山东理工大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第二章 连续型随机变量及其概率密度

第二章随机变量及其分布84连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度函数一、几个常用的连续型随机变量的分布0

第二章 随机变量及其分布 §4 连续型随机变量及其概率密度 一、连续型随机变量及其概率密度函数 二、几个常用的连续型随机变量的分布

?连续型随机变量及其概率密度函数定义 2.4.1 如果对于随机变量 X的分布函数F(x)，存在非负函数f(x),使对于任意实数x有 F(x)=「f(t)dt,则称X为连续型随机变量,其中f(x)称为X的概率密度函数，X服从的分布称为连续型分布Tm f(x)dx = 1.基本性质 1° 非负性 f(x)≥0；2° 规范性说明上述两条性质同时成立是判定一个函数f(x)是否为某一随机变量X的概率密度的充要条件性质 3°对于任意实数xi,xz(x, ≤x)P[x,<X ≤x,}= F(x,)- F(x) =[ f(x)dx-[ f(x)dx = [ f(x)dx.性质 4° 若f(x)在点x 处连续，则有 F(x)= f(x)性质 5° F(x)处处连续P(x< X≤x+Ax) =/f(x)dx ~ f(x)Ax (I△x<<1).说明008个不个高等数学工作室不不0

高等数学工作室 2 { } P x1  X  x2 ( ) . 2 1 f x dx x x ( ) ( )   F x2  F x1 P{x  X  x  x} f x dx x x x    ( )  f (x)x (| x | 1). f x dx f x dx x x     2 1 ( ) ( )

f(x)Sx0X x2由性质2°知道，介于曲线f(x)和x轴之间的面积等于1；由性质 3°知道，落在区间(xj,x,内的概率P(x,<X≤x,}等于区间(xj,x,l上曲线f(x)之下的曲边梯形的面积.2008不不个高等数学工作堂不个

高等数学工作室 3 o x f (x) 1 S1 1 x  2 x 

R说明（1）若 X为连续型随机变量，则对任一实数α，有P(X = a}= 0.证（1）设X的分布函数为 F(x)，显然P(X = a) = F(a)- F(a-)= 0.（2）设X为连续型随机变量，且a≤b，有P(a≤X≤b) = P(a<X ≤b) = P(a≤X<b) = P(a<X<b) = [" f(x)dx（3）概率为0的事件不一定是不可能事件．同样，概率为1的事件也不一定是必然事件如X ~ N(0,1), 而PX = 0 =0, (X =0} ±;又如X～ N(0,1), 而P[X ±0} =1,(X ±0}±S008拉个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 4 {  }  ( )  ( )  0.  P X a F a F a P{a  X  b}  P{a  X  b}  P{a  X  b}  P{a  X  b} f (x)dx. b a 

0.3-1<x<0例1判断分段函数 f(x)=31-x 0≤x<1其它Lo是否为概率密度解 [ f(x)dx =I'0.3dx+['(1-x)dx =0.8 ±1,f(x)不是概率密度eog个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 5   f (x)dx       1 0 0 1 0.3dx (1 x)dx  0.8  1

例2设随机变量X具有概率密度kx0≤x<3Xf(x)=322-3≤x≤4,2其它[0(1) 确定常数k；(2) 求P[1<X≤,);(3) 求X的分布函数 F(x). (x)dx - J kxdx +,(2-号)dx =1, -. k =解 (1)因1(2) Pl<xs- -r(n) -Tx+fp(2-x-0008个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 6   f (x)dx      4 3 3 0 ) 2 (2 dx x kxdx  1, . 6 1 k  } 2 7 (2) P{1  X    2 7 1 f (x)dx      2 7 3 3 1 ) 2 (2 6 dx x dx x . 48 41 

新X-60≤x<3x-2(2) X的概率密度为 f(x)=323≤x≤4,0其它0F(x) = P(X≤x)=[" f(x)dxx<0Odx =0?t20≤x<3x[ odx +dx =126AoC2oa+ro- --3+2x-Odx +3≤x<424'0dx + J.dx +J,(2-)dx +'Odx =14≤x008不不不高等数学工作室不不不

高等数学工作室 7 , 0 3 4 2 2 0 3 6 ( )           其它 x x x x f x F(x)   x  P{X  x} f (x)dx       0 x  0   x dx x 0 6    x dx x 3 ) 2 (2   3 0 6 dx x  1 12 2 x  4 3 2 2 x    x   x 0dx  0 0dx  0 0dx  0 0dx   3 0 6 dx x    4 3 ) 2 (2 dx x   x dx 4 0 0  x  3 3  x  4 4  x

0x<0例 3 设连续型随机变量X的分布函数F(x)=3Ax20≤x<2,其它1试求：（1）X的概率密度f(x)；（2）对X进行独立重复观测三次，Y表示三次独立重复观测中事件X≤发生的次数，求PY≤2解 (1) 因F(x)连续，lim F(x)=4A，F(2)=1，A=4X-→20≤x<2X.:. f(x)=32L0其它(2)P(Xs=Fg) -36Y ~ b(3,3646655: PV 2-1-PIY -3 -1-C(o'al-104665600018不不高等数学工作堂不个

高等数学工作室 8 . 0 0 2 2 1 ( )          其它 x x f x , 36 1 ) 3 1 } ( 3 1 (2)P{X   F  ), 36 1 Y ~ b( 3,  P{Y  2}  1 P{Y  3} 3 3 0 3 ) 36 1 ) (1 36 1  1 C (  . 46656 46655  . 4 1 A 

-二、几个常用的连续型随机变量的分布1、均匀分布定义 2.4.2设连续型随机变量X具有概率密度a<x<bf(x)=3b-a其它0则称X在区间(a,b)服从均匀分布，记为X ～U(a,b)1a≤x≤b类似地，若X～U[a,bl，则f(x)=3b-a[0其它若X～U(a,b)，其分布函数为↑F(x)0x<a1bx-aF(x)=a≤x<b.b-ax1b≤xao000不个高等数学工作堂不个

高等数学工作室 9 . 10 ( )       b x a x b b a x a x a F x x o F(x)  b 1 a

说明若X～U(a,b)，则它落在(a,b)内的任一子区间[c,dl内的概率与子区间长度成正比而与位置无关证Plc32) = J f(x)dx-T-100810不不高等数学工作堂不个

高等数学工作室 10 P{c  X  d}   d c f (x)dx    d c dx b a 1 . b a d c    , 0 20 35 15 1 ( )         其它 x f x (1)P{27  X  32} dx   32 27 15 1 . 3 1  (2)P{X  32} f x dx    32 ( ) dx   35 32 15 1 . 5 1 