定理4(介值定理) 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)(b),那么,对于 f(a)与f(b)之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点5 使得=C

1.9连续函数的运算与初等函数的连续性 一、连续函数的和、积及商的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性

定理3 设函数y=fg(x)由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成, U(x)CDfg.若limg(x)=u,而函数y=f(u)在u连续,则

在极限lim[1+a(x)]a(x)中,只要a(x)是无穷小,就有 lim[+a(x) ](x)=e. 这是因为,令u=,则u→∞,于是

定理4(函数极限与数列极限的关系) 如果当x→x时f(x)的极限存在,{xn}为f(x)的定义域内任一 收敛于x的数列,且满足xnx(nN+),那么相应的函数值数列 x)}必收敛,且

准则I 如果数列{xn}{yn}及{zn}满足下列条件 (1)(n=1,2,3,) (2)lim yn=a, lim zn=a n→∞ n→∞ 那么数列{xn}的极限存在,且 lim xn=a

定理6(复合函数的极限运算法则) 设函数y=fg(x)是由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成, fg(x)]在点x的某去心邻域内有定义.若g(x)→u(x→x) f(u)→A(u→u),且在x的某去心邻域内g(x)u,则

定理2(无穷大与无穷小之间的关系) 在自变量的同一变化过程中,如果f(x)为无穷大, 则为无穷小;反之,如果f(x)为无穷小,且f(x)0

如果im(x)=A,limg(x)=B,那么 limf(x+g(x)=limf(x+ling(x)=A+B 证明因为lim(x)=A,limg(x)=B, 根据极限与无穷小的关系,有

定理1(无穷小与函数极限的关系) 在自变量的同一变化过程x→x(或x→∞)中,函数f(x) 具有极限A的充分必要条件是(x)=A+a,其中a是无穷小 简要证明令a=f(x)-A,则fx)-a