《系统工程理论与实践》：水资源优化配置的双层规划模型.pdf_大学文库

第29卷第6期系统工程理论与实践 Vol 29. No 6 2009年6月 Systems Engineering - Theory Practice 文章编号:100067882009)06-0115-06 水资源优化配置的双层规划模型吕一兵1,万仲平2,胡铁松3,陈忠 (1.长江大学信息与数学学院,荆州434023;2.武汉大学数学与统计学院,武汉430072;3.武汉大学水资源与水电工程科学国家重点实验室,武汉430072) 摘要采用双层规划模型来描述水资源优化配置问题.根据用水者在水市场上的行为特征,建立了以水资源社会总效益以及各用水者效益最大为目标的双层规划模型,并给出了相应的求解方法.最后用一算例验证了模型及求解方法的可行性和有效性关键词水资源;水权;水市场;优化配置;双层规划中图分类号F4079 文献标志码A Bilevel model of water resources optimal allocation LV Yi-bing, WAN Zhong-ping 2, HU Tie-song3, CHEN Zhong 1. School of Information and Mathematics, Yangtze University, Jingzhou 434023, China; 2. School of Mathematics and statistics, Wuhan University, Wuhan 430072, China; 3. State Key Laboratory of Water Resources and Hydropower engineering Science, Wuhan University, Wuhan 430072, China) Abstract a bilevel programming model, which regards the most optimal income of the society and the water users as the targets, is established to analyze the effectives of government organization in macroscopically controlling the water market in order to optimize the water resources allocation by utilizing the initial water rights allocation and water resources rate. Then, the application of the model and its algorithm are illustrated with a simple example Keywords water resources; water right; water market; optimal allocation; bilevel pro 1引言随着社会经济的发展,人们对淡水的需求量越来越大,有限的可利用水量无法满足这种需水量的日益增长,水资源的供需矛盾已经成为制约我国社会经济发展的重要因素,这就对水资源的优化配置提出了更要求在以往计划经济体制下,我国一直采用行政命令配置水资源,虽然从理论角度讲,管理者的确可以制定最优”的水资源配置方案,但是这种方式缺乏有效的激励,用水者没有节约用水的内在动力,水资源浪费严重更加加剧了供需矛盾.引入水权,建立水市场,采用市场的手段通过水权交易机制来实现水资源的优化配置,已经成为实现水资源优化配置的重要经济手段,把提高水资源的使用效率和配置效率留给市场去解决, 代表了水资源优化配置发展的新方向2-3.然而由于水资源具有不同于一般商品的独特性质,因此水市场并收稿日期:200803 资助项目:国家自然科学基金(70771082,7071080,40572078/D0206);教育部重点实验室开放基金(K20009;湖北省教育厅重点项目(D200512001) 作者简介:吕一兵(1979-),男,博士,研究方向为水资源优化配置与管理 2 01994-2009 China Academic Journal Electronie Publishing House. All rights reserved. htp: /hnn cnki ner

© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 第卷第期年月系统工程理论与实践一 , 石 , 一一一水资源优化配置的双层规划模型吕一兵‘,万仲平 ,胡铁松 , 陈忠‘ 长江大学信息与数学学院 ,荆州武汉大学数学与统计学院 ,武汉武汉大学水资源与水电工程科学国家重点实验室,武汉摘要采用双层规划模型来描述水资源优化配置问题根据用水者在水市场上的行为特征 ,建立了以水资源社会总效益以及各用水者效益最大为目标的双层规划模型 ,并给出了相应的求解方法最后用一算例验证了模型及求解方法的可行性和有效性关键词水资源水权水市场优化配置双层规划中图分类号月文献标志码研一 , 一 , 一 , , , , , , , 叮 , 扒 , , , 邓 , 引言随着社会经济的发展 ,人们对淡水的需求量越来越大 ,有限的可利用水量无法满足这种需水量的日益增长水资源的供需矛盾已经成为制约我国社会经济发展的重要因素 ,这就对水资源的优化配置提出了更高的要求在以往计划经济体制下 ,我国一直采用行政命令配置水资源 ,虽然从理论角度讲 ,管理者的确可以制定 “最优 ”的水资源配置方案 ,但是这种方式缺乏有效的激励 ,用水者没有节约用水的内在动力 ,水资源浪费严重 ,更加加剧了供需矛盾 ‘ 引入水权 ,建立水市场 ,采用市场的手段通过水权交易机制来实现水资源的优化配置 ,已经成为实现水资源优化配置的重要经济手段 ,把提高水资源的使用效率和配置效率留给市场去解决 , 代表了水资源优化配置发展的新方向“〔一“ 然而由于水资源具有不同于一般商品的独特性质 ,因此水市场并收稿期一冬资助项目国家自然科学基金刃 , , 教育部重点实验室开放基金湖北省教育厅重点项目作者简介吕一兵于 ,男 ,博士 ,研究方向为水资源优化配置与管理

116 系统工程理论与实践第29卷不是一个完全的市场,而是一个准市场,离不开以流域统一管理为基础的宏观调控,而政府宏观调控的目的是在保证社会公平的基础上,优化水资源的配置4 孔珂等问应用博弈论研究了水资源管理部门如何利用初始水权分配和水资源费对水市场进行有效调控在文献5的基础上,通过增加考虑排污权交易,冯文琦和纪昌明同提出了一种把用水权和排污权结合起来的水市场交易方案,并建立了以水资源社会总效益最大为目标的完全信息动态博弈模型.然而文献[⑤6在对模型求解时往往需要得岀各用水者取水量以及排污量关于初始水权以及水资源费的最优解函数,这就使得模型的实用性大大降低在水市场运行中,水资源管理机构一般不直接干预水市场的交易行为,而是通过分配初始水权和征收水资源费等调控手段来影响用水者的决策:)水者在市场规则的约束下自主决策并自由地采取最大化自身利益的行动,因为追求利益最大化是任何理性个体的必然行为.因此,水资源管理机构与用水者之间存在一定的层次关系,釆用双层规划模型来描述这种关系是适宜的.尽管双层规划理论应用已经不少,但目前在水资源优化配置中的研究成果却寥寥无几7.本文将双层规划引入水资源优化配置,建立了水资源优化配置的双层规划模型,为水资源管理机构提供了一种比较有效的决策工具- 2双层规划问题许多实际间题的规模越来越大,结构越来越复杂,对问题进行决策的人越来越多,而且这些决策者往往处在不同的层次上.上一层决策者自上而下地对下一层若干决策者有着某种控制、引导权;而下一层决策者在这一前提下,亦可以在其职权范围内行使一定的决策权.在这种多层决策系统中,每一层都有自身的目标函数和约束条件.因此,最终的决策结果往往是寻求使得各层决策机构之间达到某种协调的方案一般来说,一个双层规划问题的数学模型可以表述为: in F(, y) st.G(x,y)≤0 min f(a, y) 9(x,y)≤0 其中:x∈R",y∈Rm,F,f;Rn×Rmn→R,G:Rn×Rm→FP,f:R"xm→Rl.x是上层决策者的决策变量,y是下层决策变量.F(x,y),f(x,y分别为上、下层决策者的目标函数双层规划模型的决策机制是上层决策者首先宣布其决策x,这一决策将影响下层决策者的决策与目标函数,下层决策者在这一前提下选取使自己的目标函数达到最优的决策y,然后上层决策者再根据下层决策者的反应做出符合全局利益的决策由于双层规划可以恰当地描述实际问题中所存在的层次关系,因此被广泛应用于交通网络设计、价格控制0等问题.如引言所述,在水市场中水资源管理机构与用水者存在一定的层次关系,因此本文用双层规划模型来考虑水资源优化配置问题 3水资源优化配置的双层规划模型 31模型的建立设可供管理机构分配的总水量为Q,因为水资源有公益性,生态保护、环境美化等社会公益事业都需要用水,因此管理机构要分配一定的公共水权以保证公益用水.不妨假设公共水权为u,水资源费率为t,P表示第i个用水者,其初始水权为r;,那么有下式成立: rit 上式表示用水者的初始水权以及公共水权之和与可供分配的总水量相等.若P实际需水量为d,直接取水量为q,(d1≥r2d1≥q),其需水差值d-q可以通过节约用水以及提高用水效率等方式解决当g>r; 即引水量大于水权时,多引的水量q-r1需要在水权交易市场上购买;反之,当q<r时,可以在水市场上出售多余的水权 201994-2009ChinaAcademicJournalElectronicPublishinghOuse.Alirightsreservedhttp://wwr.cnki.ner

© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 系统工程理论与实践第卷不是一个完全的市场 ,而是一个准市场 ,离不开以流域统一管理为基础的宏观调控 ,而政府宏观调控的目的是在保证社会公平的基础上 ,优化水资源的配置 ’ 孔坷等应用博弈论研究了水资源管理部门如何利用初始水权分配和水资源费对水市场进行有效调控在文献的基础上 ,通过增加考虑排污权交易 ,冯文琦和纪昌明提出了一种把用水权和排污权结合起来的水市场交易方案,并建立了以水资源社会总效益最大为目标的完全信息动态博弈模型然而文献【一在对模型求解时往往需要得出各用水者取水量以及排污量关于初始水权以及水资源费的最优解函数 ,这就使得模型的实用性大大降低在水市场运行中 ,水资源管理机构一般不直接干预水市场的交易行为 ,而是通过分配初始水权和征收水资源费等调控手段来影响用水者的决策 ‘ 用水者在市场规则的约束下自主决策并自由地采取最大化自身利益的行动 , 因为追求利益最大化是任何理性个体的必然行为因此 ,水资源管理机构与用水者之间存在一定的层次关系 , 采用双层规划模型来描述这种关系是适宜的尽管双层规划理论应用已经不少 ,但目前在水资源优化配置中的研究成果却寥寥无几本文将双层规划引入水资源优化配置 ,建立了水资源优化配置的双层规划模型 , 为水资源管理机构提供了一种比较有效的决策工具双层规划问题许多实际问题的规模越来越大 ,结构越来越复杂 ,对问题进行决策的人越来越多 ,而且这些决策者往往处在不同的层次上上一层决策者自上而下地对下一层若干决策者有着某种控制、引导权而下一层决策者在这一前提下 ,亦可以在其职权范围内行使一定的决策权在这种多层决策系统中 , 每一层都有自身的目标函数和约束条件因此 ,最终的决策结果往往是寻求使得各层决策机构之间达到某种协调的方案一般来说 ,一个双层规划间题的数学模型可以表述为 ,功八以、功三办, 而夕。其中任尸‘,军任 , , 尸‘ 尸“ , “ 饥尸, 尸‘ 尸、是上层决策者的决策变量 , 是下层决策变量 ,功 , ,功分别为上、下层决策者的目标函数双层规划模型的决策机制是上层决策者首先宣布其决策 ,这一决策将影响下层决策者的决策与目标函数 ,下层决策者在这一前提下选取使自己的目标函数达到最优的决策 ,然后上层决策者再根据下层决策者的反应做出符合全局利益的决策由于双层规划可以恰当地描述实际问题中所存在的层次关系 ,因此被广泛应用于交通网络设计、价格控制 ‘。等问题如引言所述 ,在水市场中水资源管理机构与用水者存在一定的层次关系 ,因此本文用双层规划模型来考虑水资源优化配置问题水资源优化配置的双层规划模型模型的建立设可供管理机构分配的总水量为 ,因为水资源有公益性 ,生态保护、环境美化等社会公益事业都需要用水 ,因此管理机构要分配一定的公共水权以保证公益用水不妨假设公共水权为二,水资源费率为 ,只表示第乞个用水者 ,其初始水权为 , ,那么有下式成立艺。‘一上式表示用水者的初始水权以及公共水权之和与可供分配的总水量相等若只实际需水量为、,直接取水量为、, , 全 , 全、,其需水差值 ,一可以通过节约用水以及提高用水效率等方式解决当、 , 即引水量大丁冰权时 ,多引的水量 ,一 ,需要在水权交易市场上购买反之 ,当 ‘ 时 ,可以在水市场上出售多余的水权

118 系统工程理论与实践第29卷 T;≥B2 w> a maxV=fi(gi)-Qit-s(di-Qi)+a(ri-qi)-b(ri-qi). (,-qi stq≥0 上述双层规划问题(9)实际上是具有多个下层决策者的双层规划问题12.另外双层规划模型(9)很直观的反应出,水资源管理机构通过其控制的决策变量,即初始水权r1的分配以及水资源费t的制定来影响用水者的直接取水量q.这也表明采用双层规划模型来描述水资源管理机构与用水者之间的层次关系是恰当的;另外,从表面上看,水资源费t对社会总收益v没有影响然而观察模型(⑨)的下层目标函数不难发现, 水资源费是通过影响个体的决策来影响社会总收益的.下面将给出双层规划问题(9)的一种求解方法 32模型的求解一般来说,双层规划问题的求解是比较复杂的.事实上,双层规划问题是一个NP-难问题,一般不存在多项式时间的求解算法.然而,由于双层规划模型被广泛应用于许多实际问题,使得人们对该类问题进行了比较深入地研究,得到了一些比较实用的求解方法13.下面将介绍利用精确罚函数方法4-15来求解双层规划模型(9).为了能够得到双层规划问题的最优解,假设双层规划问题(9)满足如下假设. (H)对于给定的上层决策变量r,U,t,下层规划问题的目标函数V为凸函数如果假设条件(H)得到满足,那么下层问题(LL)中第讠个决策单元的KT最优性条件可以写为 f)+84-)-a-t+bn-m+∑(-9)+A=0 h≥0 其中,A为 Lagrange乘子以下层问题的KT最优性条件代替下层问题,同时取互不松弛条件为上层目标函数的罚项,可以构造双层规划问题(9)的如下罚问题 mx)∑|q)-82-9)+a(n-9)-b∑-9)、-)-M.(∑M q+≤ f)+84-)-a-t+b:-+∑(-9)+A=0 ≥B2 丌10,当M≥M”时,单层规划问题(10)的最优解也是问题(9)的最优解因此只要采用合适的优化技术求解问题(10),就可以得到问题(9)的最优解.下面将给出具体的求解步骤第1步首先给出初始罚因子M>0,以及步长n>0. 201994-2009chinaaCademicJournalElectronicPublishingHouse.alLrightsreservedhttp://ww.cnki.ner

© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 系统工程理论与实践第卷 , 全仄切开亡兰开叭全一。一。。一、, ‘ 、一。、。一。,一。一, 。、刃交,一、乞 , … , 上述双层规划问题实际上是具有多个下层决策者的双层规划间题另夕风层规划模型很直观的反应出 ,水资源管理机构通过其控制的决策变量 ,即初始水权 ‘的分配以及水资源费艺的制定来影响用水者的直接取水量吼这也表明采用双层规划模型来描述水资源管理机构与用水者之间的层次关系是恰当的另外 ,从表面上看 ,水资源费对社会总收益协没有影响然而观察模型的下层目标函数不难发现 , 水资源费是通过影响个体的决策来影响社会总收益的下面将给出双层规划问题的一种求解方法模型的求解一般来说 ,双层规划问题的求解是比较复杂的事实上 ,双层规划间题是一个一难问题 , 一般不存在多项式时间的求解算法然而 , 由于双层规划模型被广泛应用于许多实际问题 ,使得人们对该类间题进行了比较深入地研究 ,得到了一些比较实用的求解方法下面将介绍利用精确罚函数方法一‘ 来求解双层规划模型为了能够得到双层规划问题的最优解,假设双层规划问题满足如下假设· 对于给定的上层决策变量 ,二,亡,下层规划间题的目标函数从为凸函数如果假设条件得到满足 ,那么下层问题中第乞个决策单元的一最优性条件可以写为入、豫卜·,入 ·、以全乞一卜一卜一客一,一」其中 ,入、为乘子以下层问题的一最优性条件代替下层问题 ,同时取互不松弛条件为上层目标函数的罚项 ,可以构造双层规划问题的如下罚问题一“‘ ,薯大‘“ 、一’“乞‘“乞一“乞’“·‘一“‘一’“· ‘艺·。二一艺一 ‘一·」一客入艺云。二‘ 艺。叨三、、全。卜口‘ ·以一卜一卜一睿一一」切汀三三开、, 乞,入乞全乞 , … , 其中为正的罚因子文献【证明单层规划间题与双层规划问题具有相同的全局最优解集 ,并且存在有限的罚因子 ,当全时 ,单层规划间题的最优解也是间题的最优解因此只要采用合适的优化技术求解问题 ,就可以得到问题的最优解下面将给出具体的求解步骤第步首先给出初始罚因子 ,以及步长刀

吕一兵,等:水资源优化配置的双层规划模型 l19 第2步利用下层间题的K-T最优性条件代替下层问题,同时取互补松弛条件为罚项,将双层规划模型 (9)转化为相应的单层规划问题(10) 第3步求解单层规划问题(10),得到最优解(u,t,n,…,rn,q1,…,qn,A1,…,An) 第4步如果∑Aq=0,则得到最优解,停止:;否则令M=M+η,转向步2. 上述算法的收敛性证明类似于文献[14]中定理4的证明,为了简便起见,这里不再给出详细的证明过程注在求解问题(9)时,我们要求假设条件(H)得到满足.如果条件(H)得不到满足,那么可以采用对目标函数性能要求不高的智能算法,如遗传算法1、粒子群算法17对二层规划问题(9)进行求解 33算例假设某一流域可供管理机构分配的总水量为90亿m3,流域内有两个用水者,用水者一和用水者二,需水量分别为45亿m23和47亿m3.用水者一的取水效益函数和节水成本函数分别为:f1(q1)=0.6q;snd1- q1)=0.2(d1-q)2.用水者二的取水效益函数和节水成本函数分别为:f2(g2)=07g;s2(d2-q2)=0.25d2- q2)2.公共效益函数为:h(u)=0.4m.水资源费率为t元/m3,水市场价格函数为:p=0.9-0.01x.用水者水权下限为:1235,72≥45,≥6,水资源费率0.3≤t≤2.0.将以上数值和表达式代入式(3)-式(5), 整理可得:v1=0.6q1-0245-q1)2-g1t+0.9(71-q)-001(r1-q1)(r1+r2-q1-g2),v2=0.7q2- 0.25(47-g2)2-g2t+0.9(72-q2)-0.01(r2-q2)(r1+r2-q1-q),社会总效益v=04+t(q1+g2)+V+v 根据(9)式可以建立如下水资源优化配置的双层规划模型 max0.4+t(q1+q2)+v1+V s.t. r1+r2 +w= 90 q+q+w≤90 >35 U≥6 0.3≤t≤20 max09-0245-)2-qt+091-9)-00-)(71+n-q-) stq1≥0 max0.7q2-0.25(47-q2)2-q2t+0.9(72-g2)-0.01(r2-g2)(r1+72-q1-q q≥0 以下层问题的KT最优性条件代替下层问题,取互补松弛条件为罚项,然后求解相应的单层规划问题可以得到:r1=39亿m3,n2=45亿m3,w=6亿m3,t=1.5元/m3,q=40.4亿m3,g=436亿m3 进一步,如果将水资源的费率t提高,不妨设t≥30,其余的条件均不变,计算可得:r=39亿m,n 45亿m3,w’=6亿m3,t=3.0元/m3,q1=369亿m3,=40.8亿m3.这就表明如果提高水资源费率,两个用水者直接取水量将减小、这与实际情况是相符合的,同时也说明了所建立模型的合理性 4结论本文提出了水资源优化配置的双层规划模型,用双层规划模型描述了水市场交易中水资源管理机构如何通过初始水权分配和水资源费对水市场进行有效地调控,并给出了双层规划模型比较有效地求解方法.由于本文所提出的方法并不需要得出各用水者取水量关于初始水权以及水资源费的最优解函数因此更具有实用价值. 然而值得指出的是在模型的建立过程中水资源管理机构的目标函数是最大化社会经济效益,这里忽视了污染物的排放等问题.事实上除了经济效益,环境问题也是政府部门十分关注的.因此如何将污染问题加入 201994-2009cHinaAcademicJournalElectronicPublishingHouseAllrightsreservedhtp:/hnwww.cnki.ner

© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 第期吕一兵 ,等水资源优化配置的双层规划模型第步利用下层间题的一最优性条件代替下层问题 ,同时取互补松弛条件为罚项 ,将双层规划模型转化为相应的单层规划问题第步求解单层规划问题 ,得到最优解二,亡, ,… , 二, , … , 。,入 , … 第步如果艺从、 ,则得到最优解 ,停止否则令刀,转向步入二上述算法的收敛性证明类似于文献【」中定理的证明,为了简便起见,这里不再给出详细的证明过程注在求解问题时 ,我们要求假设条件得到满足如果条件得不到满足 ,那么可以采用对目标函数性能要求不高的智能算法 ,如遗传算法 ‘ 、粒子群算法 , 对二层规划问题进行求解算例假设某一流域可供管理机构分配的总水量为亿 “,流域内有两个用水者 ,用水者一和用水者二 ,需水量分别为亿 “和亿 “ 用水者一的取水效益函数和节水成本函数分别为 , 一一用水者二的取水效益函数和节水成本函数分别为儿一公共效益函数为侧二水资源费率为 , 元 ”,水市场价格函数为二一用水者水权下限为七 , 全 ,二全 ,水资源费率三亡三将以上数值和表达式代入式一式 , 整理可得 , 一一一一一一。一一。 , 二 · 一一一一一一一 ,社会总效益二亡叮根据式可以建立如下水资源优化配置的双层规划模型叨 ,仁 ,勺 ·二切袋留三七全切艺一一一一。一一。一。一。七一一 “一一一一一、一。全以下层问题的一最优性条件代替下层问题 ,取互补松弛条件为罚项 ,然后求解相应的单层规划问题可以得到犷亿 , 签亿二 ,二亿 ,艺‘ 元 ,。犷亿 ,。登亿进一步 ,如果将水资源的费率亿 ,二亿 ,艺率 ,两个用水者直接取水量将减小提高 ,不妨设七 ,其余的条件均不变 ,计算可得片亿 “,咤元 ”,叮二亿 “,姑 , 亿 “ 这就表明如果提高水资源费这与实际情况是相符合的 ,同时也说明了所建立模型的合理性结论本文提出了水资源优化配置的双层规划模型 ,用双层规划模型描述了水市场交易中水资源管理机构如何通过初始水权分配和水资源费对水市场进行有效地调控 ,并给出了双层规划模型比较有效地求解方法由于本文所提出的方法并不需要得出各用水者取水量关于初始水权以及水资源费的最优解函数 ,因此更具有实用价值然而值得指出的是在模型的建立过程中水资源管理机构的目标函数是最大化社会经济效益 ,这里忽视了污染物的排放等问题事实上 ,除了经济效益 ,环境问题也是政府部门十分关注的因此如何将污染问题加入

120 系统工程理论与实践第29卷到水资源优化配置的双层规划模型之中是笔者未来的研究方向参考文献 1l王先甲,肖文水资源的市场分配机制及其效率J水利学报,2001,12:2631 Wang xJ, Xiao W. Market mechanism of water resources allocation and its efficiency[J]. Journal of Hydraulic Engineering, 2001, 12: 26-31 2刘文强,孙永广,顾树华水资源分配冲突的博弈分析J]系统工程理论与实践,2002,22(1):1625 Liu w Q, Sun Y G, Gu S H. Game analysis for conflicts in water resource allocation[J]. Systems Engineering Theory Practice, 2002, 22(1):16-25 3] Easter K W, Hearne R Water market and decentralized water[J. Water Resources Bulletin, 1995, 31(1):9-20 4汪恕诚水权和水市场——谈实现水资源优化配置的经济手段.中国水利,20001:169 Wang SC. Water right and water market- Economic measures to realize optimal configure of water resourceJ China Water Resources. 2000. 11: 6-9 孔珂,解建仓,岳新利,等.水市场的博弈分析(J]水利学报,2005,36(4):491-495 Kong K, Xie J C, Yue X L, et al. Game analysis of water resources market[J] Journal of Hydraulic Engineering, 2005,36(4):491-495 冏冯文琦,纪昌明.水资源优化配置中的市场交易博弈模型间J.华中科技大学学报(自然科学版),200634(11:83-85. Feng WQ, Ji C M. Study of market transaction game model in water resources optimal allocation(J. Journal of Huazhong University of Science and Technology (Nature Science Edition), 2006, 34(11):83-85 王浩可持续发展的水资源混合分配模式D]哈尔滨理工大学硕士学位论文,2006 Wang H. Sustainable water resources mixed distribution model[ D]. Harbin University of Science and Technology 2006. 8]滕春贤,李智慧.二层规划的理论与应用M北京,科学出版杜,2002 Teng CX, Li Z H. Bilevel Programming: Theory and Applications[M. Beijing: Science Press, 2002 9高自友,张好智,孙会君.交通网络设计问题中的双层规划模型、方法及应用[J]交通运输系统工程与信息,2004,4(1) Gao ZY, Zhang H Z, Sun H J Bilevel programming models, approaches and applications in urban transportation network design problems[J] Journal of Transportation Systems Engineering and Information Technology, 2004 4(1):354. 10四兵锋,高自友合理制定铁路客票价格的优化模型及算法[J.管理科学学报,20,42):4 Si B F, Gao Z Y, Optimal model and solution algorithm railway passenger-ticket pricingJ. Journal of Manage- ment Science in China, 2001, 4(2): 45-51 1l张长维迎.博弈论与信息经济学M.上海,上海人民出版社,2004 Zhang W Y Game Theory and Information Economics([M. Shanghai: Shanghai People's Publishing House, 2004 [12] Lu J, Shi C, Zhang G On bilevel multi-follower decision making: General framework and solutions[J Information Sciences,2006,176:1607-1627 [13] Bard J. Practical Bilevel Optimization: Algorithm and Applications[M. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht [14] Lv Y B, Hu T S, Wan Z P. A penalty function method for solving inverse optimal value problem[J] Journal of Computational and Applied Mathematics, 2007, doi: 10. 1016/j cam.2007.08.00 [15] Liu G S, Han J Y, Zhang J Z. Exact penalty function for convex bilevel programming problems[J]. Journal of Optimization Theory and Applications, 2001, 110(3): 621-643 16李宏王宇平,焦永昌.解非线性两层规划问题的新的遗传算法及全局收敛性J]系统工程理论与实践,2005,253):62- Li H, Wang Y P, Jiao Y C. A new genetic algorithm for nonlinear bilevel programming problem and its global convergence[J Systems Engineering-Theory Practice, 2005, 25( 3): 62-71 17]江燕,胡铁松,等基于粒子群算法的非线性二层规划问题的求解算法J],运筹与管理,2006,15(4}:18 Jiang Y, Hu T S, et al. Particle swarm optimization based approach to solving nonlinear bilevel programming problems[J]. Operations Research and Management Science, 2006, 15(4): 18-22 201994-2009chinaacademicournalElectronicPublishingHouse.Alirightsreservedhttp://nww.cnki.net