第五章随机优势 tochastic de 本章主要参考文献:174,135,93Bawa, SD a research bibliography,MS,1982,698-712 §51 Markowitz模型 记:x,:投资于i种股票的资金份额, R1:投资于i种股票的每元资金的回收率 石 x=1 则(x1,x2…,xn)称为有价证券混合( portfolio mixes).显见总收益Y为 R 由于Ri是随机变量,故Y也是随机变量设Y的分布为F(y),概率密度函数为fy,则有价 证券的 Markowitz模型为 MAX{E(Y)=∑E(R1)x, ∑可 (2) Markon忆z模型的含义:对给定的风险水平V,即(2式,选择有价证券混合,使之有最大的期 望收益。该模型的解称为有效EV有价证券混合 §52优势原则 Dominance Principle) 最简单的优势原则:(强随机优势) 1按状态优于 定义:l(e,a1)≤le,a,)v6∈0,且至少对某—个θ,严格的不等式成立,则称a 按状态优于a 例,损失矩阵如下,a1按状态优于a a3 7 2 同样,可以称a1较之a2处于优势(具有随机优势)或称a2处于被支配地位 2EV排序 定义:设随机事件的收益的两种概率分布F,G,F的均值不少于G,方差不大于G 即E(F)≥B(G),V(F)≤V(G)且至少有一严格不等式成立,则称F按EV准则较G有优势, 此原则合理,但条件太强
5- 1 第五章 随机优势 Stochastic Dominance 本章主要参考文献: 174, 135, 93 Bawa, S D a research bibliography, M S , 1982, 698-712 §5.1 Markowitz 模型 记： xi : 投资于 i 种股票的资金份额, Ri : 投资于 i 种股票的每元资金的回收率; 若 i n = 1 xi = 1 则 ( x1 , x 2 ,… ， x n )称为有价证券混合(portfolio mixes).显见总收益 Y 为： Y = i n = 1 Ri xi 由于 Ri 是随机变量，故 Y 也是随机变量.设 Y 的分布为 F(y)，概率密度函数为 f(y),则有价 证券的 Markowitz 模型为： MAX{E(Y) = i n = 1 E( Ri ) xi } (1) s.t. i n = 1 j n = 1 ij xi x j (2) i n = 1 xi = 1 (3) Markowitz 模型的含义：对给定的风险水平 V,即(2)式，选择有价证券混合，使之有最大的期 望收益。该模型的解称为有效 EV 有价证券混合. §5.2 优势原则(Dominance Principle) 一、最简单的优势原则：(强随机优势) 1.按状态优于： 定义：l(θ , ai ) ≤ l(θ , a j ) θ ∈Θ , 且至少对某一个θ ，严格的不等式成立， 则称 ai 按状态优于 a j . 例，损失矩阵如下， a1 按状态优于 a2 a1 a2 a3 1 4 7 2 2 6 6 8 3 3 4 7 同样，可以称 a1 较之 a2 处于优势(具有随机优势)或称 a2 处于被支配地位 2.E—V 排序 定义： 设随机事件的收益的两种概率分布 F，G，F 的均值不少于 G，方差不大于 G， 即 E(F)≥ E(G)，V(F)≤ V(G)且至少有一严格不等式成立，则称 F 按 E—V 准则较 G 有优势， 此原则合理，但条件太强
3. Markowitz模型 方差给定(相同),均值大者为优 、为什么要研究优势原则 后果集 C 条件C 决策人的价值判断 后果及其概率可以用抽奖来表示 为了定量计算,要根据决策人的价值判断(公理,条件)来确定实值效用u 由于决策人的认识偏差及量化误差,确定唯的较准确的效用存在较大困难。 但是,如果存在某种效用函数的类Uc(符合条件C),Vu∈U均有a1>a2(记作a1>。a2) 则可避免确定唯一的效用函数的困难。 作用:①删除非优势(被支配)行动,缩减有效行动集, ②更深入了解决策问题的特点 优势原则的一般表示 设决策人希望期望效用极大,采用a,时收益y的效用为uy)y的分布为f,(y),则采取行 动(方案)a的期望效用 若a优于a则需∫(y)比f(y)占优势 即「0)2) 采用优势原则的目的是由于u(y)设定存在困难希望,通过对uy)作某种总体要求(例如单增) 使∫(y和∫(y)在满足一定条件时,(4式成立
5- 2 3. Markowitz 模型 方差给定(相同)，均值大者为优。 二、为什么要研究优势原则 后果及其概率可以用抽奖来表示 为了定量计算，要根据决策人的价值判断(公理，条件)来确定实值效用 u. 例 礼品 抽奖 1 0.5 0.5 10元 0 ·由于决策人的认识偏差及量化误差，确定唯一的较准确的效用存在较大困难。 但是，如果存在某种效用函数的类 UC (符合条件 C)， u∈ UC 均有 a1 250元 a2 (记作 a1 c a2 ) 则可避免确定唯一的效用函数的困难。 ·作用：①删除非优势(被支配)行动，缩减有效行动集， ②更深入了解决策问题的特点 三、优势原则的一般表示 设决策人希望期望效用极大, 采用 a j 时收益 y 的效用为 u(y), y 的分布为 f j (y), 则采取行 动(方案) a j 的期望效用 u( a j )= u − (y) f j (y)dy 若 a j 优于 ai 则需 f j (y)比 f i (y) 占优势： 即 u − (y) f j (y)dy≥ u − (y) f i (y)dy (4) 采用优势原则的目的是由于 u(y)设定存在困难希望，通过对 u(y)作某种总体要求(例如单增) 使 f j (y)和 f i (y)在满足一定条件时，(4)式成立。 5-2
§53一、二、三等随机优势 第一等随机优势FSD( First- Degree s d) 1第一类效用函数U(单增有界) 记u的定义域I为[ab],ab)记作Io U1={和u在I上连续有界,在Io上u20} 2.第一等随机优势定义 当u∈U1,且对1上所有y有F,(y)≥F,(y),则称行动a1比起a,具有第一等随机优 势记作a,>1a 3例 1/6161616161/6 F(Y 2/3 1/3 F(X) y 由EV排序E(x)=3E(y)=8/3,v(x)2,vy)=14/9无法判定优劣由第一等随机优势可知 4. Note 在实际使用时,只要描出F,(y)与F,(y),若F,(y)在F,/(y)的左侧,则F,(y)>1F,() 可删掉F 若二条曲线有效叉点,第一等随机优势无法判定优劣。 F,(y)对F,(y没有优势时无法判定F,(y对F(y)有优势,只能说这种类型的优势原则无 法判别a,与a1的优劣 二、第二等随机优势SSD 1第二类效用函数:(递增,凹) U2={uu∈U1u在I上连续有界,在I上u”20} 2第二等随机优势定义 当u∈U2,且对I上所有z F;(y)-F,(y)j20 则称方案j较i具有第二等随机优势,记作:a>2a
5- 3 §5.3 一、二、三等随机优势 一、第一等随机优势 FSD (First-Degree S D) 1.第一类效用函数 U (单增有界) 记 u 的定义域 I 为［a,b］,(a,b)记作 I 0 U1 = {u|u 和 u’ 在 I 上连续有界，在 I 0 上 u’≥ 0} 2.第一等随机优势定义： 当 u∈ U1 ,且对 I 0 上所有 y 有 F i (y) ≥ F j (y)，则称行动 a j 比起 ai 具有第一等随机优 势,记作 a j 1 ai . 3.例： 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 x 1 4 1 4 4 4 y 3 4 3 1 1 4 由 E—V 排序 E(x)=3,E(y)=8/3;v(x)=2,v(y)=14/9;无法判定优劣.由第一等随机优势可知 x 1 y 4.Note： ·在实际使用时，只要描出 F i (y)与 F j (y) ，若 F i (y) 在 F j (y)的左侧，则 F j (y) 1 F i (y), 可删掉 F i ; ·若二条曲线有效叉点，第一等随机优势无法判定优劣。 ·F j (y) 对 F i (y)没有优势时无法判定 F i (y)对 F j (y)有优势, 只能说这种类型的优势原则无 法判别 a j 与 ai 的优劣. 二、第二等随机优势 SSD 1.第二类效用函数：(递增，凹) U 2 = { u| u∈ U1 ,u’’ 在 I 上连续有界，在 I 0 上 u”≥ 0} 2.第二等随机优势定义： 当 u∈U 2 ，且对 I 上所有 z − z [ F i (y) - F j (y)]dy ≥ 0 则称方案 j 较 i 具有第二等随机优势，记作 : a j 2 ai
3例(52例P75 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 F(y) 由第一等随机优势无法判别 根据第二等随机优势,可知Ⅹ>Y 对任意y [F(Y)-F(X)≥0 作图:①开始上升较早(快)的不可能占优势 ②交点后F(X)增加的面积阴影B)应小于等于交点 前比F(Y)小的面积。则F(X)2F(Y) 主要问题:对概率分布函数的“左侧尾部″敏感性 三、第三等随机优势TSD 1第三类效用函数U3(正三阶导数) U3={ulu∈U2,u”在I上连续,在Io上u”>0 由于u(x)>0不易判别,而子类:递减的厌恶风险的效用函数U4易于判别 Ud={ulu∈U2,r'在I上是连续,有界,非正的} 2第三等随机优势定义 当uy)∈U3如对I上所有z有EF,(y)≥EF,(y 且∫「IF,(F1)d0则方案比i有第三等随机优势 3例:(P76例5.3)14 1/4 11
5- 4 3.例(5.2 例 P75) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 x 1 1 4 4 4 4 y 0 2 3 3 4 4 1 2 3 4 1 2/3 1/3 F(x) F(y) A B 由第一等随机优势无法判别 根据第二等随机优势，可知 X 2 Y ∵ 对任意 y [ − z F(Y)-F(X)≥ 0 4.Note. ·作图：①开始上升较早(快)的不可能占优势 ②交点后 F(X)增加的面积(阴影 B)应小于等于交点 前比 F(Y)小的面积。则 F(X)〉2F(Y) ·主要问题：对概率分布函数的“左侧尾部”敏感性 三、第三等随机优势 TSD 1.第三类效用函数 U3 (正三阶导数) U3 ={ u | u∈ U 2 , u”’ 在 I 上连续，在 I 0 上 u’”>0} 由于 u”’(x)>0 不易判别, 而子类：递减的厌恶风险的效用函数 U d 易于判别. U d ={ u | u∈ U 2 , r’在 I 上是连续，有界，非正的} 2.第三等随机优势定义： 当 u(y)∈ U3 如对 I 上所有 z 有 E[F j (y)]≥ E[F i (y)], 且 [ ' − − z z F i (y)- F j (y)]dydz≥ 0, 则方案 j 比 i 有第三等随机优势 3.例：(P76 例 5.3) 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 X 13 11 11 11 Y 10 12 12 12
F(y) F(x) 如图,由于F(y)上升较早,由第二等SD,Y不可能是优势方案,在(115,13)区间 ∫FF(0故用SS无法判别谁有优势 据TSD①E[X]=EY] e「FNx20 所以ⅹ较之Y有第三等随机仇 FSD、SSD、TSD是逐次对f(y)与f()之差进行积分,积分差在I上非负j比i占优 FSD的判别:「L(y)-f(y)20即F,)-F,(小≥0 SS的判别:D(2)=」[F,(y)-F(y20 TSD的判别:Dz)=」D()d20 性质:i,非对称性 i,传递性 i,TSD→SD→FSD cU3cU2∈U1 四、N等随机优势 从理论上可以通过对分布函数之差的多重积分来研究更高等级的随机优势, Tehranian(1980) 就这样做过。然而很难把N)3等随机优势所要求的U(y)中所蕴含的风险态度的假设表达清 楚。计算的复杂性也是不言而喻的
5- 5 如图，由于 F(y) 上升较早，由第二等 SD， Y 不可能是优势方案，在(11.5，13)区间， [ − z F(y)-F(x)≤ 0,故用 SSD 无法判别谁有优势. 据 TSD:①E[X]=E[Y] ② [ ' − − z z F(Y)-F(X)]≥ 0 所以 X 较之 Y 有第三等随机优势. 4.Note ·FSD、SSD、TSD 是逐次对 f y i ( ) 与 f y j ( ) 之差进行积分，积分差在 I 上非负 j 比 i 占优 势 FSD 的判别： [ − z f y i ( ) - f y j ( ) ]≥ 0 ,即[ F i (y) - F j (y)] dy ≥ 0 SSD 的判别：D(z) = − z [ F i (y) - F j (y)]dy ≥ 0 TSD 的判别： D(z’)= D z z ( ) ' − dz≥ 0 ·性质：i, 非对称性 ii, 传递性 iii, TSDSDFSD U d U3 U 2 U1 四、N 等随机优势 从理论上，可以通过对分布函数之差的多重积分来研究更高等级的随机优势，Tehranian(1980) 就这样做过。然而很难把 N〉3 等随机优势所要求的 U(y)中所蕴含的风险态度的假设表达清 楚。计算的复杂性也是不言而喻的