第二第六节
第二章第六节 河北师范大学重点建设课程 电多极矩
§2.6电多极矩 主要内容 电势的多极展开 二、电多极矩 三、电荷体系在外电场中 的能量(相互作用能)
§2.6 电多极矩 二、电多极矩 一、电势的多极展开 三、电荷体系在外电场中 的能量(相互作用能) 主要内容 机动 目录 上页 下页 返回 结束
、电势的多极展开 小区域电荷分布 若已知D(x),原则上可通过 0(x)= plr)dv 求电势。 47E 般若体电荷分布不均匀或 区域不规则,积分十分困难 O (用计算机可数值求解)。 p(x') 但是在许多实际情况中,电 荷分布区域的线度远小于该区 域到场点的距离,可以近似处r≈R→1NQ 理,解析求解。条件l<<r。 4丌E0R ⑨回恩
一、电势的多极展开 1. 小区域电荷分布 0 ( ) ( ) 4 x dV x r = (x ) 若已知 ，原则上可通过 求电势。 一般若体电荷分布不均匀或 区域不规则，积分十分困难 （用计算机可数值求解）。 但是在许多实际情况中，电 荷分布区域的线度远小于该区 域到场点的距离，可以近似处 理，解析求解。条件 l r 。 r R R Q x 0 4 ( ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P r x x O l ( ) x
2.的麦克劳林展开 1)一元函数的麦克劳林展开式(在坐标原点展开) I df(o) f(x)=f(0)+ 1cf2(0)2 X+ 1! 2!dx2 (2)三元函数的麦克劳林展开 f(x)=f(x1,x2,x) f(0,0.0)+(x1 of(0,0,0),af(0.0,0)..af(0,0,0) +x +,[x2(00)202f(0.0.0) 2O2f(0,0,0 +x3 ax a-f a-f +2x12 Ox,Ox2 +2x,x +2xx ,x Cn. ax oleosol
= + + 2 2 + 2 (0) 2! (0) 1 1! 1 ( ) (0) x dx df x dx df f x f (1) 一元函数的麦克劳林展开式（在坐标原点展开） (2) 三元函数的麦克劳林展开 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( ) ( , , ) 1 (0,0,0) (0,0,0) (0,0,0) (0,0,0) ( ) 1! f x f x x x f f f f x x x x x x = = + + + 2. 的麦克劳林展开 r 1 222 222 1 2 3 1 2 3 2 2 2 1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 3 1 (0,0,0) (0,0,0) (0,0,0) [ 2 ! 2 2 2 ] fff xxx x x x f f f x x x x x x x x x x x x + + + + + + + 机动 目录 上页 下页 返回 结束
f()+元,(x 2 x ax 3 )f(0) 2 +o孓 x 2 x 3 )2f(0) 2 f(O)+∑xf(0)+∑x f(0)+ O.OX =f(0)+(.V)f(0)+(x.V)2f(0)+ 2 (3)将在元=0点展开 f(x-x),x=0, r x-x R f(x-x=f(r)+(x'V)f(r)+-(x'v)f()+ ⑨回恩
1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 1 2 3 1 (0) ( ) (0) 1! 1 ( ) (0) 2 ! f x x x f x x x x x x f x x x = + + + + + + + = + + ( ) (0) + 2 1 (0) ( ) (0) 2 f x f x f (3) 将 r 1 x = 0 在 点展开 1 1 1 1 f x x x ( ), 0, r x x r R = = − = = − − = + + ( ) ( ) + 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 f x x f x x f x x f x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 2 1 1 (0) (0) (0) 2 i i j i ij i i j f x f x x f x x x = = + + +
(x'.V)-+2(x' V) rR 2 x=0 (xV)+(xV)2+… R R 2 R (x′V)+(x2x:VV)+ R R 2 R 其中(V V V ,dd:bb=(d·b)2) x=0 x=0 R 3小区城电荷分布产生的电势m(=M 兀EnF P(x) (x”)[-xV+x:VV+…l 4丌 R r 2 R
0 ( ) ( ) 4 x dV x r = 2 0 0 1 1 1 1 1 ( ) ( ) x x 2 x x r R r r = = = + + + 1 1 1 1 2 ( ) ( ) 2 x x R R R = − + + 1 1 1 1 ( ) ( : ) 2 x x x R R R = − + + 0 0 1 1 1 ( , x x r r R = = = − = − 2 其中 aa bb a b : ( ) ) = 3. 小区域电荷分布产生的电势 = − + + V dV R x x R x R x x ] 1 : 2 1 1 1 ( )[ 4 1 ( ) 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束
0(3)24x(x xV+x3’:VV+…]d R r 2 R 电偶极矩矢量 Q=,p(x)/ip=」,p(x)xa assssRnsSRRE D=13元x(xd!电四极矩张量 s…………………… D=∫3x)hi=1-3,/=1-3 P(x) pV÷+ D: VV+ 4丌E∩R4兀Eo r 4T8 6 R (2) =0+0+2+
D x x x dV V = 3 ( ) D = 3x x (x )dr i = 1− 3, j = 1− 3 i j i j 0 0 0 1 1 1 1 1 ( ) : 4 4 4 6 Q x p D R R R = − + + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (0) (1) (2) = + + + = − + + V dV R x x R x R x x ] 1 : 2 1 1 1 ( )[ 4 1 ( ) 0 ( ) V Q x dV = ( ) V p x x dV = 电四极矩张量 电偶极矩矢量
二、电多极矩 等效于坐标原点点电 荷产生的电势。因此小 1展开式的物理意义电荷体系在电荷分布区 外产生的电势在零级近 (0) 似下可视为将电荷集中 4兀80 R 于原点处产生的电势。 R R p·(-m) 4丌6R 4兀80 r 4TER 等效电偶极矩P产生的电势。最简单的体系为 两个点电荷产生的电势
二、电多极矩 1. 展开式的物理意义 R Q 0 (0) 4 = 等效于坐标原点点电 荷产生的电势。因此小 电荷体系在电荷分布区 外产生的电势在零级近 似下可视为将电荷集中 于原点处产生的电势。 3 0 3 0 0 (1) 4 ( ) 4 1 1 4 1 R p R R R p R p = − = − − = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 等效电偶极矩 产生的电势。最简单的体系为 两个点电荷产生的电势。 p
2) 021 D: VV 4兀E6 R4丌E6 ∑ ax ax. R D: VVF2D,e, e, 2o.ar., ∑D∑ ∑ ki Ok Ox, oxOX q(2等效为体系电四极矩张量产生的电势。最简 单的体系为坐标原点附近(+,-,+,-)四个点 电荷产生的电势
= = i j i j i j x x R D R D 1 6 1 4 1 1 : 6 1 4 1 2 0 0 (2) = = = i j kl i j i j j k i l i j k l i j i j kl k l k l i j i j x x D x x D e e x x D D e e 2 2 2 : : 等效为体系电四极矩张量产生的电势。最简 单的体系为坐标原点附近（+，-，+，-）四个点 电荷产生的电势 (2) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.电四极矩张量D=35′(x)d 有9个分量D=J3xxp(x)d D=D.(≠)电四极矩有6个不同分量 重新定义:D=「(3-R2)(x)d 它不改变1,D1+D2+D23=0只有5个独立分量 证明:g2) Ⅱ|35m(x')dV"]:VV 4n506 R 3x'x'p(n)dv:VV -<: VV p(@)dv] 4706 R R 4m6小(3-R21)p(mD1=v21=0(R≠0) R R
2. 电四极矩张量 D x x x dV V = 3 ( ) D = x x − R l x dV (3 ) ( ) 2 重新定义： R x x x dV 1 [ 3 ( ) ]: 6 1 4 1 0 (2) = *证明： R x x R l x dV x dV R R l R x x x dV 1 [ (3 ) ( ) ]: 6 1 4 1 ( ) ] 1 : 1 [ 3 ( ) : 6 1 4 1 2 0 2 0 = − = − (2) 它不改变 ， D11 + D22 + D33 = 0 只有5个独立分量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有9个分量 D = x x x dV i j i j 3 ( ) Dij = Dji (i j) 电四极矩有6个不同分量 0 ( 0) 2 1 = = R R
