.7)左边的量的平方根作为对于L2(0,2x) 中函数度量的“范数”同样地把公式(1.(,7)右边的量的平方根 作为对于P的范数,那么函数空间2(0,2m)与序列空间彼此是 “同构的”。现在返回到对上述 Fourier级数表示公式(1.1.!)的观
察还可以说,每个2周期平方可积函数是基函数(x)=e"的整 数膨胀的一种2的线性组 要再次强调,基函数 w(r)=e=cos r ising 是一个“正弦波”,它是要求生成所有27周期平方可和函数的单 独函数。对于具有大的绝对值的任何整数n,波m,(x)=m(v)有高 的“颗率",而对于具有小的绝对值的整数n,波()具有低的频 率。所以.在D(0,2x)中的每个函数由具有各种频率的波组成。 下面考虑定义在实直线R上的可测函数f的空间I2(R),函 数∫满足 ∫(x):dx<cx 很明显,两个函数空间2(0,2n)和I(R)是完全不同的。特别是, 因为13(R)中每个函数(的局部平均值)在士∞必须“哀减”到零; 所以正弦(波)函数v不属于Ⅰ()。事实上如果我们寻找产生 72()的”波”,那么这个波就在土衰减到零;并且对于所有的实 际应用,哀减应该是很快的。即,我们寻找小的波,或“小波”以生成 7:(R)。像在12(0,2x)中的情况,那甲一个单个函数(x)e"生 成整个空间,我们还希望有一个单个函数来生成整个L2(R)。但 是,如果小波φ具有很快約衰减,它怎么能够覆盖整实直线呢? 明显的方法是沿R移动p 令Z表示整数的集合 ={…-1,0.1,… 对于g獲盖全体R的最简单方法是考虑φ的所有整数平移,即 (x,k∈z 像在正弦波情形那样,下面还必须考虑具有不同频率的波。由于种
种原因,读者马上就会清楚我们不希望考虑“单频率”的波,而宁 考虑频率划分为连续“倍频程”(或频带)的波。为了计算的有效 性,我们对于颗率划分将使用2的整数幂;也就是说,我们现在考 虑小波 ap(2'x-E ∈Z 可以看出,(2x-k)可由一个单个“小波”函数(x)通过一个二进 膨胀(即2的膨胀)和一个(k/2的)二进位移得到。 这样,我们就对“小波”的函数感兴趣,的二进膨胀和二进 位移足以表示I(珉)中的所有函数。为了简单,我们首先考虑用φ 产生的-个正交基。在本章后面(见1.4节),我们将引入更一般 的“小波级数”。 在整个这本书中,我们使用下述记号表示空间(QR)的内积 与范数 ∫,g> ∫(x)g(x)dx f‖z:=2 (1.1.10) 其中f,∈I2()。注意,对于任何,k∈Z,有 1f2 f(2·-k)‖ ∫(2x-·)|lx 2-2‖f‖ 因此,如果-一个函数砂∈I()具有单位长度,那么,用 的,:(x):=22y(2x-) ∈Z(1.1.11) 定义的所有函数r()也具有单位长度,即 的‖2=‖2=1,j,k∈Z(1.1.12) 在本书中,定义在Z×Z上的 Kronecker符号
对)=配 (1.1.13冫 0对氵≠k 经常使用。 定义1.1一个函数φ∈2(呎)称为是一个正交小波,如果公式 (,II)中所定义的族是!(R)的一个规范正交基.即 k,l,m∈Z(!.1.14 而且每个f∈(R)能写成 pi (1.1.15) 其中公式(1.1.15)肀的缀数收敛是在2(R)肀的收敛.即 -∠△c+的,2=0 正交小波的最简单例予是用 对0≤x<1/2 的(x): 1对1/2≤x<1(1.J.16 其它 定义的Har函数。在!.5和1.6节中,我们将给出这个函数一个 简洁的讨论。其它的正交小波将在第七章中详细研究。 公式(1.1.15)中f的级数表示称为小波级数。类似于在公式 (11.2)中 Fourier系数概念,小波系数sy由 <J,驴 (1.1.:7) 给出。即,如果我们定义在2()上的一个积分变换W为
(W∫)(b,a):=|ai ∫∈L(R) (1.1.18) 那么,公式(1.1.15)和(!.1.17)中的小波系数就变成 C,t=(Wn∫)(,;) .,19) 线性变换W称为关于“基小波”φ的“积分小波变换”。因此,f的 第(,k个小泼系数由f的积分小波变换在具有二进膨胀a=2 的二进位置b一k/2计算给出,其中相同的正交小波φ常用来生 成小波级数公式(1.1.15)和定义积分小波变换公式(1.I.18)。 积分小波变换的重要性在下节中讨论。在这里,我们只说明 这个积分变换大大地增强了(积分) Fourier变换身的价值,>可 定义为 (另厂)(y):=ef(x)dx,∫∈(取)(1..20) 这个变换的数学摧述在下章进行。众所周知, Fourier变换是 Fourier分析的一个重要组成部分。因此,注意 Fourier分析的两个 组成部分是有意义的,即: Fourier级数与 Fourier变换,它们基本上 是不相关的;而小波分析的两个相应的组成部分,即:小波级数公 式(1.1.15)与积分小波变换公式(1.1.18),具有如公式(1.1.J9) 所描述的密刃的关系 1.2积分小波变换和时间-频率分析 公式(1.1.20)所定义的 Fourier变换字不只是一个很有力的 数学工具,而且在应用中还具有重要的物理解释。例如,如果一个 函数f∈2(R)被看作是由它的范数!f‖2定义的具有有限能量 的一个模拟信号,那么∫的 Fourier变换
