第9章 拉普拉斯变换
第 9 章 拉普拉斯变换
9.0 引 言 前面几章已经看到，傅里叶分析工具在研究涉及信号和LT1系统的很多问题中是极为有 用的。这在很大程度上是由于相当广泛的一类信号都能用周期复指数信号的线性组合来表 示，而复指数信号义是LT系统的特征函数的缘故。连续时间傅里叶变换提供了将信号表示 成形如e,s=jw的复指数信号的线性组合；然而，由3.2节引人的特征函数性质及其它的 很多结果对任意5值都是适用的，而并不是将它仅限于纯虚数的情况。这样的看法就导致了 连续时间傅里叶变换的推广，称之为拉普拉斯变换，这就是本章要进行讨论的。下一章将建 立对应的离散时问的推广，称之为2变换。 将会看到，拉普拉斯变换和2变换都有很多使傅里叶变换成为如此有用的那些性质。然 而，这些变换不仅仅是对那些能用缚里叶变换进行分析的信号与系统提供了另一种分析工具 和另一种分析的角度，而且在一些傅里叶变换不能应用的重要方面，它们也能够应用。例如： 拉普拉斯变换和z变换能用于许多不稳定系统的分析，这样就在系统的稳定性或不稳定性的 研究中起着重要的作用。这一事实再与拉普拉斯变换和z变换与傅里叶变换共有的代数性质 组合在一起，就形成了一整套重要的系统分析工具，尤其是在第11章要讨论的反馈系统分析 中更是如此
9.1拉普拉斯变换 在第3章已经知道，一个单位冲激响应为h(t)的线性时不变系统，对复指数输入信 号的响应y(t)是 y(t)=H(s)eM (9.1) 这里 H(s)=h(t)e sdt (9.2) 若s为虚数（即s=jw),(9.2)式的积分就对应于h(t)的傅里叶变换。对-一般的复变量s来 说，(9.2)式就称为单位冲激响应h(t)的拉普拉斯变换。 一个信号x《t)的拉普拉斯变换定义如下①： X(s)会x(t)ed (9.3)
当复变量s不为纯虚数时，拉普拉斯变换与傅里叶变换也有一个直接的关系。为了看出 这一点，将(9.3)式X(s)中的s表示成y=g+j,则有 x(a+jw)=(t)e (tdt (9.7) 或者 X(a+ju）-[r(t)e]eid (9.8) 我们可以把(9.8)式的右边看作x(t)e㎡的傅里叶变换。这就是说，x（t)的拉普拉斯变换可 以看成是x(t)在乘以一个实指数信号以后的傅里叶变换。这个实指数é”在时间上可以是 衰诚的，或者是增长的，这决定于8是正还是负
例9.1设信号x(t》=e“u(t),由例4.1，它的傅里叶变换X(w)在a>0时收敛，且为 Xo）)-(d-0e“ewd-十au>0 (9.9) 根据(9.3)式，其拉普拉斯变换为 ()(edi (9.10) 或者，用s=d+jw X(atjo）=0 (9.11) 将(9.11)式与(9.9)式相比较，可以看出(9.11)式就是e(+u(t)的傅里叶变换，于是有 1 X(g+w）=(o+a)+i@,+a>0 (9.12) 因为s=a十j仙和a二s,又可等效为 X(s)=,上，晚ii>-a s+a (9.13) 这就是 R{}>-a s+a (9.14) 例如，若a=0,x()就是单位阶跃函数，其拉普拉斯变换为X(s）=11s,滚{s}>0
从这个例子应该特别注意到，正如傅里叶变换不是对所有信号都收敛一样，拉普拉斯变 换也可能对某些{s}值收敛，而对另一些象{s{则不收敛。在(9.13)式中，该拉普拉斯变换 仅对a=%s}>一a收敛，如果a为正值，那么，X(s)就能在a=0求值，而得到 X(0+jw)=1 (9.15) jw a 如(96)式所指出的，对于5=0，拉普拉斯变换就等于傅里叶变换，这只要将(9.9)式和 (9,15)式比较一下就能看出。如果a是负的或为零，拉普拉斯变换仍然存在，但傅里叶变换 却不存在
例9.2为了与例9.1相比较，现考虑第二个例子。信号x(t)为 x(t）=-eu(-t) (9.16) 那么 Xg）=-eue4(-t)d =-。*aira (9.17) 或者 X(s)=-1 s+a (9.18) 对这个例子，为保证收敛，则要求见{s+a<0,或者家{s{<一a,这就是说 -e0u(-产十。，g s+a l}<-a (9.19)
比较一下(9.14)式和(9.19)式可见，对例9.1和例9.2中的两个信号，它们的拉普拉斯 变换代数表示式都是一样的；然而，这个代数表示式能成立的s域却是大不相同的。这就说 明，在给出一个信号的拉普拉斯变换时，代数表示式和该表示式能成立的变量s值的范围都 应该给出。一般把使积分(9.3)式收敛的5值的范围称为拉普拉斯变换的收敛域，特简记作 ROC。也就是说，ROC是由这样一些s=。+jw组成的，对这些s来说，x(t)e的傅里叶变 换收敛。随着我们深入讨论拉普拉斯变换的性质，关于RO℃将有更多的话要说。 表示收敛域ROC的一个方便的办法是如图9.1所示。变量s是一个复数，在图9.1上展 示出的复平面，一般就称为与这个复变量有关的s平面。沿水平轴是现s}轴，垂直轴是 As轴，水平轴和垂直轴有时分别称为a轴和jw轴。图9.I(a)的阴影部分就是对应于例 9.1的收敛域；而图9.1(b)的阴影部分指出了例9.2的收敛域
n Jm 8平面 3平浙 .1 a e 1-a Re ! (a) ) 图y.1（a)例9.1的：〈b)例9.2的RC
例9.3本树考虑的信号是两个实指数信号的和，即 x(t)=3e u()-2eiult) (9.20 于是其拉普拉斯变换的代数表示式为 X(s)-[3e2u(）-2e(t)1e￥dh =3e2eu(1)dt-2eeu(t)ds (9.21) (9.21)式中的每个积分式都与(9.10)式的积分式具有相同的形式，这样就能利用例9.1的结果而 得到 X)=32 s425+1 (9.22) 为了确定它的ROC,我们注意到，因为x(t)是两个实指数信号的和，而由(9,21)式可知，X(s}是 单独每一项的拉普拉斯变换之和。第一项是3e2“u(t)的拉普拉斯变换，前第二项是一2eu(t)的 拉普拉斯变换。由例9,1知道 eue2,+1r {s|>-1 e 2u(t)1 5+2 3{s>-2 于是，使这两项拉普拉斯变换都收敛的那些观{s}值的集合就是界s>-1,这样把(9,2)式右边 这两项合起来，就得到 3e2u(t）-2e(t)+ s-1 2+3s+2 现{s}>-1 (9.23}