山东理工大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第四章 方差

第四章随机变量的数字特征S2方差方差的定义二三方差的性质常见分布的方差彩四、切比雪夫不等式08

第四章 随机变量的数字特征 §2 方差 一、方差的定义 二、方差的性质 三、常见分布的方差 四、切比雪夫不等式

-引言随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.但在许多场合，仅知道平均值是不够的例如，从甲、乙两厂生产的灯泡中各取五个，寿命（单位：小时）如下:甲厂960103097010201020乙厂70080013007501450虽然两厂灯泡的平均寿命相同，但是甲厂的灯泡寿命和其平均寿命的偏离程度较小，质量比较稳定：乙厂的灯泡寿命和其平均寿命的偏离程度较大，说明质量不稳定，为此需要引进另一个数字特征，用它来度量随机变量的取值与其数学期望的偏离程度这个数字特征就是方差o中不不不高等数学工作堂不不不

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S、方差的定义定义 4.2.1 设 X 是一个随机变量，若EIX－E(X)}存在，则称E(IX-E(X)I 是 X的方差，记为D(X)或Var(X)或(X),即D(X) = Var(X)= E([X - E(X)})D(X)= E(X)-[E(X)}计算公式证 D(X)=E([X -E(X)}"} =E(X2 -2XE(X)+[E(X)}"}=E(X)-2[E(X)} +[E(X)} =E(X)-[E(X)}又E(X2)= D(X)+[E(X)}°.说明（1）方差刻划了随机变量的取值与其数学期望的偏离程度.若D(X)较小，则X的取值比较集中；若D(X)较大，则X的取值比较分散(2）方差的算术平方根D(X)称为均方差或标准差，记为(X)(3）均方差是与X具有相同量纲的量00108个不高数学工作室不不不

高等数学工作室 3 ( ) {[ ( )] } 2 D X  E X  E X { 2 ( ) [ ( )] } 2 2  E X  XE X  E X 2 2 2  E(X )  2[E(X)]  [E(X)] ( ) [ ( )] . 2 2  E X  E X

定理（1）设X为离散型随机变量，分布律为P[X = x} = Pr(k = 1,2,.-.),若[x,-E(X)" p,绝对收敛,则 D(X)=[x -E(X)I"pkk=1（2）设X为连续型随机变量，概率密度为f(x)，若[x-E(X)I'f(x)dx绝对收敛，则 D(X)=[x-E(X)"f(x)dx0008个不个高等数学工作室不个

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S例 1(1) 设X ~ b(1, p), 求D(X);(2) 设X ~ 元(a), 求D(X).XI01解 (1)pk1p1-pE(X)= p, E(X)= p,D(X)= E(X2)-[E(X)P = p- p2 = p(1- p)(2)P(X = k) =e-,k = 0,1,2,.., E(X) = 入,k!2k80E(X) = E[X(X -1)+X] = Ek(k-1)一八+元ek!k=022[=k-2ak8VAEk(k-1)Ten+1=e=+几+元k!台(k -2)!k=2= 2 + 入,:. D(X) = E(X)-[E(X)} = 2.001018个不高等数学工作室不不

高等数学工作室 5 ( ) 2 E X         2 ! ( 1) k k e k k k            2 2 2 ( 2)! k k k e     , 2      E[X(X  1)  X]         0 ! ( 1) k k e k k k    2 2  D(X)  E(X ) [E(X)]  . , 0,1,2, , ! (2) {  }  e  k   k P X k k   E(X)  ,         0 2 2 ! l l l k l e     X pk 0 1 p 1 p E(X)  p, ( ) , 2 E X  p 2 2 D(X)  E(X ) [E(X)] (1 ). 2  p  p  p  p

例 2 (1) 设X ~U(a,b), 求D(X);(2) 设X ~ E(0), 求D(X);(3) 设X ~ N(u,α2), 求D(X)解 (1) E(X)=a+b,2a2 + ab + b?IdxE(X")-Jt*x"f(x)dx -I'x?.3D(X)= E(X")-[E(X)P _ a" +ab+b2(b-a)a+b2312 dx = 202(2)E(X) =0, E(X2)= [°x" f(x)dx = [+° x?0D(X)= E(X)-[E(X)]}2 = 202 -0? = 0001018个不不高等数学工作室不不

高等数学工作室 6 (2)E(X)   , , 2 ( ) a b E X      E(X )  x f (x)dx 2 2 2 2 D(X)  E(X ) [E(X)]     b a dx b a x 2 1 , 3 2 2 a  ab  b  3 2 2 a  ab  b  2 ) 2 (a  b  . 12 ( ) 2 b  a     E(X )  x f (x)dx 2 2      0 2 1 x e dx x   2 , 2   2 2 D(X)  E(X ) [E(X)] 2 . 2 2 2     

福例 2 (1) 设X ~ U(a,b), 求D(X);(2) 设X ~ E(0), 求D(X);(3) 设X ~ N(u,α2), 求D(X)(3)E(X)= μ, D(X)=[x -E(X)} f(x)dx(x-u)2aao2g2= t(x-μ)2/2元0oa--od-2一=α22 dt=g~2元2元ir+ooa-o--od(e) --o'121001018个不个高等数学工作室个

高等数学工作室 7 (3)E(X)  ,    D(X)  [x  E(X)] f (x)dx 2       x   e dx x 2 2 2 ( ) 2 2 1 ( )           t  e dt t x t      2 2 2 2 1 ( )      t  e dt t 2 2 2 2 2 1        t  e dt t 2 2 2 2 2 1           ) 2 ( 2 1 2 2 2 2 t t e d t          ( ) 2 1 2 2 2 t t d e            t  e  e dt t t 2 2 2 2 2 2 2 1 ] 2 1 [     . 2  

二、方差的性质性质 1° 设C是常数，则有D(C)=0性质 2°设 X 是一个随机变量，C 是常数，则有D(CX) = C2D(X)性质3°设X、Y是两个随机变量，则D(X + Y) = D(X)+ D(Y)+ 2E((X - E(X)(Y - E(Y))若X、Y是相互独立，则 D(X + Y)=D(X)+D(Y)推论1若X,X,,...,X,相互独立，则DI2x,I-ZD(X,), DIZc,X,I-Ec,D(X).推论 2 若X, ~ N(μ;,α,)(i =1,2,...,n)且Zc,X,~N(Zc,ul,Zc'o')Xi,X,,X,相互独立，则i-11=0008个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 8 [ ] ( ). 1 2 1      n i i i n i [ ] ( ), D Ci Xi C D X 1 1      n i i n i D Xi D X

推论3设X、Y是两个随机变量，则D(aX + bY) = α"D(X)+ b-D(Y)+ 2abEi(X - E(X)(Y - E(Y))性质 4° D(X)=0 的充分必要条件是PiX = E(X))=1.001018不不不高等数学工作堂不不不

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例 3 设X ~b(n,p), 求D(X)解 设P(A)= p，X表示 n 次贝努利试验下事件 A 发生的次数，可知X ~ b(n,p)A在第k次试验发生1记Xk =k = 1,2,...,n,A在第k次试验不发生0易知X,服从参数为p的（0-1)分布，X=X, +X,+.·+X,.. D(X)= D(X + X, + ...+ X,) = D(X)+ D(X2)+...+ D(X,)= np(1 - p).000810个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 10 , 0 1     在第 次试验不发生 在第 次试验发生 记 A k A k Xk k  1,2,,n, . X  X1  X2  Xn ( ) ( )  D X  D X1  X2  Xn ( ) ( ) ( )  D X1  D X2  D Xn  np(1 p)