《决策分析》第十一章 多目标决策

第十一章多目标决策 ( Multi-objective Decision-making) 主要参考文献68,111 §11序言 MA:评估与排序 MCDP MO:数学规划 问题的数学表达 N个决策变量x={x1,x2…,x} n个目标函数f(x)=(f(x),f2(x),…,fn(x) 个约束条件了∈X即8(x)<0k=1…m (1)不失一般性,MODP可表示成 ∫1(x),f2(x)…,fn(x)} t. 这是向量优化问题,要在可行域X中找一x°,使各目标值达到极大 通常x3并不存在,只能找出一集非劣解 (2)若能找到价值函数vf1(x),f2(x)2…,fn(x)则MODP可表示成 P2 Max V((x),f2(x),,f,(x)) 这是纯量优化问题,困难在于ⅴ如何确定。 最佳调和解( Best Compromise Solution) P3 DR(A(X),2(X),f,(x) st 即根据适当的 Decision rule在X中寻找BCS 常用的 Decision rule:maxV maxed min d,(.f) 求BCS必须引入决策人的偏好

11- 1 第十一章 多目标决策 (Multi-objective Decision-making) 主要参考文献 68, 111 §11.1 序言 MA： 评估与排序 MCDP MO： 数学规划 一、问题的数学表达 N 个决策变量 x • = { x1 , x 2 ,… , xN } n 个目标函数 f • ( x • ) = ( f 1 ( x • ), f 2 ( x • ),… , f n ( x • )) m 个约束条件 x •  即: gk ( x • ) 0 k=1,… ,m x •  0 (1) 不失一般性，MODP 可表示成： P1 Max { f 1 ( x • ), f 2 ( x • ),… , f n ( x • )} s.t. x •  这是向量优化问题，要在可行域 X 中找一 x S • ，使各目标值达到极大。 通常 x S • 并不存在，只能找出一集非劣解 x • * (2) 若能找到价值函数 v( f 1 ( x • ), f 2 ( x • ),… , f n ( x • )) 则 MODP 可表示成： P2 Max v ( f 1 ( x • ), f 2 ( x • ),… , f n ( x • )) s.t. x •  这是纯量优化问题，困难在于 v 如何确定。 二、最佳调和解(Best Compromise Solution) P3 DR ( f 1 ( x • ), f 2 ( x • ),… , f n ( x • )) s.t. x •  即根据适当的 Decision Rule 在 X 中寻找 BCS x c • 常用的 Decision Rule: max V maxEU min d p ( f • -  f • ) 求 BCS 必须引入决策人的偏好

决策人偏好信息的获取方式 1在优化之前,事先一次提供全部偏好信息 如:效用函数法,字典式法,满意决策,目的规则 2在优化过程中:逐步索取偏好信息 n: STEM SEMOP Geoffrion, SWT 3在优化之后:事后索取偏好,由决策人在非劣解集中选择 i,算法复杂,决策人难理解,ⅱ计算量大, ⅲ决策人不易判断各种方式的利弊比较 黄庆来[1类表 §112目的规划法 适用场合 决策人愿意并且能用 优先级P( Preemptive priority) 权 目的∫(Goal 来表示偏好 理想点f∫"( Ideal) 距离测度的选择 d,((x)-f)=wI,(x)-fIP) 范数p的意义和作用 绝对值范数 p=2欧几里德范数 11-2

11- 2 三、决策人偏好信息的获取方式 1.在优化之前，事先一次提供全部偏好信息 如：效用函数法，字典式法，满意决策，目的规则 2.在优化过程中：逐步索取偏好信息 如：STEM SEMOP Geoffrion, SWT 3.在优化之后：事后索取偏好，由决策人在非劣解集中选择 i， 算法复杂，决策人难理解， ii,计算量大， iii,决策人不易判断各种方式的利弊比较 黄庆来[111]的分类表: §11.2 目的规划法 适用场合： 决策人愿意并且能用 优先级 P (Preemptive priority) 权 W (Weight) 目的  f • ( Goal ) 来表示偏好 理想点 f * • ( Ideal ) 一、距离测度的选择 d f x f p ( ( )  ) • • • − = { | ( )  w f x f | } j j j p p •  − 1 范数 p 的意义和作用 p=1 绝对值范数 p=2 欧几里德范数

p=∞契比E夫范数 ↑A(6,6) C(1,0) B(6,0) 123456 在上图中,B、C点到A的距离 fr f2 d d2 d AB间的距离066666 AC间的距离5 64|574 p从1→∞时最大偏差所起作用越来越大, 目的规划问题的表述 in(d(()-1)=w()-P 三、分类 1线性目的规划p=1 J,g为线性x连续。w,∫事先给定 2整数目的规划除x各分量为整数外,均同线性目的规划 (例:人才规划 3非线性目的规划:p=1,w,f事先给定 J,gk为非线性,X为凸集,x连续 4调和规划和移动理想点法:1≤p≤∞w事先给定 ∫=∫是移动的理想点 5字典序法p=1 P》P2》.》PL 6STEM法P=∞ ∫为理想点,权由计算得出 7 SEMOP目的标定为区间,不是固定点 11-3

11- 3 p =∞契比 E 夫范数 在上图中，B、C 点到 A 的距离 f 1 f 2 d1 d2 d3 d AB 间的距离 0 6 6 6 6 6 AC 间的距离 5 4 9 6.4 5.74 5 p 从 1→∞时最大偏差所起作用越来越大， 二、目的规划问题的表述 min{ d f x f p ( ( )  ) • • • − = { | ( )  w f x f | } j j j p p •  − 1 } s. t. x •  即: gk ( x • ) 0 k=1,… ,m x •  0 三、分类 1.线性目的规划 p = 1 f j , gk 为线性; x • 连续; w,  f • 事先给定 2.整数目的规划 除 x • 各分量为整数外，均同线性目的规划 (例：人才规划) 3.非线性目的规划： p=1， w,  f • 事先给定 f j , gk 为非线性，X 为凸集， x • 连续 4.调和规划和移动理想点法: 1 p w 事先给定  f • = f * • 是移动的理想点 5.字典序法 p = 1  f • = f * • P1》P2》… 》PL 6.STEM 法 P=∞  f • = f * • 为理想点，权由计算得出 7.SEMOP 目的标定为区间，不是固定点

四、例 某车间生产甲、乙两种产品,产量分别为x1和x2,产品甲每单位需2个单位的劳动力和3 个单位 原料利润为2;生产产品乙需3个单位劳动力和15个单位原料利润为3。在下一计划期间 车间有12单劳动力12单位原料。 假定车间主任有如下目标 (1)利润至少为6个单位, (2两种产品产量经尽可能保持x1:x2=3:2, (3)劳动力充分利用 解:按传统的线性规划,使利润最大 max 2 st.2x1+3x2≤12(劳力约束) 3x1+1.5x2≤12(原料约束) ≥0 用图解法可得x1=3,x,=2时利润最大为12 X2 原料约束 产量成比例 利 劳动力约束 五、例续上例 已知条件中产品甲利润改为4,其余均不变。 车间主任希望改为:最低利润12单位 (2)产量比例为1,即x=x2;(3)充分利用原料 解:新的目标为4x1+3x2≥12(最低限度利润 (产量比例) 3x1+1.5x2=12(材料充分利用) 设定偏差变量d1:利润d2产量比例d3:原料d4劳动力 利用正、负偏差变量可得 min Pid, + Pi(d2 +d2)+P3d, st4x1+3x2-d1-+d1+212(利润目标) x1x2-d2+d2+=0(产量比例) 3x1+1.5x2+d3=12(材料充分利用) 劳动力约束) 本题可以用改进的单纯形法求解(见pp217-221),也可用图解法求解

11- 4 四、例： 某车间生产甲、乙两种产品，产量分别为 x1 和 x 2 ，产品甲每单位需 2 个单位的劳动力和 3 个单位 原料,利润为 2；生产产品乙需 3 个单位劳动力和 1.5 个单位原料,利润为 3。在下一计划期间 车间有 12 单劳动力 12 单位原料。 假定车间主任有如下目标： (1)利润至少为 6 个单位， (2)两种产品产量经尽可能保持 x1 ： x 2 = 3：2， (3)劳动力充分利用 解：按传统的线性规划，使利润最大： max 2 x1 + 3 x 2 s. t. 2 x1 + 3 x 2 ≤ 12 (劳力约束) 3 x1 +1.5 x 2 ≤ 12 (原料约束) x1 , x 2 ≥ 0 用图解法可得 x1 =3, x 2 =2 时,利润最大为 12. 五、例(续上例) 已知条件中产品甲利润改为 4, 其余均不变。 车间主任希望改为: 最低利润 12 单位 (2)产量比例为 1, 即 x1 = x 2 ; (3)充分利用原料 解: 新的目标为 4 x1 +3 x 2 ≥ 12 (最低限度利润) x1 - x 2 = 0 (产量比例) 3 x1 +1.5 x 2 =12 (材料充分利用) 设定偏差变量 d1 : 利润 d2 : 产量比例 d3 : 原料 d4 :劳动力 利用正、负偏差变量可得： min P1 d1 − + P2( d2 − + d2 + ) + P3 d3 − s. t. 4 x1 +3 x 2 - d1 − + d1 + ≥ 12 (利润目标) x1 - x 2 - d2 + d2 + = 0 (产量比例) 3 x1 +1.5 x 2 + d3 − =12 (材料充分利用) 2 x1 + 3 x 2 + d4 − =12 (劳动力约束) 本题可以用改进的单纯形法求解(见 pp217-221), 也可用图解法求解:

x2原料约束 产量成比例 劳动力约束 解得x=(24,2.4),d1=d2=d2=d4-=0,d3-=1.2,d4+=48 5113字典序法 第一步,由决策人给出n,按重要性由高到低排成 y1,y2…,yn 第二步,用适当方法估计各属性的偏好(效用或价值函数 v1(y1),W2(y2),…,wn(yn) 第三步,依次求解下列问题,进行筛选 问题 PI max m(y1(x)解为X1 问题 P2 maxw2(y2(x)解为X2 问题 Pi max M2(y2(x) 直到a)问题P只有唯一解,则该解为最优解 b)n个问题全部解过:决策人用其他准则从X,中选择一个方案。 5114逐步进行法 STEP Method) 特点:P=∞只有最大偏差起作用 属于 Min max决策规则 算法步骤 对多目标决策问题max{f(x)=Cx} t.Ax≤b 记作X1 求解n个单目标优化问题maxf(x) 解为x得∫=∫(x) 理想点f∫=(f1…f) 列出支付表使决策人对取不同的x时各目标的值有直观认识f 11-5

11- 5 解得 x * = (2.4, 2.4) , d1 − = d2 + = d2 − = d4 − =0 , d3 − =1.2 , d4 + =4.8 §11.3 字典序法 第一步，由决策人给出 n，按重要性由高到低排成 y1 , y 2 ,… , y n 第二步，用适当方法估计各属性的偏好(效用或价值)函数 w1 ( y1 ), w2 ( y 2 ), … , wn ( y n ) 第三步，依次求解下列问题，进行筛选 问题 P1 max ( ( )) x X w y x  1 1 解为 X1 问题 P2 max ( ( )) x X w y x  1 2 2 解为 X2 … … 问题 Pj max ( ( )) x X j w y x  −1 2 2 直到 a) 问题 Pj 只有唯一解, 则该解为最优解 b) n 个问题全部解过：决策人用其他准则从 Xn 中选择一个方案。 §11.4 逐步进行法(STEP Method) 特点：P=∞ 只有最大偏差起作用 属于 Min max 决策规则 算法步骤 对多目标决策问题 max{ f x • • ( ) =C x • } s. t. A x • ≤ b x • ≥ 0 记作 X 1 第一步 ·求解 n 个单目标优化问题 max ( ) x X j f x  • j=1,… ,n 解为 x j * • 得 f j * = f x j j ( ) * • 理想点 f * • = ( f 1 * ,… , f n * ) ·列出支付表——使决策人对取不同的 x j * • 时各目标的值有直观认识 f 1

f1 f1 f 第二步 Hh d((x)-f)=maxw,G-f(r) 求解mnd2(f(x)-f) x∈X1 等价于解min入 stA2w(1-J(x)j=1…n x∈X 入≥0 其中1 f 式中f从支付表中获得 解(2)得x2与f(x2)=1…,n 第三步由决策人判断 降低某个太好的目标f(x),下降M再修改约束条件,使 Ax≤b f (x)=f(x)-Afr f(x)2f(x)21…,nj≠l 以X取代X,令W1=0重复第二步 三、优缺点 直观;修改有针对性;M较难定 §11.5调和解( Compromise solution和移动理想点法 116

11- 6 f 1 … f j … f n x1 * • f 1 * … f 1 j … f 1n … … … … … … x j * • f j1 … f j * … f jn … … … … … … xn * • f n1 … f nj … f n * 第二步 由 d f x f  • • • ( ( ) − ) * = max w f f x j j j ( ( )) * − • 求解 min d f x f  • • • ( ( ) − ) * s. t. x  X1 等价于解 min 入 s. t. λ ≥ w f f x j j j ( ( )) * − • j=1,… ,n x  X1 λ ≥ 0 其中 wj j j j = n =    1 j=1,… ,n  j = | | ( ) * min * f f f c j j j ji i N − =  2 1 1 2 式中 f j min 从支付表中获得 ·解(2)得 x • 1 与 f x j ( ) 1 • j=1,… ,n 第三步 由决策人判断 降低某个太好的目标 f x l ( ) 1 • ，下降 f l 再修改约束条件，使 A x • ≤ b x • ≥ 0 X 2 : f x l ( ) • = f x l ( ) 1 • - f l f x j ( ) • ≥ f x j ( ) 1 • j=1,… ,n j≠ l 以 X 2 取代 X 1 ，令 wl =0 重复第二步 三、优缺点： 直观; 修改有针对性; f l 较难定 §11.5 调和解(Compromise solution)和移动理想点法

基本概念思路) 在求解 MODP: min d(f(x)-f)时 ∫^(或∫),W,p要由决策人确定 其中由单调性假设,∫=maxf,(x)j=1…,n可以求得 w可由决策人设定 而P则很难设定 因此,给定权向量W,定义调和解集 xF={x∈X1x是给定W时miEv(x)-P;的解 它是非劣解的子集即XFcX 2各目标偏差的规范化 记∫= min f(x f-f(x) 用 使偏差无量纲、归化,否则d量纲、单位的选取有关 二、求解步骤 第一步由决策人估计权W 第二步∥=minj(:)了=maxJ(x) 第三步构造调和集 求解mind((x)-f)p-1,2 f-f(x 其中d1()=∑ f-f() d()="r- f,-f,(x) d(=maxi f-f 第四步 若能从XF中找出BCS,则结束 第五步寻找新的理想点 令H2=XF返回第二步 §116 SEMOP(多目标问题的序贯解法) 思路与记号 11-7

11- 7 一、基本概念(思路) 1.调和解 x W p • 在求解 MODP: min x X •  d f x f p ( ( ) ) * • • • − 时 f * • (或  f • ), W , p 要由决策人确定 其中 ·由单调性假设，  f • = max x X •  f x j ( ) • j=1,… ,n 可以求得 ·W 可由决策人设定 而 P 则很难设定 因此，给定权向量 W，定义调和解集 X W C = { x X •  | x • 是给定 W 时 min x X •  { | ( )  w f x f | } j j j p p •  − 1 的解} 它是非劣解的子集, 即 X W C  X * 2.各目标偏差的规范化 记 f j 0 = min x X •  f x j ( ) • 用 f f x f f j j j j * * − ( ) − • 0 使偏差无量纲、归一化，否则 d p 量纲、单位的选取有关 二、求解步骤 第一步 由决策人估计权 W 第二步 f j 0 = min x X •  f x j ( ) • f * • = max x X •  f x j ( ) • 第三步 构造调和集 求解 min x X •  d f x f p ( ( ) ) * • • • − p=1,2,∞ 其中 d wj j n 1 1 (•) = =  f f x f f j j j j * * − ( ) − • 0 d wj j n 2 1 (•) = =  [ f f x f f j j j j * * − ( ) − • 0 ] 2 d w j  j (•) = max f f x f f j j j j * * − ( ) − • 0 第四步 若能从 X W C 中找出 BCS，则结束 第五步 寻找新的理想点 令 X2 = X W C 返回第二步. §11.6 SEMOP(多目标问题的序贯解法) 一、思路与记号

目的为区间 目的类 目的表达式 偏差测度d 有上界 ∫(x)≤b f,(x)/b 有下界 ∫(x)2a 给定值 f(x)=c, f,(x) 2 C, ( 区间内 ∫(x)sb ∫(x) +6, 6, f,(x) 区间外f(x)sa,f(x)2bb+a,了 6, f(x) n个目标分为两类 q:加约束的r个目标的下标集合 :X中的子集,其中的x使ⅵ∈”,f(x)在标定区间内 求解mn{S=∑d} 将解;与∫(:)j=1…n送决策人判断 为了向决策人提供必要信息需解(n-r)个辅问题 d,} S.t.x∈ 其中,l=1, p是J中第l个元素在J中的序号 X是j∈以及jp的∫(x)均严格处于标定的目的区间内 二、解题步骤 第一步由决策人确定r个应严格限定值域的目标,并给出这r个目标的目的区间,这r个 目标的序号构成集合9 第二步i,解主 min(S=2dg) i,解nr个辅问题 min{s"=∑d} je門,j≠P 118

11- 8 ·目的为区间 目的类 型 目的表达式 偏差测度 d j 有上界 f x j ( ) • ≤ bj f x j ( ) • / bj 有下界 f x j ( ) • ≥ a j a j / f x j ( ) • 给定值 f x j ( ) • = cj 1 2 ( ( ) ( ) ) f x c c f x j j j j • • − 区间内 a j ≤ f x j ( ) • ≤ bj b a b f x b a f x j j j j j j + j + • • ( ( ) ( ) ) 区间外 f x j ( ) • ≤ a j , f x j ( ) • ≥ bj b a b f x b a f x j j j j j j j + + • • − ( ( ) ( ) ) 1 ·n 个目标分为两类: I q ：加约束的 r 个目标的下标集合； J q =J\ I q J={1,2,… ,n} X q ：X 中的子集，其中的 x • 使 j I q , f x j ( ) • 在标定区间内 ·求解 min{ S d q j q j J q =   } s. t. x X q •  将解 x q • 与 f x j q ( ) • j=1,… ,n 送决策人判断 ·为了向决策人提供必要信息需解(n-r)个辅问题 ·min{ Sl d q j j J j p q =    , } s. t. x X p q •  其中, l =1,… ,n-r p 是 J q 中第 l 个元素在 J 中的序号 X p q 是 j I q 以及 j=p 的 f x j ( ) • 均严格处于标定的目的区间内 二、解题步骤 第一步 由决策人确定 r 个应严格限定值域的目标，并给出这 r 个目标的目的区间，这 r 个 目标的序号构成集合 I q 第二步 i, 解主问题 min{ S d q j q j J q =   } s. t. x X q •  ii, 解 n-r 个辅问题 min{ Sl d q j j J j p q =    , }

X 得出x与f(x”)=1…n 和x与f(x9)j=1…,nl=1,…,n-r 第三步由决策人对第二步结果作判断 基对xq满意则停止 若不满意则qq+1返回第一步 三、优缺点 1可用于非单调区间 2容易反映目标间的矛盾关系 3非线性规划问题求解困难没有规范化的步骤保证收敛 §1137 Geoffrion法 一、思路 用 Frank- Wolfe法解线性约束的非线性规划问题 maxv(f(x)) ∈X 是在x°处,以阶 Taylor展开v(x)线性逼接vf(x))记作v(x) 求(1)的极大值等价于求解线性规划问题 max[V v(x)].x 令(2最优解为y°,则 i若[V,v(x°)(y°-x°)是(2)的最优解,迭代停止; i若Vnv(x)(y°-x°)>0,则从x出发沿y0-x方向作维搜索 即求maxv(x°+1°(y°-x°)的最优解t° 只要t°>0足够小,必有vx)>v(x°) 式中:-:+"(y:) 对x∈X,重复上述步骤,可得原问题0的最优解 V,v(x9)虽属未知,但Vyv(x)=SAV3f(x”) 除以,得∑",Vf(x)其中, 求解步骤

11- 9 s. t. x X p q •  得出 x q • 与 f x j q ( ) • j=1,… ,n 和 x l q • 与 f x j l q ( ) • j=1,… ,n l =1,… ,n-r 第三步 由决策人对第二步结果作判断 基对 x q • 满意则停止 若 不满意则 q=q+1 返回第一步 三、优缺点 1.可用于非单调区间 2.容易反映目标间的矛盾关系 3.非线性规划问题求解困难,没有规范化的步骤保证收敛 §11.7Geoffrion 法 一、思路 ·用 Frank-Wolfe 法解线性约束的非线性规划问题 max v( f x • • ( ) ) (0) s. t. x X •  是在 x • 0 处，以一阶 Taylor 展开 ~ v (x) • 线性逼接 v( f x • • ( ) )[记作 v( x • )]: ~ v (x) • = v( x • 0 ) + [ x v(x ) 0 ] T ( x • - x • 0 ) (1) 求(1)的极大值等价于求解线性规划问题 max x X •  [ x v(x ) 0 ] T · x • (2) 令(2)的最优解为 y • 0 ，则 i,若 [ x v(x ) 0 ] T ( y • 0 - x • 0 ) 是(2)的最优解，迭代停止； ii,若[ x v(x ) 0 ] T ( y • 0 - x • 0 )0, 则从 x • 0 出发沿 y • 0 - x • 0 方向作一维搜索 即求 max 0 1 0 t  v( x • 0 + t 0 ( y • 0 - x • 0 ))的最优解 t 0 只要 t 0 0 足够小, 必有 v( x • 1 )v( x • 0 ) 式中 x • 1 = x • 0 + t 0 ( y • 0 - x • 0 ) 对 x X •  1 ，重复上述步骤，可得原问题(0)的最优解 x v(x ) 0 虽属未知，但 x v(x ) 0 =   v f j j n =  1 x j f (x ) 0 除以   v f l , 得 wj j n =  1 x j f (x ) 0 其中， w v f v f j j l =     -   f f l j j=1,… ,n 二、求解步骤

优缺点 1.只要决策者心目中的效用函数确实存在,并能给出各点的边际置换率,不必给出具体的 效用函数值 2只适用于线性约束的多目标规划 3.每次迭代都有所增加,收敛性有保证 但在实际上所得到的解的优劣取决于决策人提供的局部偏好信息的准确性。 §118代理值置换法( Surrogate worth Trade- off Method) 思路 置换率:在某个非劣点处若要提高某一目标值一个单位,必须使另一目标降低多少,(设 其他目标函数值不变) 置换率给出了非常有用的信息 如决策人愿意进行这种置换,说明该方向上有决策人更喜爱的非劣解。 求解步骤 第一步:产生非劣解的有代表性的子集 任选一种方法去求得非劣解的有代表性的子集。 不失一般性,选fn(x)作为参考目标,构成不等式约束问题 in f, s.t.g(x)≤0i=1,…,m ∫(x)≤E,j=1 其中,6,∈a,b]a=minf(x)b=maxf(x) 为了便于比较,最好选用重要目标或其计量单位是决策人所熟悉的目标作为目标n 第二步:获得置换信息 在求解(1)时,可以得到A(x)=- 1,,n-1 其中x是(1)的解,1(x)是1)的 Kuhn-Tucker乘子,就是在x处的置换率 第三步:了解决策人的偏好 把第二步计算结果递交给决策人,要决策人回答是否愿意进行这种调整,愿意到冋种程 度,并据以构造代用值函数wn(x°)j=1,n-1 +10非常愿意增加λn(x)个单位的f减去个单位的f 0非常愿意减少4(x)个单位的f以提高J个单位 第四步:寻求最佳调和解 当某个x'使wn(x)=0j=1…n-1时,x'为最佳调和解 若在第一步生成的非劣点中不包含x,可用多元回归法构造代理值函数n()令 l110

11- 10 三、优缺点 1.只要决策者心目中的效用函数确实存在，并能给出各点的边际置换率，不必给出具体的 效用函数值。 2.只适用于线性约束的多目标规划 3.每次迭代 都有所增加，收敛性有保证 但在实际上所得到的解的优劣取决于决策人提供的局部偏好信息的准确性。 §11.8 代理值置换法(Surrogate worth Trade-off Method) 一、思路： ·置换率：在某个非劣点处若要提高某一目标值一个单位，必须使另一目标降低多少，(设 其他目标函数值不变) 置换率给出了非常有用的信息: 如决策人愿意进行这种置换，说明该方向上有决策人更喜爱的非劣解。 二、求解步骤 第一步：产生非劣解的有代表性的子集 任选一种方法去求得非劣解的有代表性的子集。 不失一般性，选 f x n ( ) • 作为参考目标，构成不等式约束问题: min f x n ( ) • (1) s. t. g x i ( )  0 i=1,… ,m f x j j ( )   j=1,… ,n-1 其中,  j  a j bj [ , ] a f x j x X = j •  • min ( ) b f x j x X = j •  • max ( ) 为了便于比较，最好选用重要目标或其计量单位是决策人所熟悉的目标作为目标 n。 第二步：获得置换信息 在求解(1)时，可以得到   nj  f f f f x x n j ( ) | ( ) • = = − • • • 0 j=1,… ,n-1 其中 x 0 是(1)的解， nj (x ) • 0 是(1)的 Kuhn-Tucker 乘子， 就是在 x 0 处的置换率 第三步：了解决策人的偏好 把第二步计算结果递交给决策人，要决策人回答是否愿意进行这种调整，愿意到何种程 度，并据以构造代用值函数 w x nj ( ) • 0 j=1,… ,n-1 +10 非常愿意增加 nj (x ) • 0 个单位的 f n 减去一个单位的 f j -10 非常愿意减少 nj (x ) • 0 个单位的 f n 以提高 f j 一个单位 第四步：寻求最佳调和解 当某个 x • * 使 w x nj ( ) * • =0 j=1,… ,n-1 时, x • * 为最佳调和解. 若在第一步生成的非劣点中不包含 x • * ，可用多元回归法构造代理值函数 wnj (•) 令