山东理工大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第七章 参数的点估计

第七章参数估计统计推断的基本问题可以分为两大类：一类是参数估计问题，另一类是假设检验问题本章讨论总体参数的点估计和区间估计0

第七章 参数估计

第七章参数估计S1参数的点估计点估计二矩估计法三、最大似然估计法08

第七章 参数估计 §1 参数的点估计 一、点估计 二、矩估计法 三、最大似然估计法

一、 点估计设总体X的分布函数形式已知，但它的一个或多个参数为未知，借助于总体X的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称为点估计问题.引例从一批炮弹中随机抽取10 发进行射击，测得射程数据（单位：m）如下:5322,5326,5305,5290，5315,5305，5345，5340，5329,5353,试估计该批炮弹的平均射程解设炮弹的平均射程为 X，E(X)=E(X)，故用X来估计E(X)2* 1(5322+ 326+ 305 + 5290+ 5315+5305+5345+5340+5329+5353)=5323故该批炮弹的平均射程估计为5323m000个不高数学工作室不不不

高等数学工作室 3   n i xi n x 1 1 (5322 5326 5305 5290 5315 10 1       5305  5345  5340  5329  5353)  5323

定义 7.1.1设总体 X 的分布函数F(x;の)的形式已知，θ是待估参数，X,,X,,,X,是X的一个样本，xj,x,,.,x,是相应的一个样本值.构造一个适当的统计量(X,X,,.,X），用它的观察值(xj,x,,…,x,)作为未知参数0的近似值，称0(X,,X2,,X,)为0的估计量，称(x,x,，.,x,)为θ的估计值，估计量和估计值统称为θ的点估计，简称估计，记为0010不不个高等数学工作堂不个

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二、矩估计法矩估计法是由英国统计学家皮尔逊最早提出的求参数点估计的方法．大数定律可知，样本矩依概率收敛于总体的相应阶的矩，也就是说，当样本容量充分大时，用样本矩作为总体相应阶矩的估计，在概率意义下可以达到任意精确的程度，根据这一原理，矩估计法的基本思想就是之x去代替总体的k阶原点“替换”，用样本的k阶原点矩A二nil矩μ=E（X），并由此得到未知参数的估计量o8不不不高等数学工作堂不不

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定义 7.1.2 设总体 X 的分布函数为F(x;0,,0,,,0），其中,0,,...,0,为待估参数，X,,X,...,X,是来自 X的样本假设总体的 k 阶原点矩μ=E(Xk)存在，(1）计算总体前k阶矩μ, = E(X')= μ,(01,02,.*-,0), 1 =1,2,--,k,(2）解方程0, = 0,(μu, μ2,.., μr), i = 1,2,..,k,(3）用样本矩替换总体矩0, = 0,(A,A,,..,A.), i = 1,2,.,k,称为参数,,,，,0,的矩估计量，矩估计量的观察值称为矩估计值，统称为矩估计C008中个不个高等数学工作室不个

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例 1设总体 X服从参数为的指数分布，未知，X,,X,,,X,是来自X的样本，试求0的矩估计量解 μ =E(X) =,解得 =μ， 于是 =A =X.例 2设总体X在[a,bl上服从均匀分布，a、b未知，X,X,,,X,是来自X的样本，试求a、b的矩估计量b+a解 μ, =E(X) =2(b+a)", =E(X") = D(X)+[E(X)° _(b-α)"+(124解得 a=μf -/3(μ, -μ), b=μi+ /3(μz -μ),P2(X,-X),于是 a=A, -3(A, -A) =X-,PZ(X,-X)b = A, + /3(A, - A ) = X+ni=l00108不不高等数学工作室不不

高等数学工作室 7 ( ) 1  E X   , ,   1 . ˆ  A1  X ( ) 1  E X ( ) 2 2  E X 2  D(X)  [E(X)] , 4 ( ) 12 ( ) 2 2 b a b  a    , 2 b  a  3( ), 2 a  1  2  1 3( ), 2 b  1  2  1 ˆ 3( ) 2 a  A1  A2  A1 ( ) , 3 1 2     n i Xi X n X 3( ) ˆ 2 b  A1  A2  A1 ( ) . 3 1 2     n i Xi X n X

例3设总体X的均值u及方差2都存在，且有2>0，但u与2未知．又设X,X,,.,X,是来自X的一个样本，试求u与α2的矩估计量解 μ =E(X) =μ,μ, = E(X")= D(X)+[E(X)}’ =α2 +μ2, 解得μ= μ, α? = μz - μ?于是p= Af - x, c°- A,-A,-"(X,-X).之x,作为说明不管总体X服从什么分布，均可用样本均值X=n-i总体均值的矩估计，用样本二阶中心矩B，=(X,-X)作为总体方差的矩估计.0008不不不高等数学工作堂不不个

高等数学工作室 8 ( ) 1  E X  , ( ) 2 2  E X 2  D(X)  [E(X)] , 2 2    

说明A =X.(1)u, = E(X),(2) 证 A, -A°-"Z(X,-X)ni=lA.-A-+2x--X-+2X-nX)1(2x?-2X.nX+n*) -1(2x?-2X.2x,+2x)li-1+2(X,-2X,+X)-+2(X,-X).0008个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 9 ( ) . 1 1 2    n i Xi X  n    n i Xi XXi X n 1 2 2 ( 2 ) 1 ( 2 ) 1 2 1 2 X X nX nX n n i   i     ( ) 1 1 2 2    n i Xi nX n (1) ( ), 1  E X . A1  X 2 1 2 2 2 1 1 X X n A A n i    i   ( 2 ) 1 1 2 1 1 2           n i n i i n i Xi X X X n

三、最大似然估计法引例有两个外形完全相同的箱子，甲箱中有99个白球和1个黑球乙箱中有99个黑球和1个白球。做一次试验，从中取出一球，取到白球问白球从哪个箱子取出？甲人们往往会想：“这个白球像极了是从甲箱中取出的”，这个推断符合人们的经验事实，“像极了”就是“极大似然”之意，这种想法常称为极大似然原理00810个不个高等数学工作室个

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