狭义相对论 第六章第四节 自对论的四维形式 河北师范大学电动力学课程组
河北师范大学电动力学课程组 第六章第四节 相对论理论的四维形式
时空本质上是四维的:3维空间+1维时间。 洛伦兹变换是一种线性变换它体现了四维时空的变换关系 但是这种变换的特征是什么?物理量在坐标变换下怎样变换? 描写物理规律的方程在变换下是否不变? 关于正交变换 1、二维平面上坐标系的转动变换 平面上P点的转动变换满足 x’=xcos+ysnb xsin 6+ ycos6 6 画,a 2 2 x ty =x t X
时空本质上是四维的：3维空间+1维时间。 洛伦兹变换是一种线性变换,它体现了四维时空的变换关系。 但是这种变换的特征是什么？物理量在坐标变换下怎样变换？ 描写物理规律的方程在变换下是否不变？ 一、关于正交变换 1、二维平面上坐标系的转动变换 = − + = + sin cos cos sin y x y x x y 平面上P点的转动变换满足 P x y y x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 2 2 2 x + y = x + y
x cos0 sing(x 12∥x y sin e cos sy)、a21a2人y)正交变换条件 cOS SIn 6 cOS 6 sIn ad sin 0 cos0(-sin 0 cos0 0 1 2、三维空间坐标转动变换 X=Gx+aux+aux 12 13/无 2=a21x1+a22x2+a23x3 22 23/x a x x=a31x1+a3212+a3x3(a1 32 不变量∑x2=∑x2 (=1,2,3)
机动 目录 上页 下页 返回 结束 = − = y x a a a a y x y x 2 1 2 2 1 1 1 2 sin cos cos sin cos sin cos sin 1 0 sin cos sin cos 0 1 aa aa I − = = = = − 2、三维空间坐标转动变换 1 11 1 12 2 13 3 11 12 13 1 1 2 21 1 22 2 23 3 21 22 23 2 2 3 31 1 32 2 33 3 31 32 33 3 3 x a x a x a x a a a x x x a x a x a x a a a x a x x a x a x a x a a a x x = + + = + + = = = + + 正交变换条件 3 1 i ij j j x a x = = ( 1, 2,3) i = 3 3 2 2 1 1 i i i i x x = = 不变量 =
爱因斯坦惯例 凡有重复下标的即要取和, f为自由指标,/为取和指标 X (1) ik wk ∑x2=∑ x22 (2) 证明变换为正交变换 ∑x=∑∑4a=∑∑∑(qxx ij"j ik k (3) 0i≠j 又∑xx=2xx<→xx=xx1=6xx…(4)
爱因斯坦惯例 (1) i ij j x a x = ( ) i ik k il l x a x a x = = (2) i i i i x x x x = ( ) 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 i i ij j ik k ij ik j k i i j k i j k x x a x a x a a x x = = = = = = = = = 3 1 i ij j j x a x = = 3 3 2 2 1 1 i i i i x x = = = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (4) i i j j jk j k x x x x x x = = (3) i i ij j ik k x x a x a x = 凡有重复下标的即要取和， i为自由指标, j为取和指标． = = = = 3 1 3 1 3 j j k 1 j j j k j k 又 x x x x 证明变换为正交变换 1 0 i j ij i j = =
比较(3)和(4)可得 ik (5) 写成矩阵aa=c=1 (6)(5)与(6) 为正交条件 反变换式:x1=a1x、_ 证明:X=c1n1两边同乘a并对取和 aixi=anai =Si=Si=xI 写成矩阵:x=ax=ax′=a-x
比较（3）和（4）可得 (5) ij ik jk a a = 写成矩阵 (6) a ~ a = aa ~ = I 机动 目录 上页 下页 返回 结束 写成矩阵： x ax = = = 3 i 1 ij i k j k a a （5）与（6） 为正交条件 反变换式： l il i x a x = i ji j 或 x a x = 1 x ax a x − = = a x a a x x x x il i il ij j lj j lj j l = = = = i ij j 两边同乘 ail 证明： x a x = 并对i 取和
二、物理量按空间变换性质分类 标量:空向转动变换中不变的量称为标量。 1′=u例如:质量,电荷,空间距离。 矢量:空间转动变换中按7=anV(=123) 方式变换的量称为矢量,记为 例如:速度、加速度、力、电场强度、v算符等。 二阶张量:空间转动变换下按71= aikaillkI 方式变换的具有9个分量的物理量,记为2 例如:应力张量,电四极矩张量等。 机动目录上页下页返回
二、物理量按空间变换性质分类 • 标量: 空间转动变换中不变的量称为标量。 u = u 例如：质量，电荷，空间距离。 例如：应力张量，电四极矩张量等。 T a a T ij ik jl kl = 方式变换的具有9个分量的物理量，记为 T 。 • 二阶张量：空间转动变换下按 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如：速度、加速度、力、电场强度、 ▽算符等。 • 矢量：空间转动变换中按 i ij j v a v = (i =1,2,3) 方式变换的量称为矢量，记为 v
使用自由指标判断物理量 标量:没有自由指标,又称为零阶张量 矢量:一个自由指标,又称为一阶张量 张量:两个自由指标,又称为二阶张量 例一:两矢量点积 认·W=V,w无自由指标为标量 Wiwi=ai v, GikW=OikViWk=v,w,=vii 例二:张量与矢量点积 T…ν=Tv;一个自由指标为矢量 =a111km3m≈a1b emk m =aiklklv1
机动 目录 上页 下页 返回 结束 T v T vij j = 一个自由指标为矢量 T v a a T a v a T v a T v ij j ik jl kl jm m ik em kl m ik kl l = = = 例二：张量与矢量点积 i wi v w = v 无自由指标为标量 i i ij j ik k jk j k j j i i v w a v a w v w v w v w = = = = 例一：两矢量点积 标量：没有自由指标，又称为零阶张量； 矢量：一个自由指标，又称为一阶张量； 张量：两个自由指标，又称为二阶张量。 使用自由指标判断物理量
三、洛伦兹变换的四维形式 1、四维空间的转动变换(三维情况的推广) 转动中的不变量:x,x,=xn,x,(,”=1--4) +b,耳-+x2+x2+x4<)x x3 ∑x 英文小写字母bk,l,mbn,,代表13 希腊小写字母v,σ,t,K,…代表1-4 变换表示式:x=amx 正交条件为:alo4m2=n<a=c=I
机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、洛伦兹变换的四维形式 1、四维空间的转动变换（三维情况的推广） 转动中的不变量： v v x x x x = ( , 1 4) v = − − 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 v v v x x x x x x x x x x x x = = + + + = + + + = 英文小写字母 i j k l m n ，， ，， ， , 代表1—3 希腊小写字母 ， ， ， ， ， , 代表1—4 变换表示式： x a x = 正交条件为： a a aa aa I = = =
2、洛伦兹变换为复四维空间的转动变换 与转动变换不变 洛伦兹变换下间隔为不变量,即: 量表示形式不同 2 2 2 ct +x+ ct 定义: lC 2 2 2 +n+x+ X1十X2+X2+xAx 因此它为复四维空间(x,x2,x3,x4=i)的“转动”变 该空间又称为闵可夫斯基空间(1907) v ict r(x-v=rx-r rx,+iBrx xa=ict=icr(t-5X1=rx4 -iBrx=-iBrx+rx4
机动 目录 上页 下页 返回 结束 2、洛伦兹变换为复四维空间的转动变换 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 x x x c t x x x c t + + − = + + − 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x + + + = + + + = 洛伦兹变换下间隔为不变量，即： 4 4 定义： x ict x ict = = , 与转动变换不变 量表示形式不同 因此它为复四维空间 ( , , , ) 1 2 3 4 x x x x = ict 该空间又称为闵可夫斯基空间（1907年）。 的“转动”变 换 1 1 1 1 4 ( ) ict x x t x x i x c i = − = − = + 2 2 3 3 x x x x = = , 4 1 4 1 1 4 2 x ict ic t x x i x i x x ( ) c = = − = − = − +
x=y(+iBx4) Xo =x 4=y(-iBx1+x4) r 00 iBr(x X三x 矩阵形式 0100 0‖1x =ax x4)(-iBy00y八x4
机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 1 2 2 3 3 4 4 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 x x i x x x x x x i = − 矩阵形式 x a x = x a x a x = = ) ~ ( x = a x ( ) x ax = 1 1 4 x x i x = + ( ) 2 2 x x = 4 1 4 x i x x = − + ( ) 3 3 x x =
