元论仑怎 河北师范大学重点建设课程
第零章第二节 河北师范大学重点建设课程 矢量场论复习
§2矢量场论复习 、场的概念 描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或 说:若在一定空间中的每一点,都对应着某个物理 量的确定值,就说在这空间中确定了该物理的场。 如:强度场、速度场、引力场、电磁场。 场用一个空间和时间标量场(x,y=,)=0(x,) 坐标的函数来描述:矢量场A(xy=,1)=A(x,) ■稳恒场(稳定场、静场):场与时间无关 ■变化场(时变场):场函数与时间有关
一、场的概念 §2 矢量场论复习 ( , , , ) ( , ) ( , , , ) ( , ) x y z t x t A x y z t A x t = = 标量场 矢量场 描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或 说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理 量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。 如：强度场、速度场、引力场、电磁场。 场用一个空间和时间 坐标的函数来描述： 稳恒场（稳定场、静场）：场与时间无关 变化场（时变场）：场函数与时间有关
■已知场函数的梯度、散度、旋度可以确定场函数, 这是电动力学求解电磁场的主要方法。 ■已知场函数可以了解场的各种性质:随时空的变 化关系(梯、散、旋度)。 、标量场的梯度 在空间任意靠近两点函数的全微分在空间某点的任意 00d 方向上,导数有无 do ox dy oq d= 穷多个,其中有 个值最大,这个方 VdC向导数的最大值定 Ox a az 义为梯度: dl=dxe +dye, +dze do 4 p.e=Vplcos e grado=Vo
已知场函数可以了解场的各种性质：随时空的变 化关系（梯、散、旋度）。 已知场函数的梯度、散度、旋度可以确定场函数， 这是电动力学求解电磁场的主要方法。 二、标量场的梯度 d dx dy dz x y z = + + x y z d dxe dye dze = + + x y z d e e e d d x y z = + + = 在空间任意靠近两点函数 的全微分 l d e d = = cos 在空间某点的任意 方向上，导数有无 穷多个，其中有一 个值最大，这个方 向导数的最大值定 义为梯度： grad =
梯度的意义:空间某点标量场函数的最大变化率 ,刻画了标量场的空间分布特征 已知梯度即可求出沿任一方向的方向导数。 等值面:q(x)=常数的曲面称为等值面。 梯度与等值面的关系:梯度与等值面垂直。 三、矢量微分算子 既具有矢量性质, 又具有微分性质 ax az 9=e az 注意:Vq≠qV 它可以作用在矢量上,可以作点乘、叉乘
梯度的意义：空间某点标量场函数的最大变化率 ，刻画了标量场的空间分布特征 等值面： ( ) x = 常数的曲面称为等值面。 梯度与等值面的关系：梯度与等值面垂直。 已知梯度即可求出沿任一方向的方向导数。 三、矢量微分算子 既具有矢量性质， e e e x y z 又具有微分性质 x y z = + + x y z e e e x y z = + + 注意： 它可以作用在矢量上，可以作点乘、叉乘
OA 0A 0A V·A +e.-+e a te a te A Ox ' az VXA=0/aA 0A ∝(n aA. a az ax 例1:Vr=?r==(x-x)+(y-y)+(=-3 解: ar 1 1 x-x ar ar 2(x-x’) Ox 2 y z X-X V e
( ) y x z x y z x x y y z z A A A A e e e e A e A e A x y z x y z = + + + + = + + y y z z x x x y z A A A A A A A e e e y z z x x y = − + − + − x y z x y z e e e x y z A A A = 1 1 2( ) 2 r x x x x x r r − = − = 解： , r y y r z z y r z r − − = = x y z x x y y z z r r e e e r r r r − − − = + + = ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 r r x x y y z z = = − + − + − 例1 ： r = ？ rr r =
例2:V(qv)=? 解: a(u) ay ao 0 a(u) ou x oy p a(u ay a az az V(0)= +e te 0+ +已 oVy+Voy Oy az az V(o)=oVy+yo
解： ( ) x x x = + ( ) y y y = + ( ) z z z = + ( ) x y z x y z e e e e e e x y z x y z = + + + + + = + 例 2 ： ( ) = ？ ( ) = +
四、高斯定理与矢量场的散度凹 在矢量场中对于给定的一点,有一个方向,它 ■矢量族沿某一曲线的切线方向,这条曲线形成一条矢 量线,又叫场线(对静电场称为电力线),无 穷多条这样的曲线构成一个矢量族。 ■矢量场的通量 面元ds的通量:c=Ad 有限面积S的通量④=A Φ>0有源 闭合曲面的通量Φ=A.d{中=0无源 0负源 意义:用来描述空间某一范围内场的发散或会聚,它只具 有局域性质,不能反映空间一点的情况
四、高斯定理与矢量场的散度 矢量族 在矢量场中对于给定的一点，有一个方向，它 沿某一曲线的切线方向，这条曲线形成一条矢 量线，又叫场线（对静电场称为电力线），无 穷多条这样的曲线构成一个矢量族。 矢量场的通量 面元 ds 的通量： d A ds = 有限面积 S 的通量 S = A ds 意义：用来描述空间某一范围内场的发散或会聚，它只具 有局域性质，不能反映空间一点的情况。 0 0 0 = 有源 无源 负源 闭合曲面的通量 = s A dS
斯公式 A·d=V.Aa aA OA,aA dxdydz oX 矢量场的散度 缩小到一点∮A△S=(V.△ V.A>0该点有源 S V.A=0该点无源 V·A=lim △→>0△ V·A<0该点为负源 若空间各点处处V·A=0则称A为无源场
高斯公式 x y z S V V A A A A ds AdV dxdydz x y z = = + + 矢量场的散度 缩小到一点 若空间各点处处 = A 0 则称 A 为无源场。 = 0 0 0 A A A 该点有源 该点无源 V 该点为负源 A dS A S V = → 0 lim A dS A V S = ( )
例子: ■求V,7=(x-2)2+(y-)1+(2=) V·F 求V (r≠0) X-X V X-X y-y +(x-x y=y
例子： 3 x r x = − = 求 ( ) ( ) ( ) x y z r r x x e y y e z z e = − + − + − 求 3 r r ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 r x x y y z z r( 0) = − + − + − 3 3 3 3 r x x y y z z r x r y r z r − − − = + + ( ) ( ) 3 4 4 3 3 3 0 x x y y x x y y r r r r r − − = + − − + − − + =
证明V()=0+V 证 (4)+(04,)+( Q(1 o4+04+a4 00 00 a+-la+ A 02 -PV. A+V. A
证明 = + ( A A A ) ( ) ( ) ( ) ( ) A A A A x y z x y z = + + x y z x y z A A A A A A x y z x y z = + + + + + = + A A 证：