第六章统计量及其分布S1统计总体与随机样本统计总体随机样本二08
第六章 统计量及其分布 §1 统计总体与随机样本 一、统计总体 二、随机样本
数理统计是具有广泛应用的一个数学分支，它以概率论为理论基础，根据试验或观察得到的数据，来研究随机现象，对研究对象的客观规律性作出种种合理的假设和判断概率论所研究的随机变量，它的分布都是假设已知的，在这一前提下去研究它的性质、特点和规律性数理统计中所研究的随机变量，它的分布是未知的，或者是不完全知道的人们是通过对所研究的随机变量进行重复独立的观察，得到许多观察值，对这些数据进行分析，从而对所研究的随机变量的分布作出种种推断.001018中不不不高等数学工作室不不个
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统计总体在数理统计中，人们往往研究有关对象的某一数量指标，为此考虑与这一数量指标相联系的随机试验，对这一数量指标进行试验或观察试验的全部可能的观察值称为总体：一批每一个可能的观察值称为个体；灯泡的寿命总体中所包含的个体的个数称为总体的容量;容量有限的总体称为有限总体，容量无限的总体称为无限总体随机试验的观察值可用随机变量X来表示，该批灯泡寿这样，一个总体对应于一个随机变量X.命的全体就例如，研究某批灯泡的寿命时，关心的数是总体量指标就是寿命，记为X那么，总体可用X来表示，或用其分布函数F(x)表示，称总体X或总体F(x)001018个不不高等数学工作室不不不
高等数学工作室 3 该批灯泡寿 命的全体就 是总体 一批 灯泡的寿命
-二、随机样本在实际问题中，总体的分布一般是未知的，或只知道它具有某种形式而其中包含着未知参数为了推断总体 X的未知特征，从总体X 中抽取 n 个体，其指标值为X,X,,...,X,，称X,X,,..,X,为来自总体 X 的容量为 n 的样本，样本中的个体也称为样品：从总体中抽取样本的过程，称为抽样抽取样本的目的就是用有限个个体来推断总体，为了更准确地推断总体，我们的样本应该具有很好的代表性，为此我们的抽样应尽量满足两个原则：（1）随机性：X,,X,…,X,与总体X有相同的分布，也就是每个个体被抽到的概率都是相等的(2）独立性：X,,X,，…,X,是相互独立的随机变量若样本满足“随机性”和“独立性”原则，则称该样本为简单随机样本，简称样本00l08拉不不个高等数学工作堂不不
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福定义设X是具有分布函数 F的随机变量，X,,X,，,X,是具有同一分布函数 F 的、相互独立的随机变量，则称X,,X,,,X,为从分布函数 F（或总体 F、或总体X）得到的容量为 n 的简单随机样本，简称样本;它们的观察值x,x,，,x,称为样本值，又称为X的 n 个独立的观察值若总体X的分布函数为F(x)，X,,X,,..,X,是来自总体X的一个样本,则(X,,X,,.,X,)的分布函数为 F"(xi,xz,.,x,)= F(x,)若总体X的概率密度为f(x)，X,X,,X,是来自总体X的一个样本，则(X,X,X,)的概率密度为为 f*(xi,x2,..,x,) =IIf(x,)i=l若总体 X的分布律为 P(X = x}= p(x),xe Rx，X,,X2,.-,X,是来自总体X的一个样本，则(X,X,,X,）的分布律为P(X, = x,X, = x2,.,X, = x,} = II p(x,)i-100108中不不不高等数学工作室不不不
高等数学工作室 5 ( , , , ) 1 2 * x x xn f ( ). 1 n i xi f
例1现有一批产品共有N的，为了研究其次品率p，对其进行抽样从中抽取n个产品并逐一检验它们是否合格如果产品为正品，记为0，否则记为1，则总体X服从两点分布：P(X = 1) = p, P[X = 0) = 1- p,若样本X,X,,,X,是一个挨一个地抽取且采取有放回抽样，则X.,X,.,X,相互独立同分布，X,X,,..,X,是简单随机样本;若采取不放回抽样，则PNpN-1P(X, =1/ X, =1) = P(X, = 0/ X = 1) =N-1N-1显然Xi,X,…,X，不是简单随机样本，但当N足够大时，两个概率都接近于p，X,X,，…,X,可近似看作简单随机样本eo中不不不高等数学工作室不不个
高等数学工作室 6 P{X 1} p, P{X 0} 1 p, , 1 1 { 1| 1} 2 1 N pN P X X , 1 { 0 | 1} 2 1 N pN P X X
例 2 设X,X,,..,X,是来自总体 X的样本，E(Xh)=μs,k N+,求证：12Sn证 因X,X,,…,X,为来自总体X的样本,则X,X,,...,X,相互独立且与 X同分布因而X,X，,X,相互独立且与X同分布,.:. E(X)= E(X,) = ... = E(X,) = E(X) = μk,4t-+2 xt →g,k=12..由辛钦大数定理知说明样本矩依概率收敛于相应的总体矩0008个不个高等数学工作室不个
高等数学工作室 7 . 1 1 k n P i k Xi n ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 k k k k E X E X E X E X , k 1,2,. k P n i k k Xi n A 1 1 , k
?12x例3 设X,X,,,X,是来自总体X～元()的样本，求X=ni-l的分布律ahe-r解P(X = k) =k = 0,1,2,k!因X,,X,,.,X,是来自总体X~元()的样本，则X,,X,,….,X,相互独立且与X～ 元(2)同分布，由泊松分布的可加性知nX-2x,~r(na), PunX-h)-(na)'emk = 0,1,2,..k!..P(X= k,= (na)"e-mk = 0,1,2,....k!2000不不个高等数学工作堂不个
高等数学工作室 8 , 0,1,2, ! { } k k e P X k k ~ ( ), 1 nX X n n i i , 0,1,2, ! ( ) { } k k n e P nX k k n , 0,1,2, . ! ( ) { } k k n e n k P X k n