第四章随机变量的数字特征S3协方差、相关系数和矩协方差三相关系数四、n维正态随机变量的重要性质08
第四章 随机变量的数字特征 §3 协方差、相关系数和矩 一、协方差 二、相关系数 三、矩 四、n维正态随机变量的重要性质
引言前面讨论了随机变量的两个数字特征期望和方差，本节讨论描述两个随机变量之间关系的数字特征一一相关系数若随机变量X与Y相互独立，则ELX-E(X)I[Y-E(Y)I= E[X - E(X)IE|Y - E(Y)}=[E(X)- E(X)IE(Y)- E(Y)I= 0,显然，若EIX－E(X)IIY-E(Y)I≠O，则X与Y不独立，而是存在一定关系的0008中不不个高等数学工作室不个
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-一、协方差定义 4.3.1 量EIX-E(X)IY－E(Y)称为随机变量X与Y的协方差， 记为Cov(X,Y),即 Cov(X,Y)= EIIX -E(X)I[Y - E(Y)性质1° Cov(X,Y) = Cov(Y,X), Cov(X,X) = D(X);2°D(X + Y) = D(X)+ D(Y) + 2Cov(X,Y) ;D(aX + bY) = a' D(X) + b’ D(Y) + 2abCov(X,Y);3° Cov(X,Y) = E(XY)- E(X)E(Y):E(XY) = Cov(X,Y)+ E(X)E(Y):Cov(aX,bY) = abCov(X,Y);50Cov(X, + X,,Y) = Cov(X ,Y)+ Cov(X2,Y);60Cov(X,c)= 0, Cov(X,Y +c) =Cov(X,Y).00108个不不高等数学工作室不不不
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新30Cov(X,Y) = E(XY)- E(X)E(Y);证 E{[X -E(X)I[Y -E(Y)})= E[XY - XE(Y)-YE(X)+ E(X)E(Y))= E(XY)-E(X)E(Y)- E(Y)E(X)+ E(X)E(Y)= E(XY)-E(X)E(Y)说明 若X、Y相互独立 →Cov(X,Y)=0.o个不个高等数学工作室不个
高等数学工作室 4 E{[X E(X)][Y E(Y )]} E[XY XE(Y ) YE(X) E(X)E(Y )] E(XY ) E(X)E(Y ) E(Y )E(X) E(X)E(Y ) E(XY ) E(X)E(Y ). Cov(X,Y ) 0
福例 1 设二维随机变量(X,Y)的分布律为X0Y1205/281/565/285/565/285/14求Cov(X,Y).解00211XYYX012Pk|3/2815/285/143/85/8Pk13/285/145/28PkE(X)=5/4, E(Y)=5/8,E(XY)=5/7,15555福而Cov(X,Y)= E(XY)- E(X)E(Y)X748224oo8个个个高等数学工作室不不个
高等数学工作室 5 . 224 15 4 5 8 5 7 5 X pk Y pk XY pk
二、 相关系数Cov(X,Y)定义 4.3.2称为随机变量X与Y的相关系数，记为D(X) D(Y)Cov(X,Y)Pxy'即Pxy D(X) : D(Y)Cov(X,Y) = Pxy D(X) : D(Y).说明相关系数是一个无量纲的量X-E(X) Y-E(YPxr =Cov(=CoD(X)D(Y)D(X)/DY)相关系数是标准化了的X与Y的协方差0008个不个高等数学工作堂不不个
高等数学工作室 6 ) ( ) , ( ) Cov( D Y Y D X X ρXY ). ( ) ( ) , ( ) ( ) Cov( D Y Y E Y D X X E X
S下面推导相关系数的两条性质，并说明相关系数的含义：记均方误差e=E(Y-（a+bX))l，则e可用来衡量以a+bX近似表达Y的好坏程度.e值越小表示a+bX近似Y的程度越高下求a,b，使e达到最小：e=E[(Y-(a+bX)"]= E(Y2)+ b?E(X)+ a2 - 2bE(XY)+ 2abE(X) -2aE(Y),deCov(X,Y)a,= E(Y)- E(X)= 2a +2bE(X)-2E(Y)= 0daD(X)deCov(X,Y) 2bE(X°)-2E(XY)+ 2aE(X)=0 ( b, =LabD(X)将它们代入 e=E[(Y-(a +bX)"]，可得min E[(Y -(a + bX)"I = E[(Y -(a, + b,X))"I = (1- Pr2)D(Y)a,b性质10Pxr/≤1;20Pxy|=1的充要条件是存在常数a,b使P[Y =a+bX}=10008不不不高等学工作室不不1
高等数学工作室 7 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ), 2 2 2 2 E Y b E X a bE XY abE X aE Y [( ( )) ] 2 e E Y a bX , 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 0 2 2 ( ) 2 ( ) 0 2 bE X E XY aE X b e a bE X E Y a e , ( ) Cov( , ) 0 D X X Y b , ( ) Cov( , ) ( ) ( ) 0 D X X Y a E Y E X min [( ( )) ] 2 , E Y a bX a b (1 ) ( ). 2 [( ( )) ] xy D Y 2 E Y a0 b0X
S性质1° Pxy ≤1;2° Pxyl=1的充要条件是存在常数a,b使P(Y =α+bX}=1.证 1° : min E[(Y -(a+bX)"]= E[(Y -(a, +b,X)}]=(1-Px)D(Y) ≥0, 易得 pxyl≤1.2° 若Pxy =1,则E[(Y -(a,+b,X)"]=0,从而0 = E[(Y -(a, + b,X)"I = D[Y -(a, + b,X)I +[E(Y -(a, + b,X)},可得D[Y -(a, +b,X)]=0,E[Y -(a +b,X)]=0,由方差的性质 4°知P(Y-(α,+b,X)=0}=1,即P(Y =α.+b,X}=1反之，若存在a*,b"使P[Y =a*+b*X}=1,即P[Y -(a* + b*X)= 0} =1 = P([Y -(a* +b*X)} =0} =1= E([Y -(a" +b*X)}"} =0, 从而0 = E[Y -(a* +b*X)}"}≥ minE[(Y -(a+bX))"I = E([Y -(a. + b,X)}} =(1-p)D(Y)a.b故有 pxyl =1.008不个高等数学工作堂个不个
高等数学工作室 8 min [( ( )) ] 2 , E Y a bX a b (1 ) ( ) 2 xy D Y [( ( )) ] 2 E Y a0 b0X 0, 0 [( ( )) ] 2 E Y a0 b0X [ ( )] D Y a0 b0X [ ( ( ))] , 2 E Y a0 b0X [ ( )] 0, E Y a0 b0X {[ ( )] } 0, 2 E Y a b X {[ ( )] 0} 1 2 P Y a b X 0 {[ ( )] } 2 E Y a b X min [( ( )) ] 2 , E Y a bX a b {[ ( )] } 2 E Y a0 b0X (1 ) ( ), 2 ρXY D Y
?说明（1）pxy越大，均方误差e越小，表明X与Y的线性关系越紧密．Pxy越小，则X与Y的线性关系越差（2）pxy =1 时，表明Y与X以概率1 存在某种线性关系.（3）PxY=0 时，称X与Y不相关（4）X、Y不相关是X、Y相互独立的必要条件(5) X、Y不相关 台 Pxy =0 台Cov(X,Y)=0台 E(XY) =E(X)E(Y)α D(X +Y) = D(X) + D(Y)0008个不个高等数学工作室个
高等数学工作室 9 XY 0 Cov(X,Y ) 0 E(XY ) E(X)E(Y ) D(X Y ) D(X) D(Y )
?例 2 设随机变量θ在[一元,元|上服从均匀分布，又X= sin0,Y= cosQ,求随机变量X与Y的相关系数Pxysinado = 0, E(Y)=cosOdo = 0.解E(X)=2元2元E(XY)sin cosOde = 0.2元而Cov(X,Y)= E(XY)- E(X)E(Y)=0, Pxy =0, 故X 与 Y不相关又X2 +Y2=1，则X与 Y也不独立00810不不高等数学工作堂不个
高等数学工作室 10 0, XY sin 0, 2 1 ( ) E X d cos 0, 2 1 ( ) E Y d sin cos 0, 2 1 ( ) E XY d