第二章误差理论与数据处理 ·§2.1测量误差的基本理论 误差定义、来源、分类、测量精度 .§2.2数据处理的一般方法 算术平均法、最小二乘法、一元线性回归.… 1
1 误差定义、来源、分类、测量精度 第二章 误差理论与数据处理 ▪ § 2.2 数据处理的一般方法 算术平均法、最小二乘法、一元线性回归…. ▪ § 2.1 测量误差的基本理论
基本理论 ■§2.1.1测量误差的定义 定义：测量结果与其真值的差异 △x-测量误差 定性概念，定量表示 X一测量结果 X,一真值 真值：被测量的客观真实值 理论真值：理论上存在、计算推导出来 如：三角形内角和180° 约定真值：国际上公认的最高基准值 如：基准米1m=1650763.73入 (氪-86的能级跃迁在真空中的辐射波长) 相对真值：利用高一等级精度的仪器或装置的测量结果作为近似真值 标准仪器的测量标准差<1/3测量系统标准差→检定
2 基本理论 ◼ § 2.1.1 测量误差的定义 定义： Δx – 测量误差 x – 测量结果 x0 – 真值 测量结果与其真值的差异 真值： 被测量的客观真实值 理论真值： 0 x = x − x 理论上存在、计算推导出来 如：三角形内角和180° 约定真值：国际上公认的最高基准值 如：基准米 (氪-86的能级跃迁在真空中的辐射波长) 相对真值：利用高一等级精度的仪器或装置的测量结果作为近似真值 1m=1 650 763.73 λ 标准仪器的测量标准差< 1/3 测量系统标准差 → 检定 定性概念，定量表示
基本理论 §2.1.2测量误差的来源 (1)原理误差：测量原理和方法本身存在缺陷和偏差 近似：理论分析与实际情况差异如：非线性比较小时可以近似为线性 假设：理论上成立、实际中不成立如：误差因素互不相关 方法：测量方法存在错误或不足如：采样频率低、测量基准错误 (2)装置误差：测量仪器、设备、装置导致的测量误差 机械：零件材料性能变化、配合间隙变化、传动比变化、蠕变、空程 电路：电源波动、元件老化、漂移、电气噪声 (③)环境误差：测量环境、条件引起的测量误差 空气温度、湿度，大气压力，振动，电磁场干扰，气流扰动， (4)使用误差：读数误差、违规操作、 3
3 基本理论 ◼ § 2.1.2 测量误差的来源 (1) 原理误差：测量原理和方法本身存在缺陷和偏差 近似： 如：非线性 比较小时 可以近似为线性 假设：理论上成立、实际中不成立 如：误差因素互不相关 (2) 装置误差：测量仪器、设备、装置导致的测量误差 机械：零件材料性能变化、配合间隙变化、传动比变化、蠕变、空程 电路：电源波动、元件老化、漂移、电气噪声 (3) 环境误差：测量环境、条件引起的测量误差 空气温度、湿度，大气压力，振动，电磁场干扰，气流扰动， (4) 使用误差： 理论分析与实际情况差异 方法：测量方法存在错误或不足 如：采样频率低、测量基准错误 读数误差、违规操作
基本理论 1§2.1.3测量误差的性质与分类 (1) 随机误差(random error) 性质： 正态分布 对称性 单峰性 有界性 抵偿性 原因： 传置误差 环境误、使用误差 然误差算术平均值趋于 处理： 统计分析 计算处理 一减小 当测量次数足够多时，偶 绝对值相等的正负误差现的次数相等 绝对值小的误差比绝对直大的误差出现的次数多 偶然误差绝对值不会超过一定程度
4 基本理论 ◼ § 2.1.3 测量误差的性质与分类 (1) 随机误差( random error ) 性质： 正态分布 原因：装置误差、环境误差、使用误差 处理：统计分析、计算处理→ 减小 对称性 单峰性 有界性 抵偿性 绝对值相等的正负误差出现的次数相等 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多 偶然误差绝对值不会超过一定程度 当 测 量 次 数 足 够 多 时 ， 偶 然 误 差 算 术 平 均 值 趋 于 0
基本理论 §2.1.3 测量误差的性质与分类 (2)系统误差(system error): 性质：有规律，可再现，可以预测 原因：原理误差、方法误差、环境误差、使用误差 处理：理论分析、实验验证→修正 (③)粗大误差(abnormal error): 性质：偶然出现，误差很大，异常数据，与有用数据混在一起 原因：装置误差、使用误差 处理：判断、剔除 5
5 基本理论 ◼ § 2.1.3 测量误差的性质与分类 (2) 系统误差( system error ) ： 性质：有规律，可再现，可以预测 原因：原理误差、方法误差、环境误差、使用误差 处理：理论分析、实验验证→ 修正 (3) 粗大误差( abnormal error ) ： 性质：偶然出现，误差很大，异常数据，与有用数据混在一起 原因：装置误差、使用误差 处理：判断、剔除
基本理论 §2.1.4测量精度 精度：测量结果与真值吻合程度 定性概念 测量精度举例 不精密（随机误差大） 精密（随机误差小） 准确（系统误差小） 不准确（系统误差大） 不精密（随机误差大） 精密（随机误差小） 不准确（系统误差大） 准确（系统误差小) 6
6 基本理论 ◼ § 2.1.4 测量精度 精度： 测量结果与真值吻合程度 定性概念 测 量 精 度 举 例 不精密（随机误差大） 准确（系统误差小） 精密（随机误差小） 不准确（系统误差大） 不精密（随机误差大） 不准确（系统误差大） 精密（随机误差小） 准确（系统误差小）
基本理论 精密度：(precision) 概念：重复测量时，测量结果的分散性 表述： :随机误差的标准差(standard deviation) 准确度： 性质：测量结果与真值的接近程度，系统误差的影响程度 表述：平均值与真值的偏差(deviation) 精确度：（正确度） 性质：系统误差和随机误差综合影响程度 表述：不确定度(uncertainty) 工程表示： 引用误差，最大允许误差相对于仪表测量范围地百分数 △max A= 0.1,0.2,0.5,1.0,1.5,2.5,5.0七级 max-Xmin 7
7 基本理论 精密度：( precision ) 表述： 概念： 重复测量时，测量结果的分散性 准确度： 表述： 精确度：( 正确度) 测量结果与真值的接近程度，系统误差的影响程度 性质： 随机误差的标准差 ( standard deviation ) 性质： 系统误差和随机误差综合影响程度 平均值与真值的偏差( deviation ) 表述： 不确定度 ( uncertainty ) 工程表示：引用误差，最大允许误差相对于仪表测量范围地百分数 0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.5, 5.0 七级 max min max x x A − =
数据处理 §2.2.1算术平均值法 原理：多次重复测量时，取全部测量数据的算术平均值 为测量结果 表述： =+x++= X1X2…Xn-测量数据 n i=l 剩余误差V≠偶然误差 δi -真值 性质： (1) 剩余误差的代数和等于零，即v]=0 算术平均值法可以滤除或减小偶然误差 (2)剩余误差的平方和为最小 2→min 最小二乘法基础 8
8 数据处理 ◼ § 2.2.1 算术平均值法 表述： x1 , x2 , … xn --- 测量数据 原理： 多次重复测量时，取全部测量数据的算术平均值 为测量结果 = = + + + = n i i n x n n x x x x 1 1 2 1 剩余误差 vi 偶然误差 i x x i − xi −真值 性质：（1）剩余误差的代数和等于零，即 算术平均值法可以滤除或减小偶然误差 v = 0 （2）剩余误差的平方和为最小 最小二乘法基础 min v 2 →
数据处理 标准误差σ 用偶然误差表示： n 用剩余误差表示： Bessel公式 n-1
9 数据处理 标准误差 n [ ] 2 = 1 [ ] 2 − = n v 用偶然误差表示: 用剩余误差表示: Bessel公式
数据处理 m组 算术平均值的 No.1 No.2 No.m 标准误差： 1,2,…,n 1,2,,n 1,2,…,n Xl,x2,“,xn X21,X2,,xn Xu,x2,“,m 1=为1-x0 算术平均值作为处理数据 分组重复多次测量，以每组 22 01= j=1 1=1 二·二◆各分组的标谁误差 列 2 无m◆各分组的算术平均值 +++ ,→算术术平均值的标准误差 [2] n(n-1) n 10
10 数据处理 算术平均值的 标准误差： x 分组重复多次测量，以每组 算术平均值作为处理数据