第三章 讲解内容 1.图像变换的目的、要求和应用 2.傅立叶级数、频谱分析概念及其意义 3.一维、二维连续、离散傅立叶变换定义 性质及其应用 目的 1.熟悉二维傅立叶变换定义、性质及其应用; 2.掌握一维傅立叶变换算法及频谱分析方法
第三章 讲解内容 1. 图像变换的目的、要求和应用 2. 傅立叶级数、 频谱分析概念及其意义 3.一维、二维连续、离散傅立叶变换定义、 性质及其应用 目的 1. 熟悉二维傅立叶变换定义、性质及其应用； 2. 掌握一维傅立叶变换算法及频谱分析方法
第三章图像变换 图像变换的目的在于:①使图像处理问题简化;② 有利于图像特征提取;③有助于从概念上增强对图像信 息的理解 图像变换通常是一种二维正交变换。一般要求:① 正交变换必须是可逆的;②正变换和反变换的算法不能 太复杂;③正交变换的特点是在变换域中图像能量将集 中分布在低频率成分上,边缘、线状信息反映在高频率 成分上,有利于图像处理。 因此正交变换广泛应用在图像增强、图像恢复、特 征提取、图像压缩编码和形状分析等方面。 在此讨论常用的傅立叶变换
第三章 图像变换 图像变换的目的在于：①使图像处理问题简化；② 有利于图像特征提取；③有助于从概念上增强对图像信 息的理解。 图像变换通常是一种二维正交变换。一般要求： ① 正交变换必须是可逆的； ②正变换和反变换的算法不能 太复杂； ③正交变换的特点是在变换域中图像能量将集 中分布在低频率成分上，边缘、线状信息反映在高频率 成分上，有利于图像处理。 因此正交变换广泛应用在图像增强、图像恢复、特 征提取、图像压缩编码和形状分析等方面。 在此讨论常用的傅立叶变换
3.2傅立叶变换 在学习傅立叶级数的时候,一个周期为T的函数f(t)在[ T/2,T/2]上满足狄利克雷( Dirichlet)条件,则在[T/2,T/2] 可以展成傅立叶级数 fr(r)=+2(a, cos nwt +b, sin nwt 2 其复数形式为 =-a ()=∑cs 其中 fr(te nwt dt 可见,傅立叶级数清楚地表明了信号由哪些频率分量组成 及其所占的比重,从而有利于对信号进行分析与处理
3.2傅立叶变换 在学习傅立叶级数的时候，一个周期为T的函数f(t)在[- T/2,T/2]上满足狄利克雷（Dirichlet)条件，则在[-T/2,T/2] 可以展成傅立叶级数 其复数形式为 其中 可见，傅立叶级数清楚地表明了信号由哪些频率分量组成 及其所占的比重，从而有利于对信号进行分析与处理。 ( cos sin ) 2 ( ) 1 0 a nwt b nwt a f t n n T = + n + = =− = n jnwt f T (t) cn e − − = 2 2 ( ) 1 T T f t e dt T c jnwt n T
3.2.1连续函数的傅立叶变换 1.一维连续函数的傅立叶变换 令x)为实变量x的连续函数,fx)的傅立叶变换用 F)表示,则定义式为 F()=f(x)e/mad (32-1 若已知Fl),则傅立叶反变换为 (x)=「F(l) el du (32-2) 式(32-1)和(32-2)称为傅立叶变换对
3.2.1 连续函数的傅立叶变换 1. 一维连续函数的傅立叶变换 令f(x)为实变量x的连续函数，f(x) 的傅立叶变换用 F(u)表示，则定义式为 若已知F(u)，则傅立叶反变换为 式（3.2-1）和（3.2-2）称为傅立叶变换对。 ( ) ( ) (3.2 1) 2 = − − − F u f x e dx j ux ( ) ( ) (3.2 2) 2 = − − f x F u e du j ux
这里f(x)是实函数,它的傅立叶变换F(l)通常是复函 数。F(ωu)的实部、虚部、振幅、能量和相位分别表示如 实部R)=()o02mt(32-3) 虚部(u)=-f(x)sin2 mx dx (32-4) 振幅|F(n)=[1R2(2)+12ai (32-5) 能量E(F(o=R()+( (3.2-6) 相位d(u)=tan+(u) (32 e /2mct cos 2mxx-jsin 27ux (32-8) 傅立叶变换中出现的变量u通常称为频率变量
这里f(x)是实函数，它的傅立叶变换F(u)通常是复函 数。F(u)的实部、虚部、振幅、能量和相位分别表示如 下： ( ) = ( )cos(2 ) (3.2 −3) − 实部 R u f x ux dx ( ) = − ( )sin( 2 ) (3.2 − 4) − 虚部 I u f x ux dx ( ) [ 2( ) 2( )] (3.2 5) 2 1 = + u − R u I 振幅 F u ( ) ( ) ( ) ( ) (3.2 6) 2 2 2 能量 E u = F u = R u + I u − ] (3.2 7) ( ) ( ) ( ) tan [ 1 = − − R u I u 相位 u cos2 sin 2 (3.2 8) 2 = − − − e ux j ux j ux 傅立叶变换中出现的变量u 通常称为频率变量
2.二维连续函数的傅立叶变换 傅立叶变换很容易推广到二维的情况。如果八x,y)是连 续和可积的,且F(u,w)是可积的,则二维傅立叶变换对为 F(,v)=∫∫f(x,y)e 2T(ux+vy dxdy (32-9) f(x, y)=JF(u, v)e/27 (ur+)( (32-10) 二维函数的傅立叶谱、相位和能量谱分别为 F(,v)|=[R2(l,v)2(l,v)2(3,2-11) (u,v)=tan1[I(l,v)/R(l,v)(32-12) E(l’,y)=R2(l,w)+2(u,y) (32-13
2. 二维连续函数的傅立叶变换 傅立叶变换很容易推广到二维的情况。如果f(x，y)是连 续和可积的，且F(u，v)是可积的，则二维傅立叶变换对为 = − = − − + − − + ( , ) ( , ) (3.2 10) ( , ) ( , ) (3.2 9) 2 ( ) 2 ( ) f x y F u v e dudv F u v f x y e dxdy j u x vy j u x vy 二维函数的傅立叶谱、相位和能量谱分别为 |F(u，v)∣=[R2 (u，v)+I2 (u，v)]1/2 (3.2—11) φ(u，v)=tan-1 [I(u，v)／R(u，v)] (3.2—12) E(u，v)=R2 (u，v)+I2 (u，v) (3.2—13)
3.2.2离散函数的傅立叶变换 1.一维离散函数的傅立叶变换 假定取间隔△x单位的抽样方法将一个连续函数fx)离散化为一个 序列{(x0),fx+△x),…,x+(N-1)△x},如图3.2.3所示。 fx) fxo+△x) fx0+2△x) f(xo) f(xo+3△x)f(xo+N-1]△x) x 将序列表示成 f(x)(x+x△x) (3.2-16) 即用序列{0,f(1),2),…,f(N-1)}代替{(x0),fx+△x, fx+(N-1)△x]}
3.2.2 离散函数的傅立叶变换 1.一维离散函数的傅立叶变换 假定取间隔△x单位的抽样方法将一个连续函数f(x)离散化为一个 序列{f(x0 )，f(x0+△x)，…，f[x0+(N-1)△x]}，如图3.2.3所示。 将序列表示成 f(x)=f(x0+x△x) (3.2—16) 即用序列{f(0)，f(1)，f(2)，…，f(N-1)}代替{f(x0 )，f(x0+△x)，… ，f[x0+(N-1)△x]}
被抽样函数的离散傅立叶变换定义式为 ∑f(x)e2m x=0 式中v=0,1,2,…,N-1。反变换为 )∑F( J2Tux/N ue x=0 式中x=0,1,2,…,M1
被抽样函数的离散傅立叶变换定义式为 F(u)= 式中u=0，1，2，…，N﹣1。反变换为 f(x)= 式中x=0，1，2，…，N-1。 − = − 1 0 1 2 / ( ) N x j ux N N f x e − = 1 0 2 / ( ) N x j ux N F u e
例如:对一维信号x)=[1010进行傅立叶变换。 由 F()=k∑f(x)e-/2mN 得时,00:+=址1 x=0 f(2) l=1时, )=2(x2m2=4 3
例如：对一维信号f(x)=[1 0 1 0]进行傅立叶变换。 由 得 u=0时， u=1时, = − = − 1 0 1 2 / ( ) ( ) N x j ux N N F u f x e 1/ 2 ( (3) (2) (1) (0) (0) ( ) ( ) [1 1 1 1] 4 1 3 0 4 1 3 0 2 0/ 4 4 1 = = = = = = − f f f f F f x e f x x x π x 0 ( (3) (2) (1) (0) (1) ( ) [1 1 ] 4 / 2 1 3 0 4 1 = = = − − − = f f f f F f x e j j jπ π x
F(2)=4∑f(x)/x=4-11 f(1) 2时 =1/2 =0 f(2) (f(3) f(0) 3时,F3)=4∑(x如2=j-1- f(1) x=0 f(2) (f(3) 在N=4时,傅立叶变换以矩阵形式表示为 F(u)= Af(l) x
1/ 2 ( (3) (2) (1) (0) (2) ( ) [1 1 1 1] 4 1 3 0 4 1 = = = − − − = f f f f F f x e jπ π u=2时 x , u=3时, 在N=4时，傅立叶变换以矩阵形式表示为 F(u)= =Af(x) 0 ( (3) (2) (1) (0) (3) ( ) [1 1 ] 4 3 / 2 1 3 0 4 1 = = = − − − = f f f f F f x e j j j π x x x y -1 1 j -j − − − − − − 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 j j j j