河北师范大学：《电动力学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 静电场（2.2）唯一性定理

第二章第二节 唯一性定理 里矩米时

第二章第二节 河北师范大学重点建设课程 唯一性定理

§2.2唯一性定理 主要内容 泊松方程和边界条件 唯一性定理的内容 唯一性定理的意义

§2.2 唯一性定理 一、泊松方程和边界条件 二、唯一性定理的内容 三、唯一性定理的意义 主要内容 机动 目录 上页 下页 返回 结束

泊松方程和边界条件 假定所研究的区域为V,在一般情况下V内可以 有多种介质或导体,对于每一种介质自身是均匀 线性各向同性。 设V内所求电势为q,它们满足泊松方程 O 两类边界条件:①边界S上,9为已知,若为导体 0=常数。②边界S上, an 为已知,若是导体要给 定总电荷Q。它相当于 给定(Q ds) an an\s 页返回结束

( 1,2, , ) 2 i m i  i = − =     一、泊松方程和边界条件 假定所研究的区域为V，在一般情况下V内可以 有多种介质或导体，对于每一种介质自身是均匀 线性各向同性。 设V内所求电势为 i ，它们满足泊松方程 S  n S  n S  dS n Q S S   = −   S 两类边界条件：① 边界S上，  为已知，若为导体 =常数。② 边界S上， 为已知， 定总电荷Q。它相当于 给定（ ） 若是导体要给 机动 目录 上页 下页 返回 结束

内边界条件为边值关系 n:l→ an 注:在实际问题 V内两介质分 中,因为导体内 界面上自由 电荷为零 场强为零,可以 不包含在所求区 域Ⅴ内。导体面 上的边界条件可 an an 视为外边界条件 页返回结束

     = −   −   ij ij S i i S j j n n 内边界条件为边值关系 注：在实际问题 中，因为导体内 场强为零，可以 不包含在所求区 域V内。导体面 上的边界条件可 视为外边界条件。 ij ij S  i S =  j ij ij S i i S j j n n  =       机动 目录 上页 下页 返回 结束 n  ： i → j V内两介质分 界面上 自 由 电荷为零

二、唯一性定理 1.均匀单一介质 区域内P分布已知,@满足V2=-若V边界上 s已知,或V边界上9 E q 已知,则V内场(静 电场)唯一确定。 证明:假定泊松方程有两个解1≠02,有 V 在边界上qs=92s=9s0 nIs on onls 令Φ=01-0,V①=V-Vm2=0

二、唯一性定理 1．均匀单一介质     = − 2 电场）唯一确定。   S  分布已知， 满足 若V边界上 已知，或V边界上 已知，则 V 内场（ 静 区域内 n S  证明： 1  2     1 = − 2     2 = − 2 假定泊松方程有两个解 ，有 = S 1 = 2 S  S  =   S n 1 =   S n 在边界上  2 S n  令  =1 − 2 0 2 2 1 2 2   =   −  = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

d=a-0=0∞0 0 an 由格林第一公式 「(y2dp+vvl=5oys d y则 「(v2Φ+(vb)2)d/=5Vd Φl=0 ΦVd·dS≡0 VΦ=0→L(VΦ)d=0 由于(VΦ)2≥0积分为零必然有V=0 ①=q1-q2=常数

=   n S −   S n 1 0 2 =   S n  由格林第一公式     +   =   V S dV dS  (  )   2 0  = 1 − 2 = S S S   令  = = 则     +  =  V S dV dS  ( ( ) ) 2 2 0 2   =    = V ( ) dV 0 2  = 0 S    S dS 0   由于 ( ) 0 2   积分为零必然有  = 0  =1 − 2 =常数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(1)若给定的是第一类边值关系Φ=0 即常数为零。=2电场唯一确定且 电势也是唯一确定的 (2)若给定的是第二类边值关系71=0 S 卯1=02+常数,91,2相差一个常数, 虽不唯一,但电场E是唯一确定的

 = 0 S 1   2 （1）若给定的是第一类边值关系 即常数为零。 电场唯一确定且 电势也是唯一确定的。 虽不唯一，但电场 = 0   S n  1 =  2 + 1 2  , E  （2）若给定的是第二类边值关系 常数， 相差一个常数， 是唯一确定的。 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.介质分区均匀(不包含导体) V内尸已知,V=-成立,给定区域q 或 on\s 在分界面上,|s=。或 on an \ si 区域V内电场唯一确定 S (证明见书P.60)

2. 介质分区均匀（不包含导体）  i     = − 2 S  n S  ij ij S  i S =  j ij ij S i i S j j n n  =       已知， 成立，给定区域 或 。在分界面上， 或 V 内 （证明见书P．60） s v  1  2  3 区域V内电场唯一确定 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3.均匀单一介质中有导体(证明见教材) 导体中E=0,求V内的电势。 当或 On/已知, on\sy an (或Q1、Q2)为已知,则区域V 内电场唯一确定。 opds an 页返回结束

3. 均匀单一介质中有导体（证明见教材） Q2 Q1 ε S S1 S2 V （或 Q1、Q2 ）为已知，则区域 V S  n S  S1 n  S2 n  或 已知， 、 内电场唯一确定。 当 E = 0  导体中 ，求 V 内的电势。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 dS n Q s    = −  

三、唯一性定理的意义 1.唯一性定理给出了确定静电场的条件,为求电 场强度指明了方向。 2.更重要的是它具有十分重要的实用价值。无论 采用什么方法得到解,只要该解满足泊松方程 和给定边界条件,则该解就是唯一的正确解。 因此对于许多具有对称性的问题,可以不必用 繁杂的数学去求解泊松方程,而是通过提出尝 试解,然后验证是否满足方程和边界条件。满 足即为唯一解,若不满足,可以加以修改 页返回结束

三、唯一性定理的意义 2. 更重要的是它具有十分重要的实用价值。无论 采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程 和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。 因此对于许多具有对称性的问题，可以不必用 繁杂的数学去求解泊松方程，而是通过提出尝 试解，然后验证是否满足方程和边界条件。满 足即为唯一解，若不满足，可以加以修改。 1. 唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求电 场强度指明了方向。 机动 目录 上页 下页 返回 结束