第零章第一节 买量代数与张量初步 河北师范大学重点建设课程
第零章第一节 河北师范大学重点建设课程 矢量代数与张量初步
§1矢量代数与张量初步 ■矢量定义=AA2A=A,A 直角坐标系中A=Ai+Aj+Ak A=∑4A=团=(4++4)=∑4 ■矢量的基本运算 AB=2AB =AB cose Ax B=ABsin e, A A2A, BBB
§1 矢量代数与张量初步 A A A AA A A A = = = ˆ , , ˆ 直角坐标系中 A A i A j A k = + + z y z 3 1 i i i A A e = = 3 1 2 2 2 2 2 1 2 3 1 ( ) i i A A A A A A = = = + + = 矢量定义 矢量的基本运算 3 1 cos i i i A B A B AB = = = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 sin n e e e A B AB e A A A B B B = =
■矢量代数中的两个重要公式 混合积a(b×d)=b(cxa)=c(axb) 双重矢量积a×(b×C)=(a·c)b-(ab)C 矢量微分 dA A dAdA A一+4 t dt dt 注意顺序 d (A. B db dA A B 不能颠倒 dt d(A×B db dA 4x“+×B dt dt dt
矢量代数中的两个重要公式 a (b c) b (c a) c (a b) 混合积 = = 矢量微分 ˆ ˆ dA dA dA A A dt dt dt = + d A B dB dA ( ) A B dt dt dt = + d A B dB dA ( ) A B dt dt dt = + 双重矢量积 a b c a c b a b c ( ) = ( ) −( ) 注意顺序 不能颠倒
■并矢与张量AB 般AB≠BA) T=AB=A,B i,j=1 ee为单位并矢,张量的基(9个分量) ■矢量与张量的矩阵表示 ∑4,A=4A=(4,A2,4 B AB=(4,4,43)B21=4B+42+43B3=∑4B B
并矢与张量 AB （一般 AB BA ） i j e e 为单位并矢，张量的基（9个分量） 矢量与张量的矩阵表示 1 2 3 , i i A A Ae A A A = = 1 2 3 A A A A = ( , , ) i i A B A B A B Ai B B B B A B A A A = = + + = = 3 1 1 1 2 2 3 3 3 2 1 1 2 3 ( , , ) j i j i j i i j i j i j T AB A B e e T e e = = = = = 3 , 1 3 , 1
T=AB C=∑ 12 100 7=|72172723 2133 张量的运算7+7=∑(7+V) ABC=A(BC=A(. B)=ACB B)A=C BA B.CA=B·CA
3 1 i j i e e = = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = , ( ) i ij ij j i j T V T V e e + = + ( ) ( ) ( ) ( ) AB C A B C A C B AC B C B A C BA B C A B CA = = = = = = = 张量的运算 T AB = = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 T T T T T T T T T T
C AB=(C4 B=B(.A)=B(AC)=BA.c AB×C BxC)并矢 C×AB=(C×A)B并矢 两并矢的一次点乘 AB (CD)=A(B CD=A(B C)AD+CD.AB 两并矢的二次点乘 AB: CD=(BC(AD 单位张量与矢量 C·C=C.C=C 张量的点乘 C·AB=AB.C=AB e: AB=A-B
C AB C A B B C A B A C BA C = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) AB C A B C C AB C A B = = 并矢 并矢 两并矢的一次点乘 AB CD A B C D A B C AD CD AB = = ( ) ( ) ( ) 两并矢的二次点乘 AB CD B C A D : = ( )( ) = = C C C = = AB AB AB : AB A B = 单位张量与矢量、 张量的点乘
补充练习题 计算(+B)×(4-B) 2(B 证明M=b(ac)-a(b·c)与矢量C垂直,即MC 计算下列各式 (a×b)a×(b×a)(×1)·k(k×i) 0, a b-a(a b) 证明下列各式 (×b)(c·d)=(a×c)(bd)-(xd)(bc) d×(b×C)+b×(C×a)+C×(xb)=0
补充练习题 a a b ( ) a b a ( ) ( ) j i k ( ) k i j （ 0， ， －1， 1 ） 2 a b a a b − ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) a b c d a c b d a d b c = − a b c b c a c a b + + = ( ) ( ) ( ) 0 计算 ( A B A B + − ) ( ) (= 2(B A)) 证明 M b a c a b c = − ( ) ( ) 与矢量 C 垂直,即 M C 计算下列各式 证明下列各式