狭义相对论 第六章第 狭义相对论基本 洛仑兹变换 河北师范大学重点建设课程
第六章第二节 河北师范大学重点建设课程 狭义相对论基本原理 洛仑兹变换
§2狭义相对论的基本原理洛仑兹变换 基本原理(两个公理) 1相对性原理( relativity principle) 一切物理定律在所有的惯性系中都具有相同形题 -切惯性系都等价,不存在特殊的绝对的惯性系。 2光速不变原理 (principle of constancy of light velocity) 真空中光速相对任何惯性系沿任何一个方向大小恒为C 且与光源运动速度无关。c=299792458m/s (3)它否定了伽利略变换,即否定了经典时空观。(2)光的速 度大小与参照系无关,但方向在不同参照系中可以不同。() 光速数值不变,则不同参照系中时间、空间、尺度要发生关 系。 可回回回四
真空中光速相对任何惯性系沿任何一个方向大小恒为C， 且与光源运动速度无关。 一切物理定律在所有的惯性系中都具有相同形式； 一切惯性系都等价，不存在特殊的绝对的惯性系。 §2 狭义相对论的基本原理 洛仑兹变换 1 相对性原理（relativity principle） c = 299792458m/ s 2 光速不变原理 (principle of constancy of light velocity) 一 基本原理（两个公理） 核心 问题 ⑴ 它否定了伽利略变换，即否定了经典时空观。 ⑵ 光的速 度大小与参照系无关，但方向在不同参照系中可以不同。⑶ 光速数值不变，则不同参照系中时间、空间、尺度要发生关 系。 机动 目录 上页 下页 返回 结束
光速不变将导致同时的相对性 按经典理论,在一个参考系中同时发生的两件事 在另一系中仍为同时发生。但按相对论理论,同时 具有相对性,即在另一系中可能不同时发生。 ∑ 系观测 A与B同 A 收到光信 C B =2C… ∑系观测A 先收到光 ∑ ■■■■ A B C 鲁 可回回回四
光速不变将导致同时的相对性 按经典理论，在一个参考系中同时发生的两件事， 在另一系中仍为同时发生。但按相对论理论，同时 具有相对性，即在另一系中可能不同时发生。 Σ’ 系观测 A与B同时 收到光信 号 Σ系观测A 先收到光 信号 l = 2C A B v C C A B C C 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二问间隔不变性 1、事件 在无限小空间,无限小时间闻隱内发生的物质运动过程,称 件,一般用P来表示。在某一个参考系中可以表示为P(x乙以 (直角坐标系)。 2、经典理论的空间间隔(距离)与时间间隔 x2-x)+(12-y)2+(2-21)2=V(x2-x)2+(y2-y1)+(2-)22 3、相对论理论中定义时空间隔 考察光在真空中传播过程的发射和接收两件事P和Q光信号 ∑:(x2-x)+(2-y1)2+(=2-21)=c2(2-1)2 联系的 令s2=c(2-1)2-(2-x)+2-y)+(2-月]=0两事件 2 C -),s为不 变量 S=C 2-(x2-x)+(02-y:)+(2- 机动目录上页下页返
二 间隔不变性 1、事件 在无限小空间，无限小时间间隔内发生的物质运动过程，称 为事件。或说在某一时刻，某一空间上发生的某一事件称为事 件，一般用P来表示。在某一个参考系中可以表示为P(x,y,z,t) （直角坐标系）。 2、经典理论的空间间隔（距离）与时间间隔 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 (x − x ) + (y − y ) + (z − z ) = (x − x ) + (y − y ) + (z − z ) 2 1 2 1 t −t = t −t 3、相对论理论中定义时空间隔 考察光在真空中传播过程的发射和接收两件事P1和P2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 : x − x + y − y + z − z = c t − t ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 : x − x + y − y + z − z = c t −t ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 令 s = c t − t − x − x + y − y + z − z = ( ) ( ) ( ' ' ) ( ' ' ) 0 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 令 s = c t − t − x − x + y −y + z −z = 光信号 联系的 两事件 S 2为不 变量 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义时空间隔(间隔) 相对论时空理论的 个重要基本概念 s2=0两事件可用光信号联系 物理含义 s20两事件用小于光的信号联系(因果关系的必要条件) 4、间隔不变性 (1)时空基本属性的两条基本假设: ①空间均匀性选择时空任意一点作为坐标系的原点,任一 时间为起点都不应改变物理规律,即空间是平权的,没有特 殊点存在。 ②空间各向同性选择不同取向的坐标轴都不会影响物理规 律,即空间不存在一个特殊的方向,各方向都是平权的。 机动目录上页下页返回结束
( ) [( ) ( ) ( ) ] 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 s = c t −t − x − x + y − y + z − z 定义时空间隔（间隔）： s 2 0 两事件用小于光的信号联系（因果关系的必要条件） 0 2 s = 两事件可用光信号联系 0 2 s 两事件不能用光信号联系，可认为无因果关系 相对论时空理论的 一个重要基本概念， 它将时间与空间统 一起来，有深刻的 物理含义。 4、间隔不变性 ① 空间均匀性 选择时空任意一点作为坐标系的原点，任一 时间为起点都不应改变物理规律，即空间是平权的，没有特 殊点存在。 ② 空间各向同性 选择不同取向的坐标轴都不会影响物理规 律，即空间不存在一个特殊的方向，各方向都是平权的。 （1）时空基本属性的两条基本假设： 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2)两事件在不同参考系中的间隔为不变量 设Σ系两件事件间隔为S2,∑系中为S2,假定满足S2=AS2 由于时空各向同性,A只依赖于参照系相对运动速度的大小 而不依赖于方向,即:A=A(v)。由于时间空间是均匀的每 点都是平权的,则反变换应为:S2=A(-V)S2。因为相对 运动方向不会影响物理规律,所以A(v)=A(-V)。因此 S2=A()S2=A(v)A(-v)s2,可知A(v)与速度大小v也无关 考虑到恒等变换取A=1。由此得到s2=S",即间隔为一不变 意义:两事件的间隔与参照系的选择无关,是一个 不变量。它是光速不变原理的数学表示形式。 例:在∑系静止光源5发光,经Σ M反射后到S接收,设∑相对Σ 沿x轴正向运动,计算时间间隔6112011 与间隔
设Σ系两件事件间隔为S 2 ，Σ'系中为S' 2，假定满足S 2=A S' 2 （2）两事件在不同参考系中的间隔为不变量 由于时空各向同性，A只依赖于参照系相对运动速度的大小 而不依赖于方向，即：A=A(v)。由于时间空间是均匀的每 个点都是平权的，则反变换应为：S‘ 2=A(-v)S2 。 因为相对 运动方 向不会 影响 物理规 律， 所以A(v)=A(-v)。因此 S 2=A(v)S’ 2=A(v)A(-v)S2 ，可知A(v)与速度大小v也无关。 考虑到恒等变换取A=1。由此得到S 2=S' 2 ，即间隔为一不变 量。 意义：两事件的间隔与参照系的选择无关，是一个 不变量。它是光速不变原理的数学表示形式。 例：在系静止光源S发光，经 M反射后到S接收，设相对 沿x轴正向运动，计算时间间隔 与间隔。 0 l S S vt 0 l 机动 目录 上页 下页 返回 结束
三(特殊)洛伦兹变换( Lorentz transformation) 特殊变换关系导出的条件 ∑十Y,Y 事件P在不同惯性系之间的变换 ②设两系重合时原点上各自时钟均指零m ③Σ沿Σ的正方向以速度运动 ④变化必须是线性的 ⑤满足两个基本假设 质点速率远小于真空中的光速,确定常数an(产=14 新时空变换能退化到伽利略变换 1)在yz方向没有相对 x=a1x+a2y+ax13+a14t运动所以yy,z=z y=a2nx+a2y)+a232+a24a1=a2=a1-=421 z=a31x+a32y+32+34t 0. C =a4x+ay+a2+a4口四
三 （特殊）洛伦兹变换(Lorentz transformation) 特殊变换关系导出的条件 ⑤满足两个基本假设 ⑥质点速率远小于真空中的光速， 新时空变换能退化到伽利略变换 ④变化必须是线性的 ①事件P在不同惯性系之间的变换。 ②设两系重合时原点上各自时钟均指零 ③沿的正方向以速度V运动 t x y z t z x y z t y x y z t x x y z t 4 1 4 2 4 3 4 4 3 1 3 2 3 3 3 4 2 1 2 2 2 3 2 4 1 1 1 2 1 3 1 4 ' ' ' = + + + = + + + = + + + = + + + 确定常数 (i、j=1—4) ij (1)在Y、Z 方向没有相对 运动所以 y'= y，z'=z 0, 1 34 22 33 21 23 24 31 32 = = = = = = = = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 O Z X Y O' Z' Y' v P (x,y,z) r r m X
(2)考虑Σ系中Y轴上任一点m(0,y,0,t') 在t时,Σ系m(x=vt,y0,t)有 x=ax+a,t 0=a1vt+a1y意 V=y ax2=0a14 同理:a13=a42=a43=0 t= Cx + at 3)考虑间隔不变性 a12 2=1② ct2-(x2+y2+22)= a,2-c2a=-c2③ ct2-(x2+y2+z2) 4144 14 0④ y-y,2-2 c12-x2=c(a4x+a41)-(1x+a1 C 2=1(1-y2/c2)a21=(v2/c)/(1-y2/c2 44
（2）考虑系中Y轴上任一点m（0，y ，0，t '） （3）考虑间隔不变性 ' ( ' ' ' ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c t x y z c t x y z − + + − + + = 1 2 14 2 2 11 − c = ② 2 44 2 2 14 − c = −c ③ 41 44 11 14 0 2 c − = ④ 同理： 在t 时，系m(x = v t , y, 0, t ),有 vt 因 y y 任意 t 0 =11 +12 +14 0 12 = 14 = −11 0 13 = 42 = 43 = ① t x t z z y y x x t 41 44 11 14 ' ' ' ' = + = = = + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1/(1 / ) ( / )/(1 / ) 2 4 2 2 4 1 2 2 2 2 4 4 2 1 1 = = − v c = v c − v c ( ) ( ) 2 1 1 1 4 2 4 1 4 4 2 2 2 2 c t − x = c x + t − x + t y' = y, z' = z
(4)考虑ν→>0与伽利略变化一致 a1→1,a4→-1a1=a1=1/y1-2/c,a4=-v/-y12 x-yt t-vx/c x y=y v/C vC 洛伦兹正变换 x'+yt t'+v/c y=y Z=Z 2 1-y2/c 1-/c 洛伦兹逆变换 四关于洛伦兹变换的分析与讨论 (1)它为两个不同惯性系中的时空坐标的变换关系,是相对论 时空观的具体数学表达式。 反映空间、时间测量相互影响,相互制约。-相对论时空观 机动目录
（4）考虑v→ 0 与伽利略变化一致 → → −v 11 14 1, 2 2 14 2 2 11 44 = =1/ 1−v / c , = −v / 1−v / c 2 2 1 v / c x v t x − − = 2 2 2 1 / ' v c t v x c t − − = y' = y z' = z 洛伦兹正变换 2 2 1 / ' t' v c x v x − + = 2 2 2 1 / ' x' v c t v c t − + = y = y' z = z' 洛伦兹逆变换 四 关于洛伦兹变换的分析与讨论 反映空间、时间测量相互影响，相互制约。--- 相对论时空观 （1）它为两个不同惯性系中的时空坐标的变换关系，是相对论 时空观的具体数学表达式。 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2)Σ沿Σ正向以速度v运动,两系原点重合时两系时钟均指零 (3)当1c√1-y2/c2→虚数(洛伦兹变换失去意义) 结论:任何物体的运动都不会超过光速(相对于某一参考系) 注意:不排除超光速现象(B)分离速度 (A)视速度 0.6c 0.8c u>C l=0.8c-(-06c)=14c 机动目录上页下页返
（4）光速是各种物体运动的一个极限速度 v c 1−v 2 / c 2 虚数（洛伦兹变换失去意义） 结论：任何物体的运动都不会超过光速（相对于某一参考系） （3）当 v c 洛伦兹变换简化为伽利略变换式 2 2 1 / ' v c x vt x − − = x' = x −vt t' = t 结论：在低速情况下，相对论时空观可由绝对时空观替代 （2）沿正向以速度V运动，两系原点重合时两系时钟均指零 注意：不排除超光速现象 0.6c 0.8c x y u = 0.8c −(−0.6c) =1.4c （A）视速度 （B）分离速度 u c l 机动 目录 上页 下页 返回 结束