第1章定积分1.1定积分的概念、可积函数及其初等性质1.1.1定积分的概念设f(r)是定义在[a,b]上的函数（1）把[a，]分成有限个子区间，即在[a，］中插入有限个分点，一般都表示为Aa=ao0,存在8>0,使得对满足△0，试证明存在[αβ]C[0,1]
第1章定积分2使得f()>0(E[αβ)(2)设f()在[a,b]上有界，α>0.试对a,b]的任一分划：a=zo，计算极限limA解（1）反证法.假定在[0，1]中的任一子区间中，总有非正的f(r)值，则对之 5(6.)A2;中,取 F(6)≤0 可使任一个S
1.1定积分的概念、可积函数及其初等性质3定义1.1.3（Darboux）设f(r)是[a，b]上的有界函数，对La，b]的一切分划△，作相应的上和数集（S)与下和数集S)，且记其下上确界各为inf(Sa)J"f(z)dz,sup(Sa)=I"f(r)dr.并各称为f(）在[a，b]上的（Darboux）上积分与下积分显然有S≤Jf(r)drJf(a)dr0,存在8>0,使得对任-满足△0,存在>0,使得当[a，b]的分划满足时，有['f(r)dr+e>Ss, J'f()dr-e0,存在>0,使得当分划△满足l△I0,存在[a，b]的分划△，使得S（f)-S(f)
第1章定积分(i）定义在[a,b]上的连续函数.（ii）定义在[a,b]上的单调函数定理1.1.6(DuBoisReymond）［a,b]上有界函数可积的充分必要条件是：对任给的e>00,存在分划△：a=Zo
1.1定积分的概念、可积函数及其初等性质5113≠0，sinz'(2) f(r)TrE[o,1].lo,α=0,(Inr·In(1+r)，0,(3)f()E[o,]10,=0,证明（1）f(z）有界且仅有一个不连续点r一0.(2)注意(1/r—1/sin)-→0(→0+).(3)注意Inx·ln(1+x)-→0(r→0+)例1.1.4试证明下列命题：(1）设fER([a,b).若令h(r) = inf(f(t)),H(α)=suptf(t)),a0,存在gER(La，b])，使得If()-g()0）lf(y)-f(r)/≤/f(y)-g(y)/+ /g(y)-g(r)/+/g(r)-f(r)l
第1章定积分6则对[a，的任一分划△可得（lfl）≤w（f）从而又有Z(IfIAiV()A≤Zw;(f)Ar;.(b-a)7fe由此即得所证例1.1.6设f()在[a，b]上定义的有界函数.若对任给8>0,均有fER([a+o,b]),则fER(La,b])证明对任给>0,>0,取8>0，使得0,取正整数no：1/nno），并作分划11A:0=0,>0,易知在[0,1]中满足一>)的有理数(与q是互素的正整数)只有有限个，不妨记为r1,r2，，r（k=k(e))现在，可作[0,1]的分划△，满足△
1.1定积分的概念、可积函数及其初等性质)的小区间，这样的小区间至多有个，其长度总和小于0(0≤≤1),则1/≤elw≤(a)ds,证明易知题式中的定积分均存在，故对[0，1]作分划△：(k = 0,1,2,,n).0=x
第1章定积分8I'f(a)dx ≤f1f(a)/ dr.注1f()|在[a,]上的可积性推不出f(x)在[a,]上的可积性性质1.1.7（乘积可积性）设fERLa，b])，gER(La，b])，则·gER([ab])性质1.1.8（复合函数的可积性）设fER(La，b])，且有m≤f()≤MrE[a，)；设EC([m，M))，则复合函数gLf(a)]在[a,b]上可积(证明见例1.1.10).注记R(α)是[0,1]上的Riemann函数，又定义g(0)=0,(r)=1(0
1.1定积分的概念、可积函数及其初等性质F(α)可表为F(r)=()十kr其中(）是以T为周期的连续函数证明（1）易知F(）是以2元为周期的函数.因为f(）在（0080）上一致连续，所以对任给>0，存在>0，使得M=|[" I f(t) I dt.If(u+)-(u)]
第1章定积分10[" f(r)dz-mM(b-a) f'Ef(r) -mMJdz[f(a)+mJf() -Mdx['Lf(z) -(-m)f(x) -M)dz≤0.(3) 易知’f()dz≤(a)≤,f(z)dz,从而有αf'f(r)dr≤(1-α)/" f(r)da =["f(x)dr-af, f(a)dr.移项即可得证例1.1.12试证明下列积分不等式：(1)（Cauchy-Schwarz不等式）设fER(Ea,b])，gER([a,b]),则'f(a)g(a)da≤f"1 f(x)g(a) /dz≤(J'f()da)*(I'g*(r)de)t.(*)(2)设fEC([0,I),0≤f(α)