河北师范大学：《电动力学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 电磁波的辐射（5.2）推迟势

第五章第二予 飞心y 点建设课程

第五章第二节 河北师范大学重点建设课程 推 迟 势

§5.2推迟势 本节讨论空间存在电荷和电流分布情况 下达朗贝尔方程的解。 标势和矢势的达朗伯方程的解 标势方程中=p(x1)为已知。若p(x,1)较 复杂,直接得到一般解比较困难。本节先从 一个点电荷出发,然后由迭加原理得到解

§5.2 推迟势 标势方程中 为已知。若 较 复杂，直接得到一般解比较困难。本节先从 一个点电荷出发，然后由迭加原理得到解。 (x,t)   =  (x,t)   本节讨论空间存在电荷和电流分布情况 下达朗贝尔方程的解。 一. 标势和矢势的达朗伯方程的解 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1.点电荷在空间激发的标势 设点电荷处于原点,p(x,)=Q((x),考虑对称性 取球坐标且=0(,)与,p无关。标势的达朗贝 尔方程化为 a @(to(r) 大 Or c at 0 当厂≠0时,1a2 a=0 2 C 2 令(r,1) u(r, t) 2 0 2 ar- c at

设点电荷处于原点， ，考虑对称性 取球坐标且 与 无关。标势的达朗贝 尔方程化为： (x,t) Q(t) (x)    =   = (r,t) ,  当 r  0 时， 2 2 2 2 1 1 ( ) 0 r r r r c t      − =    机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 点电荷在空间激发的标势 2 2 2 2 2 0 1 1 ( ) ( ) ( ) Q t r r r c t r r        − = −    ＊ r u r t r t ( , ) ( , ) = 2 2 2 2 2 1 0 u u r c t   − =   令

这个类似于一维波动方程的解可以表示为:(r≠0) v(r,)=(t--)+g(+-)o(r) f(t-/c,8(t+/) C 代表向外传播的球面波 由于讨论 辐射问题 g(+)代表向内收敛的球面波 g(t+-)=0 C Q(L 与点电荷电势类比有:(r,D)= 4兀Eor O(x',t 若点电荷不在原点而在空间x点:q(x,)= 4 兀0r 可以证明上述解的形式满足*式 o 机动目录上页下页返回结束

机动 目录 上页 下页 返回 结束 r c r f (t − ) r c r g(t + ) 代表向外传播的球面波 代表向内收敛的球面波 这个类似于一维波动方程的解可以表示为： ( , ) ( ) ( ) c r g t c r u r t = f t − + + r c r g t r c r f t r t ( ) ( ) ( , ) + + −  = (r  0) 与点电荷电势类比有： r c r Q t r t 0 4 ( ) ( , )    − = ( + ) = 0 c r g t 由于讨论 辐射问题 若点电荷不在原点而在空间 x  点： r c r Q x t x t 0 4 ( , ) ( , )     − =   可以证明上述解的形式满足＊式

2.连续电荷分布在空间产生的电势 0(x,1) 4Eor 3.矢势A的解 由于A满足的方程形式上与q满足的方程一样, 类比得到的解: A(x)=20 J(x’,t 4丌V

机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 连续电荷分布在空间产生的电势 0 ( , ) ( , ) V 4 r x t c x t dV r     − =   3. 矢势 A 的解  dV r c r J x t A x t V   − =  ( , ) 4 ( , ) 0       由于 满足的方程形式上与 满足的方程一样， 类比得到 的解： A  A  

证明q、A满足洛仑兹条件V·A+ =0 at 证:令t=t t'(t,x,x)vA 1(0 4丌 4x丌 ∫[V./(x,)+(x,v V·J(x,t)= a(', t') Vt 1a/(x,t) 1a/(x,t) V'r at c at c at V′·J(x,t)=V·J(x,t aJ(x,t vt Vr=-vr aJ( x’,t) V′·J(x cc at V·J(x’,t)=V′·J(x’,t V′·J(x,t) C o 机动目录上页下页返回结束

二.证明 、 A 满足洛仑兹条件   2 1 A 0 c t   + =  证：令 ( , , ) r t t t t x x c    = − =  = A dV r J x t V       ( , ) 4 0     0 1 1 [ ( , ) ( , ) ] 4 J x t J x t dV r r   =  +        机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( , ) 1 ( , ) 1 ( , ) ( , ) J x t J x t J x t J x t t r r t c t c t           =  = −  =             = − r r  ( , ) ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) t c t c J x t J x t J x t t t J x t J x t r c t = =      =   +               =   −        J (x ,t ) J (x ,t ) J (x ,t ) t c    =    −    =      

V·A= 4丌 V’·J(x,1)+J(x,t')V-d t=c V’.j(x,D)a J(, t) J(r, t) ds=o 4兀 s r It=C I ap(x', t)a dp(x 2 at 4 2 兀EnC at at 4丌Jrt V+c=均(vy.(x dp(x',t 2at4丌 id"=0 t=c 电荷守恒定律

 A =          =  J x t dV r t c ( , ) 1 4 0         −   +    dV  r J x t J x t r ] 1 ( , ) ( , ) 1 [     机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 1 ( , ) 4 t c J x t dV r   = =      J x t ( , ) dV r      ( , ) 0 S J x t dS r  =  =  2 2 0 1 1 1 ( , ) 4 V x t t dV c c t r t t          =       0 1 ( , ) 4 V x t dV r t       =     =     + c t A  2  1 0 1 ( , ) [ ( , ) ] 0 4 t c x t J x t dV r t    =      + =         0 电荷守恒定律

推迟势及其物理意义 1.推迟势 势函数在空间无点,t时刻的值依赖于-时刻 的电荷、电流分布,即空间势的建立与场源相比 推迟了。具有这样特性的势称为推迟势 2.电磁相互作用需要时间 空间点元,t时刻的电磁场由t-7时刻的电 荷、电流分布决定。也就是说电荷、龟流产生的 物理作用在经历了时间t+7/后才到达观察点, 即场的建立需要时间,而相互作用的传播速度在 真空中为C

1．推迟势 势函数在空间 点， 时刻的值依赖于 时刻 的电荷、电流分布，即空间势的建立与场源相比 推迟了 。具有这样特性的势称为推迟势。 x  t c r t − c r 空间点 ， 时刻的电磁场由 时刻的电 荷、电流分布决定。也就是说电荷、电流产生的 物理作用在经历了时间 后才到达观察点， 即场的建立需要时间，而相互作用的传播速度在 真空中为C。 c r t + x  t c r t − 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三．推迟势及其物理意义 2．电磁相互作用需要时间