山东理工大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第三章 条件分布

第三章多维随机变量及其分布S3条件分布二维离散型随机变量的条件分布二维连续型随机变量的条件分布08

第三章 多维随机变量及其分布 §3 条件分布 一、二维离散型随机变量的条件分布 二、二维连续型随机变量的条件分布

二维离散型随机变量的条件分布定义设(X,Y)是二维离散型随机变量，分布律为PX = x,Y = y,} = pij,i, j = 1,2,..,对于固定的j，若P[Y=J;}>0，则P(X = x,Y= y,} - Pu(i=1,2,.),P[X = x,Y = y,} =P(Y = y,}P.j称为在Y=J;条件下X的条件分布律对于固定的 i，若PX =x,1>0，则P[X = x,Y = y,} = Pij(j = 1,2,..),P[Y = y,X = x,} =Pi.P(X = x,}称为在X=x,条件下Y的条件分布律(1)P(X =x,[Y = y)}≥0; (2)Z P(X = x,Y =y,}=1.基本性质一0008中个不个高数学工作室不不不

高等数学工作室 2 { } i j P X  x Y  y (i  1,2,), { } { , } j i j P Y y P X x Y y     j ij p p   { } j X xi P Y  y  ( j  1,2,), { } { , } i i j P X x P X x Y y       i ij p p (1) {   }  0; i j P X x Y y (2) { } 1. 1      i i j P X x Y y

SXx1X2xiYP 21y1pupily2P 12P 22pi2:·.yjpljpp2 j1.·..xiX2xiX = k.PijPijPajPX = k]Y = y;}P.jp.jp.jyjyiy2Y =kPijPiPi2P(Y = k/X = x,}Pi.Pi.Pi.o8个不高等数学工作室不个

高等数学工作室 3 X Y x 1 x 2  x i  1 y 2 y  j y  p 11 p 12  p 1 j  p 21 p 22  p 2 j     p i 1 p i 2  p ij     X  k x 1 x 2  x i  { | }j P X  k Y  y j j p p  1 j j p p  2  j ij p p   Y  k 1 y 2 y  j y  { | } P Y  k X  xi i i p p 1 i i p p 2  i ij p p 

C例 1 二维随机变量（X，Y）的分布律为0X=k1X01Y351P1/565/560885/145/28125/285/2801Y=k2(1）求在 X=1 的条件下Y的条件分布律；5315P(2）求在 Y=1的条件下X的条件分布律：282814(3) P(X +Y<2/Y ≤1).解Y=k0X=k0222141PY=k|X=1)P(X=k Y=13773福7o8个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 4 Y  k P{Y  k| X 1} 0 1 2 7 1 7 4 7 2 X  k P{X  k|Y 1} 0 1 3 1 3 2 X k Pk 0 1 8 3 8 5 Y  k Pk 0 1 2 28 3 28 15 14 5

?例 1二维随机变量（X，Y）的分布律为0XY15/561/5605/285/14125/285/28求在X=1 的条件下 Y的条件分布律；(1)(2）求在 Y=1 的条件下 X的条件分布律；(3) P(X +Y<2/Y ≤1).16P(X+Y <2,Y ≤1)456P[X+Y<2|Y≤1)369P(Y ≤1)560008不不不高等数学工作室不不个

高等数学工作室 5 . 9 4 56 36 56 16 P{X Y  2 |Y  1}   { 1} { 2, 1}      P Y P X Y Y

二维连续型随机变量的条件分布定义 3.3.2 i设(X,Y)的概率密度为f(x,y)，它关于 Y 的边缘密度为f(x,y)为在条件Y=下X的条f,(y).若对于固定的y，f,(y)>0，则称fr(y)件概率密度，记为,(x)=(x,)fr(y)称, T()=r为条件Y-下的条件分布面数,fy(y)记为Fxr(xbn)=- P(Xx s xY - )-T. (cax.fy(y)008不不不高等数学工作堂不不不

高等数学工作室 6

定义 3.3.2°设(X,Y)的概率密度为f(x,y)，它关于X的边缘密度为f(x,y) 为在条件X=x下 Y的fx(x).若对于固定的x，fx(x)>0，则称fx(x)条件概率密度，记为f,(x)=(x,),fx(x)同理，称,Tmx(yx)y-[(y 为条件x=x下的条件分fx(x)布函数，记为f(x,y)dyFrx(ylx)= P(Y ≤ ylX = x)=["fx(x)说明f(x,y)= fx(x)fix (ylx)= fr(x)f x (xy).008个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 7 f (x, y) f (x) f ( y x) f (x) f (x y). X Y X Y X Y  

例 2设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为01IY = 4).0Xx>0e-'dy =e-x解 fx(x)=[ f(x,y)dy =其它0y>xet-于是当x>0 时，frix(ylx)=其他el-Jy>1fyix=l(ylx = 1) =其他0P(Y <2]X=1) =["el-"dy=1-e-1008不不个高等数学工作堂不个

高等数学工作室 8       f x  f x y dy X ( ) ( , ) x e   x  0 其它    x y e dy 0    fY X ( y x)  其他 y  x x y e  0 x y o    fY X1 ( y x  1)  其他 y  1 y e 1 0 P{Y  2 | X  1}    2 1 1 e dy y 1 . 1   e

例 2设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为01IY = 4).0xy>0Ie-'dx = ye-fr(y)=[" f(x,y)dx =其它000 时， fxr(xly)=其他01/401/Y = 4) = [~1/ 4dx= 3/4.008不不个高等数学工作堂不个

高等数学工作室 9       fY ( y)  f (x, y)dx y ye   y  0 其它   y y e dx 0 0    f X Y (x y)  其他 0  x  y 1 y 0 x y o    f X Y 4 (x y  4)  其他 1/ 4 0  x  4 0 P{X  1|Y  4}   4 1 1/ 4dx  3 / 4

?3x20<x<1例3设随机变量X的概率密度为f(x）=当观察到其它0X=x时，Y在区间（O,x）内随机取值，求Y的概率密度f,(y).1解0<y<xVfrx(yx)=3xL0其它[3x 0<y<x<10Xf(x,y) = frix(yx)fx(x)10其它['3xdx -,(1-y")0<y<1.. f, (y)= f(x, y)dx其它000810个不个高等数学工作堂不不个

高等数学工作室 10 f (x, y) f ( y x) f (x)  Y X X , 0 3 0 1        其它 x y x fY y f x y dx    ( )  ( , )     (1 ) 2 3 2   y 其它 0  y  1  1 3 y xdx 0 x y o 1