§5阶跃折射率光纤中的场解 数学模型 ·园柱坐标系中的波导场方程 边界条件 本征解与本征值方程 ·本征值与模式分析
§5 阶跃折射率光纤中的场解 • 数学模型 • 园柱坐标系中的波导场方程 • 边界条件 • 本征解与本征值方程 • 本征值与模式分析
§5-1数学模型及波动方程的解 数学模型:阶跃折射率分布光纤(SIOF) 是一种理想的数学模型,即认为光纤是一 种无限大直园柱系统,芯区半径a,折射率 为n1;包层沿径向无限延伸,折射率为n2 光纤材料为线性、无损、各向同性的电 介质
§5-1 数学模型及波动方程的解 • 数学模型：阶跃折射率分布光纤(SIOF) 是一种理想的数学模型,即认为光纤是一 种无限大直园柱系统,芯区半径a,折射率 为n1;包层沿径向无限延伸,折射率为n2; 光纤材料为线性、无损、各向同性的电 介质
波导场方程与解的基本形式 六个场分量:E,E d,1z;1rylφy 波导场方程: E + 2|=0 ar- rOr ao 解的基本形式: E(r, )=F(r)elrp E(=,DE(:)+E(y)( H(r2,=,1)LH,(r,p)+H2(r,9)
波导场方程与解的基本形式 • 六个场分量：Er,Eφ,Ez,Hr,Hφ,Hz • 波导场方程： • 解的基本形式： ( ) 0 2 2 2 2 2 = + + + z z j H E r r r ( ) ( , ) ( , )ˆ ( , ) ( , )ˆ ( , , , ) ( , , , ) ( , ) ( ) j t z t z t z j z e H r H r z E r E r z H r z t E r z t E r F r e − + + = =
贝塞尔方程及其解 纵向场分量满足:贝塞尔方程 d F(r) dF(r) +(k2-B2)-2F(r)=0 k2=O2E;0=n2k2,t=1,2 贝塞尔方程的解 第一类和第二类贝塞尔函数:J,N 第一类和第二类汉克尔函数:H),H(2) 第一类和第二类变态汉克尔函数:I,K
贝塞尔方程及其解 • 纵向场分量满足：贝塞尔方程 • 贝塞尔方程的解： – 第一类和第二类贝塞尔函数：J , N – 第一类和第二类汉克尔函数：H (1) , H (2) – 第一类和第二类变态汉克尔函数：I , K , 1,2 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 2 0 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 = = = = + + − − k n k i F r r k rdr dF r dr d F r i i i i
场解的选取 依据: 导模场分布特点:在空间各点均为有限值;在 芯区为振荡形式,而在包层则为衰减形式;导模 场在无限远处趋于零 贝塞尔函数形式:J呈振荡形式,K则为衰减 形式。 本征解选取:在纤芯中选取贝赛尔函数J 在包层中选取变态汉克尔函数K
场解的选取 • 依据： – 导模场分布特点:在空间各点均为有限值; 在 芯区为振荡形式,而在包层则为衰减形式;导模 场在无限远处趋于零。 – 贝塞尔函数形式: J呈振荡形式, K则为衰减 形式。 • 本征解选取: 在纤芯中选取贝赛尔函数J, 在包层中选取变态汉克尔函数K
J0 K0 J1 K1
本征解的确定 纤芯(0a): C e H DI 横向分量:(5-1-15);(5-1-16)
本征解的确定 • 纤芯(0a)： • 横向分量：（5-1-15）；（5-1-16） j II z II z j I z I z e a Wr K D C H E e a U r J B A H E ( ) ( ) = =
本征值方程的导出 边界条件:在r=a,E2HEH连续 Ella=ela: AJU)-CK W=0 hla=hla: BJ(U)-DK,(W=0 Ea=E9a:(S-1-20) 4a=Hd:(5-120d) 确定待定系数ABCD有非全零解:ABCD 系数行列式为零,即可导出本征值方程
本征值方程的导出 • 边界条件：在r = a, Ez , Hz , E , H 连续 – EI z |a = EII z |a : AJ (U)-CK (W)=0 – HI z |a = HII z |a : BJ (U)-DK (W)=0 – EI |a = EII |a : (5-1-20c) – HI |a = HII |a : (5-1-20d) • 确定待定系数ABCD有非全零解：ABCD 系数行列式为零，即可导出本征值方程
本征值方程 JK,Vk2Jk2K、,2 + )=v2B2(n2+ UJ WK.UJ WK 又称特征方程,或色散方程。其中U与W通过 其定义式与β相联系,因此它实际是关于β的 个超越方程。当n1、n2、a和λa给定时,对 于不同的v值,可求得相应的β值。由于贝塞 尔函数及其导数具有周期振荡性质,所以本 征值方程可以有多个不同的解βv(v=0,1,2,3 μ=1,2,3.),每一个βv都对应于一个导模
本征值方程 –又称特征方程，或色散方程。其中U与W通过 其定义式与β相联系,因此它实际是关于β的 一个超越方程。当n1、n2、a和λ0给定时, 对 于不同的值,可求得相应的β值。由于贝塞 尔函数及其导数具有周期振荡性质, 所以本 征值方程可以有多个不同的解β(=0,1,2,3... =1,2,3...),每一个β都对应于一个导模。 2 2 2 2 2 2 ' 2 2 ' 1 ' ' ) 1 1 ( )( ) ( WK U W k K U J k J WK K U J J + + = +
归一化工作参数 归一化工作频率:p 2丌 0m1√24 ·归一化横向传播常数J=a√nk2-2 归一化横向衰减常数=aVB2-n2k2 有效折射率: ner=β/ko 归一化工作参数:b eff
归一化工作参数 • 归一化工作频率： • 归一化横向传播常数： • 归一化横向衰减常数： • 有效折射率： neff = /k0 • 归一化工作参数： = − = 2 2 0 1 2 2 2 1 0 V a n n k an 2 2 0 2 U = a n1 k − 2 0 2 2 2 W = a − n k 2 2 2 1 2 2 2 2 2 n n n n V W b eff − − = =