第3章 图像变换 ◆ 3.1 图像的几何变换 ◆ 3.2 图像的离散傅立叶变换 ◆ 3.3 图像变换的一般表示形式 ◆ 3.4 图像的离散余弦变换 ◆ 3.5 图像的离散沃尔什一哈达玛变换 ◆ 3.6 K-L变换 ◆ 3.7 本章小结 Digital Image Processing
Digital Image Processing Digital Image Processing ◆ 3.1 图像的几何变换 图像的几何变换 ◆ 3.2 图像的离散傅立叶变换 图像的离散傅立叶变换 ◆ 3.3 图像变换的一般表示形式 图像变换的一般表示形式 ◆ 3.4 图像的离散余弦变换 图像的离散余弦变换 ◆ 3.5 图像的离散沃尔什－哈达玛变换 图像的离散沃尔什－哈达玛变换 ◆ 3.6 K-L变换 ◆ 3.7 本章小结 第3章 图像变换
概述 图像和其它信号一样，既能在空间域（简称空域）处理， 也能在频率域（简称频域）处理。把图像信息从空域变换到频 域，可以更好地分析、加工和处理。 图像信息的频域处理具有如下特点： (1)能量守恒，但能量重新分配； (2)有利于提取图像的某些特征； (3) 正交变换具有能量集中作用，可实现图像的高效压缩编 码； (4) 频域有快速算法，可大大减少运算量，提高处理效率。 本章除介绍图像的几何变换外，主要介绍可分离正交变 换，包括离散傅立叶变换、离妝余弦变换、离散哈达玛一沃尔什 变换等。 Digital Image Processing
Digital Image Processing Digital Image Processing 图像和其它信号一样，既能在空间域（简称空域）处理， 图像和其它信号一样，既能在空间域（简称空域）处理， 也能在频率域（简称频域）处理。把图像信息从空域变换到频 也能在频率域（简称频域）处理。把图像信息从空域变换到频 域，可以更好地分析、加工和处理。 域，可以更好地分析、加工和处理。 图像信息的频域处理具有如下特点 图像信息的频域处理具有如下特点 : (1) 能量守恒，但能量重新分配； 能量守恒，但能量重新分配； (2) 有利于提取图像的某些特征； 有利于提取图像的某些特征； (3) 正交变换具有能量集中作用，可实现图像的高效压缩编 正交变换具有能量集中作用，可实现图像的高效压缩编 码； (4) 频域有快速算法，可大大减少运算量，提高处理效率。 频域有快速算法，可大大减少运算量，提高处理效率。 本章除介绍图像的几何变换外，主要介绍可分离正交变 本章除介绍图像的几何变换外，主要介绍可分离正交变 换，包括离散傅立叶变换、离散余弦变换、离散哈达玛 换，包括离散傅立叶变换、离散余弦变换、离散哈达玛-沃尔什 变换等 。 概 述
3.1 图像的几何变换 图像的几何变换包括： 图像的空间平移、比例缩放、旋转、仿射变换和图像插值。 口图像几何变换的实质： 改变像素的空间位置或估算新空间位置上的像素值。 Digital Image Processing
Digital Image Processing Digital Image Processing ◘图像的几何变换包括: 图像的空间平移、比例缩放、旋转、仿射变换和图像插值。 图像的空间平移、比例缩放、旋转、仿射变换和图像插值。 ◘图像几何变换的实质 图像几何变换的实质: 改变像素的空间位置或估算新空间位置上的像素值。 改变像素的空间位置或估算新空间位置上的像素值。 3.1 图像的几何变换 图像的几何变换
3.1 图像的几何变换 图像几何变换的一般表达式： [u,v]=[X(x,y),Y(x,y)] 其中，[u,V]为变换后图像像素的笛卡尔坐标，[x,y]为原 始图像中像素的笛卡尔坐标。这样就得到了原始图像与变换后 图像的像素的对应关系。 如果X(x,y)=x,Y(x,y)=y,则有[u,=[x,y], 即变换后图像仅仅是原图像的简单持贝。 Digital Image Processing
Digital Image Processing Digital Image Processing ◘图像几何变换的一般表达式 图像几何变换的一般表达式 : 其中， 为变换后图像像素的笛卡尔坐标， 为变换后图像像素的笛卡尔坐标， 为原 始图像中像素的笛卡尔坐标。这样就得到了原始图像与变换后 始图像中像素的笛卡尔坐标。这样就得到了原始图像与变换后 图像的像素的对应关系。 图像的像素的对应关系。 如果 ， ，则有 ， 即变换后图像仅仅是原图像的简单拷贝。 即变换后图像仅仅是原图像的简单拷贝。 yxYyxXvu )],(),,([],[ 3.1 图像的几何变换 图像的几何变换 = vu ],[ yx ],[ ),( = xyxX ),( = yyxY = yxvu ],[],[
3.1 图像的几何变换 口平移变换： 若图像像素点(x,y)平移到(x十x0,y+y0),则变换 函数为 u=X(x,y)=x+xo,v=Y(x,y)=y+yo 写成矩阵表达式为： x y Yo 其中，X0和y0分别为X和y的坐标平移量。 Digital Image Processing
Digital Image Processing Digital Image Processing ◘平移变换 : 若图像像素点 平移到 ，则变换 函数为 ， 写成矩阵表达式为： 写成矩阵表达式为： 其中， 和 分别为 和 的坐标平移量。 3.1 图像的几何变换 图像的几何变换 yx ),( ),( 00 + + yyxx 0 = ),( = + xxyxXu 0 v Yxy y y = (, ) = + ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ ⎥ +⎦⎤ ⎢⎣⎡ ⎥ = ⎦⎤ ⎢⎣⎡ 00 yx yx vu 0 x 0 y x y
3.1 图像的几何变换 比例缩放： 若图像坐标(X,y)缩放到(Sx,y)倍，则变换函数为： 其中，Sx,Sy分别为X和y坐标的缩放因子，其大于1表 示放大，小于1表示缩小。 Digital Image Processing
Digital Image Processing Digital Image Processing 3.1 图像的几何变换 图像的几何变换 ◘比例缩放 : 若图像坐标 缩放到（ )倍，则变换函数为： 倍，则变换函数为： 其中, , 分别为 和 坐标的缩放因子，其大于 坐标的缩放因子，其大于1表 示放大，小于1表示缩小。 yx ),( yx ,ss 0 0 x y u x s v s y ⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣⎦ ⎣ ⎦ yx ,ss x y
3.1 图像的几何变换 旋转变换： 将输入图像绕笛卡尔坐标系的原点逆时针旋转日角度，则 变换后图像坐标为： 图像 旋转 变换 的示 例： (a)原始图像 (b)逆时针旋转30度后的图像 Digital Image Processing
Digital Image Processing Digital Image Processing 3.1 图像的几何变换 图像的几何变换 ◘旋转变换 : 将输入图像绕笛卡尔坐标系的原点逆时针旋转 将输入图像绕笛卡尔坐标系的原点逆时针旋转 角度，则 变换后图像坐标为： 变换后图像坐标为： θ ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ − ⎥ = ⎦⎤ ⎢⎣⎡ yx vu θθ θθ cossin sincos 图像 旋转 变换 的示 例 : (a) 原始图像 (b) 逆时针旋转30度后的图像
3.1 图像的几何变换 仿射变换 u 仿射变换的一般表达式为： a, a b2 y b bo 1 平移、比例缩放和旋转变换都是一种称为仿射变换的特殊情况。 仿射变换具有如下性质： (1)仿射变换只有6个自由度（对应变换中的6个系数），因 此，仿射变换后互相平行直线仍然为平行直线，三角形映射后仍 是三角形。但却不能保证将四边形以上的多边形映射为等边数的 多边形。 (2)仿射变换的乘积和逆变换仍是仿射变换。 (3)仿射变换能够实现平移、旋转、缩放等几何变换。 Digital Image Processing
Digital Image Processing Digital Image Processing 3.1 图像的几何变换 图像的几何变换 ◘仿射变换 : 仿射变换的一般表达式为 仿射变换的一般表达式为: 平移、比例缩放和旋转变换都是一种称为仿射变换的特殊情况。 210 210 1 x u aaa y v bbb ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 仿射变换具有如下性质 仿射变换具有如下性质： （1）仿射变换只有 ）仿射变换只有6个自由度（对应变换中的 个自由度（对应变换中的6个系数），因 此，仿射变换后互相平行直线仍然为平行直线，三角形映射后仍 此，仿射变换后互相平行直线仍然为平行直线，三角形映射后仍 是三角形。但却不能保证将四边形以上的多边形映射为等边数的 是三角形。但却不能保证将四边形以上的多边形映射为等边数的 多边形。 （2）仿射变换的乘积和逆变换仍是仿射变换。 ）仿射变换的乘积和逆变换仍是仿射变换。 （3）仿射变换能够实现平移、旋转、缩放等几何变换。 ）仿射变换能够实现平移、旋转、缩放等几何变换
3.1图像的几何变换 上式可以表示成如下的线性表达式 设定加权因于☑；和b:的值，可以得到不同的变换。例如，当选定 a2=b=1,b2=-0.1,41=a40=b0=0,该情况是图像剪切的一种到剪 切。 (a)原始图像 (b)仿射变换后图像 Digital Image Processing
Digital Image Processing Digital Image Processing 3.1 图像的几何变换 图像的几何变换 上式可以表示成如下的线性表达式 上式可以表示成如下的线性表达式 : 设定加权因子 和 的值，可以得到不同的变换。例如，当选定 ， ， ，该情况是图像剪切的一种列剪 切。 （a）原始图像 （b）仿射变换后图像 ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ ⎥ +⎦⎤ ⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ ⎥ =⎦⎤ ⎢⎣⎡ 00 12 12 ba yx bb aa vu ai bi = ba 12 = 1 b2 −= 1.0 0 = = baa 001 =
3.1 图像的几何变换 透视变换： 把物体的三维图像表示转变为二维表示的过程，称为透视变 换，也称为投影映射，其表达式为： C11 a12 a13 a21 a22 023 w a31 a32 033 透视变换也是一种平面映射，并且可以保证任意方向上的 直线经过透视变换后仍然保持是直线。 透视变换具有9个自由度（其变换系数为9个)，故可以实现 平面四边形到四边形的映射。 Digital Image Processing
Digital Image Processing Digital Image Processing 3.1 图像的几何变换 图像的几何变换 ◘透视变换 : 把物体的三维图像表示转变为二维表示的过程，称为透视变 把物体的三维图像表示转变为二维表示的过程，称为透视变 换，也称为投影映射，其表达式为 换，也称为投影映射，其表达式为: 透视变换也是一种平面映射 透视变换也是一种平面映射 ，并且可以保证任意方向上的 ，并且可以保证任意方向上的 直线经过透视变换后仍然保持是直线。 直线经过透视变换后仍然保持是直线。 透视变换具有9个自由度（其变换系数为 个自由度（其变换系数为9个），故可以实现 个），故可以实现 平面四边形到四边形的映射。 平面四边形到四边形的映射。 ⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡ =⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡ ' 1 '' 333231 232221 131211 yx aaa aaa aaa wvu