山东理工大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第二章 随机变量的分布函数

第二章随机变量及其分布S3随机变量的分布函数分布函数及其性质二、举例08

第二章 随机变量及其分布 §3 随机变量的分布函数 一、分布函数及其性质 二、举例

-一、分布函数及其性质定义 2.3.1设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x)=PX≤x称为X的分布函数Xxx显然，对于任意实数xi,xz(x,<x)，有P(x, <X≤x,}=Pl"X≤x,"-"X≤x"} = P(X≤x,}-P(X≤x}= F(x,) - F(x,).说明分布函数F(x)反映了X在区间(-o0,x|取值的概率,还可以用来计算X在任一区间取值的概率，故分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性.008中不不个高等数学工作堂不个

高等数学工作室 2 { } P x1  X  x2 {" " " "}  P X  x2  X  x1 { } { }  P X  x2  P X  x1 ( ) ( ).  F x2  F x1 X x . x

F(x) = P(X ≤x)P(x, <X ≤x,}= f(x,)-f(x)1°基本性质（单调不减性）F(x)是一个不减函数;2°(有界性） 0≤F(x)≤1，且F(-o0)= lim F(x)= 0, F(o)=lim F(x)=1;3°（右连续性）F(x)处处右连续说明上述三条性质是判断一个函数是否为某随机变量的分布函数的充要条件说明若X的分布函数为F(x)，则P[X <a} = lim P[X≤x} = F(a );P[X =a)= P(X ≤a)-P[X <a) = F(a)-F(a ),P/a ≤ X≤b}= P(X ≤b)- P(X <a) =F(b)-F(a)oo8个个高等数学工作室个不个

高等数学工作室 3 ()  lim ( )  1;  F F x x F(x)  P{X  x} { } ( ) ( ) 1 2 2 x1 P x  X  x  f x  f { } { } { } ( ) ( ),  P X  a  P X  a  P X  a  F a  F a

二、举例例1判断下列函数是否为分布函数？00x1x≥1解F(+8) = +8,F(x)不是分布函数F,(0-)=0 ± F,(0)，F,(x)不是分布函数F,(x)不能单增，F,(x)不是分布函数008个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 4 ( ) , F1    (0 ) 0 (0), F2   F2 

例 2设随机变量 X的分布律为-123XPk求常数a及X的分布函数，并计算P<X≤,)，P(2≤X≤3).解由分布律性质知a20x<-1P(X = -1) =1/ 4-1≤x<2F(x)= P(X≤x) =P(X = -1}+ P[X = 2) = 3/42≤x<33≤xoo8不不不高等数学工作室不不个

高等数学工作室 5 X p k  1 2 3 4 1 4 1 a      x x x x         3 2 3 1 2 0 1 P{X  1} P{X  1}  P{X  2} 1 F(x)  P{X  x}  1/ 4  3/ 4

0x<-1JF(0)1/4-1≤x<2F(x)=3/42≤x<313≤xPe<Xst-Fg)-Fe-22231HR一3P(2≤X≤3) =F(3)-F(2 )=4.设分布律 P[X = x,}= P,k =1,2,，则分布函数为0x<xiF(x) = P(X≤x)PiX,≤x<x2Ep(X=x)=F(x)=P(X≤x) =P +P, X,≤x<x3SZpr.XSX008个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 6 } 2 5 2 3 P{  X  ) 2 3 ) ( 2 5  F(  F P{2  X  3} . 4 3  o x F(x) 1 2   1 3    1  F(x)     x x k k P{X x }  .   x x k k p  P{X  x} , 2 1  (3) (2 )   F  F     F(x)  x x x x         3 2 3 1 2 0 1 1/ 4 1 3/ 4 F(x)  P{X  x} . 0 1 2 2 3 1 1 2 1              p p x x x p x x x x x

0x<0例3设随机变量X的分布函数为F(x)=^x+0.330≤x<0.51x≥0.5求: (1)p(X = 0); (2)p[X = 0.3), (3)p[0 < X ≤ 0.6); (4)p(0 ≤X ≤0.6)解 P(X = 0) =F(0)-F(0-) = 0.3-0 =0.3,PX = 0.3) = F(0.3)- F(0.3-) = 0.6 - 0.6 = 0,P(0 < X ≤ 0.6) = F(0.6) - F(0) =1-0.3 = 0.7,P[0 ≤X ≤0.6} = F(0.6) - F(0 ) =1-0=1.0008个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 7 { 0} (0) (0 )  P X   F  F  0.3  0  0.3, { 0.3} (0.3) (0.3 )  P X   F  F  0.6  0.6  0,  1 0.3  0.7,  1 0  1

?例4一个靶子是半径为2m的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离．试求随机变量X的分布函数解当x<0时, F(x)=PX≤x}=0;2t2当0≤x<1时,F(x)= P[X≤x} =元·22当1≤x时， F(x)=P[X≤x}=10x<0X0≤x<1... F(x) =411≤x7001018个不个高等数学工作室不个

高等数学工作室 8 F(x)  P{X  x}  0; F(x)  P{X  x} ; 2 42 22 x x     F(x)  P{X  x}  1. . 1 1 0 1 40 0 ( ) 2       x x x x F x

习题1、若X服从参数为p的（0-1）分布，求X的分布函数001018不不个高等数学工作堂不个

高等数学工作室 9

1、若X服从参数为p 的（0-1）分布，求X的分布函数1解XIDpk0x<0F(x)= P(X ≤x} =} P(X = 0) =1- p0≤x<11≤xP[X = -1) + P(X = 2) =10010个不个高等数学工作室个

高等数学工作室 10 X p k 0 1 1  p p      x x x     1 0 1 0 0 P{X  0} P{X  1}  P{X  2} F(x)  P{X  x}  1 p  1