镜象去 河北师范大学重点建设课程
第二章第四节 河北师范大学重点建设课程 镜 象 法
§2.4镜象法 重点掌握: 1、镜象法的基本概念 2、求解电势的基本方法
§2.4 镜 象 法 重点掌握： 1、镜象法的基本概念 2、求解电势的基本方法 机动 目录 上页 下页 返回 结束
、电象法的概念和适用条件 1.求解泊松方程的难度 Q 般静电问题可以通过求 解泊松方程或拉普拉斯方程 得到电场。但是,在许多情 况下非常困难。例如,对于 介质中、导体外存在点电荷2.以唯一性定理为依据 的情况虽然可以采用叠加法在唯一性定理保证下,采 求解,但是求解比较困难。用试探解,只要保证解满足泊 求解的困难主要是介质分界松方程及边界条件即是正确解 特别是对于只有几个自由 面或导体表面上的电荷一般点电荷时,可以将导体面上感 非均匀分布的,造成电场缺应电荷分布等效地看作一个或 乏对称性。 几个点电荷来给出尝试解
1. 求解泊松方程的难度 一、电象法的概念和适用条件 一般静电问题可以通过求 解泊松方程或拉普拉斯方程 得到电场。但是，在许多情 况下非常困难。例如，对于 介质中、导体外存在点电荷 的情况虽然可以采用叠加法 求解，但是求解比较困难。 求解的困难主要是介质分界 面或导体表面上的电荷一般 非均匀分布的，造成电场缺 乏对称性。 Q Q 2. 以唯一性定理为依据 在唯一性定理保证下，采 用试探解，只要保证解满足泊 松方程及边界条件即是正确解。 特别是对于只有几个自由 点电荷时，可以将导体面上感 应电荷分布等效地看作一个或 几个点电荷来给出尝试解。 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3.电象法概念、适用情况 电象法: 适用情况: 用假想点电荷来等效地a)所求区域有少许几个点电荷 代替导体边界面上的面 它产生的感应电荷一般可以 用假想点电荷代替。 电荷分布,然后用空间b)导体边界面形状比较规则,具 点电荷和等效点电荷迭 有一定对称性 加给出空间电势分布。c)给定边界条件 汪意: a)做替代时,所研究空间的泊松方程不能被改变(即自由 点电荷位置、Q大小不能变)。所以假想电荷必须放在 所求区域之外。 b)不能改变原有边界条件(实际是通过边界条件来确定假 想电荷的大小和位置)。 c)一旦用了假想(等效)电荷,不再考虑原来的电荷分布。 d)坐标系选择仍然根据边界形状来定
3. 电象法概念、适用情况 电象法： 用假想点电荷来等效地 代替导体边界面上的面 电荷分布，然后用空间 点电荷和等效点电荷迭 加给出空间电势分布。 适用情况： a) 所求区域有少许几个点电荷， 它产生的感应电荷一般可以 用假想点电荷代替。 b)导体边界面形状比较规则，具 有一定对称性。 c) 给定边界条件 注意： a）做替代时，所研究空间的泊松方程不能被改变（即自由 点电荷位置、Q 大小不能变）。所以假想电荷必须放在 所求区域之外。 b）不能改变原有边界条件（实际是通过边界条件来确定假 想电荷的大小和位置）。 c）一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。 d）坐标系选择仍然根据边界形状来定。 机动 目录 上页 下页 返回 结束
4.格林等效层定理(不证明) (1)等势面包围的体积Ⅴ内 的电荷在V外产生的电势与在 o(p) 此等势面上置一导体面,并 将Ⅴ内电荷都搬到导体上所产 生的电势完全一样。 等势面 (2)相反,带电导体所产生 的电势也可以用导体面内 P(p) 定等效电荷分布来代替,只 要它产生与导体表面完全重 合的等势面。 导体面
4. 格林等效层定理（不证明）* （1）等势面包围的体积V内 的电荷在V外产生的电势与在 此等势面上置一导体面，并 将V内电荷都搬到导体上所产 生的电势完全一样。 （2）相反，带电导体所产生 的电势也可以用导体面内一 定等效电荷分布来代替，只 要它产生与导体表面完全重 合的等势面。 等势面 V Q P ( p) 导体面 Q ( p) P Q Q’ 机动 目录 上页 下页 返回 结束
四、应用举例 1.接地无限大平面导体板附近有 点电荷,求空间电势。 解:根据唯一性定理左半空间=0 们 右半空间,Q在(0,0,a)点, Z 电势满足泊松方程 边界上 =0 从物理问题的对称性和边界条件考虑,假想电荷应在左 半空间z轴上。 设电量为Q',位置为(0,0,a) O O 024Vx2+y2 +(z-a x-+1-+
四、应用举例 1. 接地无限大平面导体板附近有 一点电荷，求空间电势。 Q Q/ P z r r a 解：根据唯一性定理左半空间 = 0 右半空间，Q在（0，0，a）点， 电势满足泊松方程。 边界上 0 0 = z= 从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左 半空间 z 轴上。 设电量为 Q ，位置为（0，0， a ） ] ( ) ( ) [ 4 1 2 2 2 2 2 2 0 x y z a Q x y z a Q + + − + + + − = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
由边界条件确定g、a和φ O 0 2 x ty + a x ty 唯一解是Q=Q,a=ta因为象电荷在左半空 间,所以舍去正号解 4 r o Vx+y+(z-a) x2+y2+(z+a) 讨论:(a)导体面上感应电荷分布 Q 0 2n(x2+y2+a 2、3/2
2 2 2 2 2 2 0 0 x y a Q x y a Q z + + = − + + = = 由边界条件确定 Q 、 a 和 唯一解是 因为象电荷在左半空 间，所以舍去正号解 Q = −Q, a = a ] ( ) 1 ( ) 1 [ 4 2 2 2 2 2 2 0 x y z a x y z a Q + + + − + + − = 讨论：（a）导体面上感应电荷分布 2 2 2 3/ 2 0 0 2 (x y a ) Qa z z + + = − = − = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
Oa ardi ds 2J(r2+a2) 3/2 (b)电荷Q产生的电场的电力线全部终止在导体面上 它与无导体时,两个等量异号电荷产生的电场在 右半空间完全相同。 (c)Q与Q位置对于导体板镜象对称,故这种方法称 为镜象法(又称电象法) (d)导体对电荷Q的作用力相当两点电荷间的作用力 4兀Er 4z(2a) 16E0a 机动目录上页下页返回
= − = + = = − 0 2 2 3 / 2 ( ) 2 2 Q Q r a Qa rdr Q dS （b）电荷Q产生的电场的电力线全部终止在导体面上 它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在 右半空间完全相同。 （c） 与 位置对于导体板镜象对称，故这种方法称 为镜象法（又称电象法） Q Q （d）导体对电荷Q 的作用力相当两点电荷间的作用力 z z z e a Q e a Q e r Q F 2 0 2 0 2 0 2 (2 ) 16 1 4 4 = − = − = − 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.真空中有一半径R的接地导体球,距球心a>R0 处有一点电荷Q,求空间各点电势。 解:(1)分析: 因导体球接地故球的电 P 势为零。根据镜象法原 则假想电荷应在球内。 R 因空间只有两个点电荷, / 场应具有轴对称,故假 想电荷应在线上,即极 轴上 4450大× g 球坐标系
解：（1）分析： 因导体球接地故球的电 势为零。根据镜象法原 则假想电荷应在球内。 因空间只有两个点电荷， 场应具有轴对称，故假 想电荷应在线上，即极 轴上。 2. 真空中有一半径R0的接地导体球，距球心 a > R0 处有一点电荷 Q，求空间各点电势。 [ ] 4 1 0 r Q r Q = + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 r r 球坐标系 P R O Z Q Q
(2)由边界条件确定Q′和〃 设Oo=br=√R2+a2-2 Ra cos e r+b-2rb cos e 0 0 O R=Ro R=Ro R=Ro Q-(R662)-20-Rbcos8=2(ro+a)-20 cos e 因O任意的Q2b=Q2aQ(R2+b2)=Q2(R2+a2) R 解得①b RoO 2 RO ②b=aQ=±Q
2 cos 2 2 r = R + a − Ra 2 cos 2 2 r = R + b − Rb 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 R R R R R R R r Q r Q r Q r Q = = = = = = + （2）由边界条件确定 Q 和 r 设 OQ = b 2 2 2 2 0 0 Q R b Q R b ( ) 2 cos + − 2 2 2 2 0 0 = + − Q R a Q R a ( ) 2 cos 因 任意的 Q b Q a 2 2 = ( ) ( ) 2 2 0 2 2 2 0 2 Q R + b = Q R + a 解得 ① a R Q Q a R b 0 2 0 = = ② b = a Q = Q a R Q Q a R b 0 2 0 = = − 机动 目录 上页 下页 返回 结束
