河北师范大学：《电动力学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 静电场（2.5）格林函数方法

§2.5格林函数方法 内容提要 、点电荷密度的S函数表示 格林函数 三、用格林函数求解一般的边值问题 s°e8

§2.5 格林函数方法 三、用格林函数求解一般的边值问题 一、点电荷密度的  函数表示 二、格林函数 内容提要 机动 目录 上页 下页 返回 结束

本节内容不作考试要求。格林函数方法在求解静电场的 某些问题中非常有用,而且在理论物理的研究中是很重 要的工具。 本节仅研究泊松方程解的格林函数方法。它与点电荷解 的边值相关,但可以解静电学的许多边值问题。 设V内电荷分布p已知, ①给定V边界S上的各点电势os 第一边值问题 ②或给定边界S上法向分量 第二边值问题 O 求V内各点电势值。 页返回结束

 本节仅研究泊松方程解的格林函数方法。它与点电荷解 的边值相关，但可以解静电学的许多边值问题。 设V内电荷分布 已知， —— 第一边值问题 S  n S  ① 给定V边界S上的各点电势 ② 或给定边界S上法向分量 —— 第二边值问题 求V内各点电势值。 本节内容不作考试要求。格林函数方法在求解静电场的 某些问题中非常有用，而且在理论物理的研究中是很重 要的工具。 机动 目录 上页 下页 返回 结束

点电荷密度的δ函数表示 1.处于x点上的单位点电荷的密度 p(x)=(x-x)[一般p(￥)=Q(x-x) p(x=(x=F)d=1(x∈) 2.常用公式 f(x)(x-x)玩=f(x)(x"∈) 点电荷的泊松方程:设电势为 V2v'(x)=-6(x-x 页返回结束

一、点电荷密度的  函数表示 (x ) = (x − x )      (x)dx (x x )dV 1 (x V) V V = −  =          f (x) (x x )dx f (x ) (x V) V  −  =          x   1. 处于 点上的单位点电荷的密度 (x ) = Q (x − x )    [一般   ] 2．常用公式 点电荷的泊松方程：设电势为  ( ) ( ) 0 2 x x Q   x = − −        机动 目录 上页 下页 返回 结束

单位点电荷产生的电势 Vv(x)=、d(x-x) E 空间区域V上的边界条件 vs=0或=常数 an 页返回结束

0 2 ( ) ( )    x x x −    = −    单位点电荷产生的电势 空间区域V上的边界条件 = 0 S  =   n S  或 常数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.格林函数G(x,x 对于静电场的点电荷问题 y'(x)=G(x,x)称为静电场的格林函数 VG(x,x)=-0(x=x) (G(x,x)=0或 常数) an V2只对x微商。 格林函数的对称性G(x,x)≡G(x",x)(偶函数) 页返回结束

G(x, x ) G(x , x)     格林函数的对称性    （偶函数） (x) = G(x, x )     对于静电场的点电荷问题 称为静电场的格林函数 0 2 ( ) ( , )   x x G x x −    = −     （ ( , ) = 0 S G x x   =    n S G(x, x )   或 常数） 2  x  只对 微商。 G(x, x )   2. 格林函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(1)无界空间中的格林函数 元上单位点电荷在无穷空间中激发的电势 V(x=G(,, x= 4z5√(x-x)2+(y-y)2+(=-=2) 元到x的距离 r=√(x-x2)2+(y-y)2+(x-z)2 球坐标中 4x6r460x-x1 (偶函数) -4r(x G(,x) 显然满足点电荷泊松方程

x  上单位点电荷在无穷空间中激发的电势  2 2 2 0 ( ) ( ) ( ) 1 4 1 ( ) ( , ) x x y y z z x G x x −  + −  + −  =  =       2 2 2 r = (x − x ) + (y − y ) + (z − z ) （1）无界空间中的格林函数 x  到 的距离  x  r x x G x x −   = =     0 4 0 1 4 1 ( , )     球坐标中 （偶函数） 4 ( ) ( , ) 2 1 x x G x x r  = − −         显然满足点电荷泊松方程。 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(2)上半空间的格林函数 y(x=G(x,x) 4元Er (x-x)2+(y-y)2+( (x-x)2+(y-y)2+(二+z) (3)球外空间的格林函数 设点电荷Q=1坐标为P(x,y,z) 观察点为P(x,y,z) R=|=√x2+y2+z2 R′=x x2+12-/2 R0<R(R相当于题中的a)

（2）上半空间的格林函数 0 1 1 1 ( ) ( , ) [ ] 4 x G x x r r   = = −   2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r x x y y z z r x x y y z z  = − + − + −           = − + − + + （3）球外空间的格林函数 设点电荷Q = 1 坐标为 P(x  , y  ,z ) 观察点为 P(x, y,z) 2 2 2 R = x = x + y + z  2 2 2 R = x  = x  + y  + z   R  R 0 （ R 相当于题中的 a ） 机动 目录 上页 下页 返回 结束

PP=r=Ix-x=VR2+R'2-2RR' cos a 2 设假想点电荷在P”,它的坐标为 R (它在OP′连线上,题中b对应这里的A) R2+ R R R →R R′ a R G(,x=y(x) 4xE。√R2+R2-2 RR'cosa RR +Ro a R cos a=cos 0 cos 0+sin Osin 0 cos(o-o) 机动目录 下页返回结束

2 cos 2 2 PP = r = x − x  = R + R − RR   P x R R    2 2 设假想点电荷在 ，它的坐标为 0 OP R R  2 （它在 连线上，题中 0 b对应这里的 ） 2 cos 2 2 0 2 4 2 0 2 2 0 R R R R R x R R R P P r x  −   = +   =  = −   1 ( ) 2 0 2 0 0 0 R R R a R b R R R R Q Q Q  =   =  = −  ∵ =  = − 2 2 0 1 1 ( , ) ( ) [ 4 2 cos G x x x R R RR     = = + −   2 2 0 0 1 ] ( ) 2 cos RR R RR R  −  + −  cos = cos cos + sin  sin cos( −) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、用格林函数求解一般的边值问题 1.第一类边值问题求解的格林方法 (1)V内有电荷分布p(x),q给定,求V内 q(x)。满足V2q (真空情况) 相应格林函数问题:V内x点上有单位点电荷, 边界上G(x,x)=0解为v(x)=G(x,x (2)二者的联系由格林第二公式给出 00 -0v)d=4(o-Vv):dS=+(x-0)S 设φ满足泊松方程,为V内电势

三、用格林函数求解一般的边值问题 x   相应格林函数问题：V内 点上有单位点电荷， (x)   S  (x)   0 2     = − ， 给定，求V内 。满足 （真空情况） ( , ) = 0 S G x x   (x) = G(x, x )    边界上 解为  1. 第一类边值问题求解的格林方法 （1）V内有电荷分布 （2）二者的联系由格林第二公式给出      −    −  =  −   = V S S dS n n ( )dV ( ) dS ( ) 2 2              设 满足泊松方程，为V内电势 机动 目录 上页 下页 返回 结束

p(x V"(x) (为讨论方便x与元互换) V为格林函数G(x’,)V2G 5( GGx’,x)V"q(x)-q(x)V2G(x’,x) 乐[G(x’,) ao(x On 9(G(x’x)1dS On G(,xv(xdv G(x’,x)p(x)dl m(vG(x,xM1、1 P(xS('-xav e p(r) G(', x)=0 机动 页返回结束

0 2 ( ) ( )    x x    = −   x   x  （为讨论方便 与 互换）  G(x , x)    0 2 ( , )   x x G    为格林函数  = − dS n G x x x n x G x x G x x x x G x x dV S V      −      =     −       ] ( , ) ( ) ( ) [ ( , ) [ ( , ) ( ) ( ) ( , )] 2 2                           = −     =   −  =     = −        ( , ) 0 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( , ) ( , ) ( ) 1 ( , ) ( ) 0 0 2 0 2 S V V V V G x x x G x x dV x x x dV x G x x x dV G x x x dV                         机动 目录 上页 下页 返回 结束