第七章线性变换1符号ABCDEFGHIJKLXBE9K8gG孔2复习两个线性空间的同构，定义11数域P上两个线性空间v与V称为同构的，如果由V到v'有一个双射，具有以下性质：1) (α+β)=o(α)+o(β); 2) (kα)=ko(α)其中α,β是V中任意向量，k是P中任意数.这样的映射称为同构映射.由此引出线性映射，设V与V'是数域P上两个线性空间，如果由V到V有一个映射α，具有以下性质：1) (α+β)=(α)+o(β); 2) o(kα)=ko(α)其中α,β是V中任意向量，k是中任意数.这样的映射。称为线性映射，参见北京师范大学教材再特殊一点，如果V=V'，则称为线性变换，就是第七章
1 第七章 线性变换 1 符号 A B C D E F G H I J K L A B C D E F G H I J K L 2 复习两个线性空间的同构, 定义 11 数域 P 上两个线性空间 V 与 V 称为同构的，如果由 V 到 V 有一个双射 ，具有以下性质： 1） ( ) () () ; 2) (k) k(). 其中 , 是 V 中任意向量， k 是 P 中任意数.这样的映射 称为同构映 射. 由此引出线性映射, 设 V 与 V 是数域 P 上两个线性空间，如果由 V 到 V 有一个映射 ， 具有以下性质： 1） ( ) () () ; 2) (k) k(). 其中 , 是 V 中任意向量， k 是 P 中任意数.这样的映射 称为线性映 射,参见北京师范大学教材. 再特殊一点, 如果 V V , 则称为线性变换, 就是第七章
81线性变换的定义一、线性变换的定义线性空间V到自身的映射称为V的一个变换，1定义1线性空间√的一个变换称为线性变换，如果对于V中任意的元素α,β和数域p中任意数k，都有(α+β)=(α)+&(β) ;(1)(kα)=k (α)一般用花体拉丁字母，B，表示V的线性变换，α）或&α代表元素α在变换&下的像.定义中等式(1)所表示的性质，有时也说成线性变换保持向量的加法与数量乘法2如何验证一个变换是线性变换(1)是线性空间V中的一个变换，（2）保加法（3）保数乘例1线性空间V中的恒等变换或称单位变换&，即(α)=α (αe)以及零变换の，即0 (α)=0 (αeV)都是线性变换例2设V是数域P上的线性空间，k是P中的某个数，定义V的变换如下：αeV.α→kα,2
2 §1 线性变换的定义 一、线性变换的定义 线性空间 V 到自身的映射称为 V 的一个变换. 1 定义 1 线性空间 V 的一个变换 A 称为线性变换，如果对于 V 中任意的元素 , 和数域 P 中任意数 k ，都有 A ( )=A( )+A( ); A( k )= k A ( ) （1） 一般用花体拉丁字母 A，B，.表示 V 的线性变换，A( )或 A 代表 元素 在变换 A 下的像.定义中等式(1)所表示的性质，有时也说成线 性变换保持向量的加法与数量乘法. 2 如何验证一个变换是线性变换 (1) A 是线性空间 V 中的一个变换， (2) 保加法 (3) 保数乘 例 1 线性空间 V 中的恒等变换或称单位变换 ℰ，即 ℰ () ( V) 以及零变换 O，即 O () 0 ( V) 都是线性变换. 例 2 设 V 是数域 P 上的线性空间， k 是 P 中的某个数，定义 V 的 变换如下： k, V
这是一个线性变换，称为由数k决定的数乘变换，可用表示显然当k=1时，便得恒等变换，当k=0时，便得零变换例3在线性空间P[x]或者P[x],中，求微商是一个线性变换.这个变换通常用の代表，即（f(x)）=f(x).例4定义在闭区间[a,b]上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以C(a,b)代表.在这个空间中变换g (f(x)) ="f(t)dt是一线性变换例5取定AeF，定义F"的变换，对于XeF"，(X)=AX例6在F3中，对于任意向量α=(，x,)，定义d (α)=(,x,x)结论：线性空间V的一个变换称为线性变换，如果对于V中任意的元素α,β和数域F中任意数k，k，都有(kα+kβ)=ki(α)+k(β)二、线性变换的简单性质：1.设是V的线性变换，则(0)=0，（-α)=-（α）2．线性变换保持线性组合与线性关系式不变.换句话说，如果β是αi,α2,",α,的线性组合：β=ka,+ka, +.+k,a,,那么经过线性变换之后，（β)是（α),（α)，"，（α)同样的线性组合：3
3 这是一个线性变换，称为由数 k 决定的数乘变换，可用 K 表示. 显然当 k 1 时，便得恒等变换，当 k 0 时，便得零变换. 例 3 在线性空间 P x[ ] 或者 [ ] P x n 中，求微商是一个线性变换.这个 变换通常用 D 代表，即 D（ f (x) ）= f (x) . 例 4 定义在闭区间 a,b 上的全体连续函数组成实数域上一线性 空间，以 C(a,b) 代表.在这个空间中变换 ℐ（ f (x) ）= x a f (t)dt 是一线性变换. 例 5 取定 n n A F , 定义 n F 的变换 A, 对于 n X F , A (X)=AX 例 6 在 3 F 中, 对于任意向量 1 2 3 ( , , ) x x x , 定义 A 222 1 2 3 ( ) ( , , ) xxx 结论: 线性空间 V 的一个变换 A 称为线性变换，如果对于 V 中 任意的元素 , 和数域 F 中任意数 1 2 k k, ，都有 A ( 1 2 k k )= 1 k A ( )+ 2 k A ( ) 二、线性变换的简单性质： 1. 设 A 是 V 的线性变换，则 A(0)=0, A ( )=-A ( ). 2. 线性变换保持线性组合与线性关系式不变.换句话说，如果 是 r , , , 1 2 的线性组合： r r k11 k2 2 k , 那么经过线性变换 A 之后，A ( )是 A ( 1 ),A ( 2 ),., A ( r ) 同样的线性组合：
()=k&(α)+k2(α)++k,(α,)又如果α,αz，,α,之间有一线性关系式k,α,+k,α, +...+k,a,=0那么它们的像之间也有同样的关系式k(a)+k,(α)++k,(α,)=03.线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组三、两个线性变换相等设%，B是数域F上线性空间V的线性变换，如果任取αeV,都有α=Bα，则称=4
4 A ( )= 1 k A ( 1 )+ 2 k A ( 2 )+.+ r k A ( r ) 又如果 r , , , 1 2 之间有一线性关系式 k11 k2 2 kr r 0 那么它们的像之间也有同样的关系式 1 k A ( 1 )+ 2 k A ( 2 )+.+ r k A ( r )=0. 3. 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组. 三、两个线性变换相等 设 A，B 是数域 F 上线性空间 V 的线性变换, 如果任取 V , 都有 A =B , 则称 A = B
82线性变换的运算一、由线性变换构成的线性空间1．线性变换的加法（1）设B是线性空间V的两个线性变换，定义它们的和4为(4B) (α)= (α)+(α)(αev).则线性变换的和还是线性变换。(2）线性变换的加法适合结合律与交换律，即0+(+6=04B+6+B=B+L0.对于加法，零变换の与所有线性变换的和仍等于+0-对于每个线性变换&，可以定义它的负变换（-）：(αev).(-) (α)=- (α)则负变换（-）也是线性变换，且34 (-) =0.2、线性变换的数量乘法数域P中的数与线性变换的数量乘法定义为k即k(α)=k (α),当然还是线性变换.线性变换的数量乘法适合以下的规律：(kl)Fk(1),(k+l)s=k+ls%,k (B)=k+k B, 1=线性空间V上全体线性变换，对于如上定义的加法与数量乘法，也构成数域P上一个线性空间.5
5 §2 线性变换的运算 一、由线性变换构成的线性空间 1．线性变换的加法 (1) 设 A,B 是线性空间 V 的两个线性变换，定义它们的和 A+B 为 (A+B)( )= A( )+B( ) ( V ). 则线性变换的和还是线性变换. (2) 线性变换的加法适合结合律与交换律，即 A+(B+C)=(A+B)+C. A+B=B+A. 对于加法，零变换 O 与所有线性变换 A 的和仍等于 A： A+O=A. 对于每个线性变换 A，可以定义它的负变换（-A）： (-A)( )=- A ( ) ( V ). 则负变换（-A）也是线性变换，且 A+（-A）=O. 2、线性变换的数量乘法 数域 P 中的数与线性变换 A 的数量乘法定义为 k A 即 k A ( )= k A ( ), 当然 A 还是线性变换.线性变换的数量乘法适合以下的规律： (kl) A=k ( l A), (k l) A=k A + l A, k (A+B)= k A+ k B, 1A =A. 线性空间 V 上全体线性变换，对于如上定义的加法与数量乘法，也构 成数域 P 上一个线性空间
二、线性变换的乘法1.设%.B是线性空间V的两个线性变换，定义它们的乘积为，(αev).(B)(α)=(g(α))则线性变换的乘积也是线性变换2．线性变换的乘法适合结合律，即(g)B=(BE)3.线性变换的乘法不适合交换律例如，在实数域上的线性空间中，线性变换 (f(α)) =f(α) (f(x)) =" f()di的乘积の9=，但一般994.对于任意线性变换以，都有 == 5.V的变换称为可逆的，如果有V的变换存在，使B=X= 8.这时，变换称为的逆变换，记为.如果线性变换是可逆的，那么它的逆变换也是线性变换6.线性变换的乘法对加法有左右分配律，即 (B+)=+,(+6)=B+6注意我们可以证明k=6
6 二、线性变换的乘法 1．设 A , B 是线性空间 V 的两个线性变换，定义它们的乘积为. (AB)( )= A (B ( )) ( V ). 则线性变换的乘积也是线性变换. 2．线性变换的乘法适合结合律，即 (AB)C =A (B C). 3．线性变换的乘法不适合交换律. 例如，在实数域上的线性空间中，线性变换 D（ f (x) ）= f (x) . ℐ（ f (x) ）= x a f (t)dt 的乘积 D ℐ=ℰ，但一般 ℐD≠ℰ. 4．对于任意线性变换 A，都有 A ℰ=ℰA = A. 5．V 的变换 A 称为可逆的，如果有 V 的变换 B 存在，使 A B =B A = ℰ. 这时，变换 B 称为 A 的逆变换，记为 A 1 . 如果线性变换 A 是可逆 的，那么它的逆变换 A 1 也是线性变换 6. 线性变换的乘法对加法有左右分配律，即 A (B +C )=AB + A C， (B + C )A =B A +C A. 注意我们可以证明 k A =K A
三、线性变换的多项式既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线性变换重复相乘时，其最终结果是完全确定的，与乘法的结合方法无关.因此当n个（n是正整数）线性变换相乘时，就可以用吟AA...A来表示，称为的n次幂，简记为.作为定义，令= &.根据线性变换幂的定义，可以推出指数法则：m+n="", (")"=m"(m,n≥0)当线性变换可逆时，定义A的负整数幂为"=("）"（n是正整数).值得注意的是，线性变换乘积的指数法则不成立，即一般说来(g)"+"g".设f(x)=amx" +am-1x"-- +.+ao是P[x]中一多项式，是V的一个线性变换，定义f ()=am"+am--m-l+..+ao 8显然f（）是一线性变换，它称为线性变换的多项式不难验证，如果在P[x]中h(x)= f(x)+g(x) ,p(x)=f(x)g(x)那么h()=f()+g(), p()=f ()g()特别地，f（）g（)=g（）(）7
7 三、线性变换的多项式 既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线性变换 A 重复相 乘时，其最终结果是完全确定的，与乘法的结合方法无关.因此当 n 个 （ n 是正整数）线性变换 A 相乘时，就可以用 n个 AA A 来表示，称为 A 的 n 次幂，简记为 A n .作为定义，令 A 0 = ℰ. 根据线性变换幂的定义，可以推出指数法则： A mn = A m A n ,(A m ) n =A m n (m,n 0) 当线性变换 A 可逆时，定义 A 的负整数幂为 A n =(A 1 ) n ( n 是正整数). 值得注意的是，线性变换乘积的指数法则不成立，即一般说来 (A B ) n A n B n . 设 0 1 1 f (x) a x a x a m m m m 是 P x[ ] 中一多项式，A 是 V 的一个线性变换，定义 f ( A )= m a A m + m1 a A m1 +.+ 0 a ℰ 显然 f (A)是一线性变换，它称为线性变换 A 的多项式. 不难验证，如果在 P x[ ] 中 h(x) f (x) g(x) , p(x) f (x)g(x), 那么 h (A )= f (A )+ g (A ), p (A )= f (A ) g (A ). 特别地， f (A ) g (A )= g (A ) f (A )
即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的0例2在线性空间P[]中，求微商是一个线性变换，用表示，显然有9"=0.练习：2，3，4，5，6
8 即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的. O 例 2 在线性空间 [ ] P n 中，求微商是一个线性变换，用 D 表示. 显然有 D n O. 练习：2， 3， 4， 5， 6
s3线性变换和矩阵一、在有限维线性空间上，如何定义一个线性变换设V是数域P上n维线性空间.j,62,,6,是V的一组基，现在建立线性变换与矩阵关系.空间V中任意一个向量可以被基6,62.,8线性表出，即有关系式(1)5=X6)+X282 +..-+X,8n其中系数是唯一确定的，它们就是在这组基下的坐标。由于线性变换保持线性关系不变，因而在的像与基的像6i，62，，%8.之间也必然有相同的关系： 5=0 (X6+X282 +.+x,e,)(2)=xj(s))+x2(8)+..+x(s,)上式表明，如果知道了基s,62",8,的像，那么线性空间中任意一个向量的像也就知道了，或者说1.设6,62，…,6,是线性空间的一组基，如果线性变换&与B在那这组基上的作用相同，即8=6,，i=1,2,",n,么=B结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.2基向量的像却完全可以是任意的，也就是设s,2,8是线性空间V的一组基，对于任意一组向量α1,α2,"α，一定有一个线性变换，使=αi=1,2,.,n9
9 §3 线性变换和矩阵 一、在有限维线性空间上，如何定义一个线性变换 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间. n , , , 1 2 是 V 的一组基，现在建立 线性变换与矩阵关系.空间 V 中任意一个向量 可以被基 n , , , 1 2 线 性表出，即有关系式 n n x x x 1 1 2 2 (1) 其中系数是唯一确定的，它们就是 在这组基下的坐标. 由于线性变 换保持线性关系不变，因而在 的像 A 与基的像 A 1 ,A 2 ,.，A n 之间也必然有相同的关系： A =A（ n n x x x 1 1 2 2 ） = 1 x A ( 1 )+ 2 x A ( 2 )+.+ n x A ( n ) (2) 上式表明，如果知道了基 n , , , 1 2 的像，那么线性空间中任意 一个向量 的像也就知道了，或者说 1. 设 n , , , 1 2 是线性空间 V 的一组基，如果线性变换 A 与 B 在 这组基上的作用相同，即 A i =B i ， i 1, 2 , ,n , 那 么 A = B. 结论 1 的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所 决定. 2 基向量的像却完全可以是任意的，也就是 设 n , , , 1 2 是线性空间 V 的一组基，对于任意一组向量 n , , , 1 2 一 定有一个线性变换 A , 使 A i = i i 1, 2 , ,n
3定理1设,62",是线性空间的一组基，α,α2"α是V中任意n个向量．存在唯一的线性变换使i=1,2,,n6=α二、线性变换在某组基下对应的矩阵1定义2设6,62,6,是数域P上n维线性空间的一组基，是V中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出：[A8,=ae+a262+...+ae,,A82=ai2j+a2252+.+an2EnAs,=ainei+a2ne,+..+aen用矩阵表示就是(81,82,,8,)=((s1), (c,), *, (c,))=(81,62,,6n)A(5)其中(aai2duna21a22a2mA=aman2...am矩阵A称为线性变换在基6,82,6下的矩阵2如何求？例1数乘变换%在任意一组基6,62，,6，下的矩阵(ab)例2在F2x2中定义线性变换%XX.求它在基(c d)E,E2,E21,Ez2下的矩阵例3在F[x]，中，求在基1,x,x,x"-下的矩阵例4设6j,82,",8m是n(n>m)维线性空间v的子空间W的一组基，10
10 3 定理 1 设 n , , , 1 2 是线性空间 V 的一组基， n , , , 1 2 是 V 中 任意 n 个向量. 存在唯一的线性变换 A 使 A i = i i 1, 2 , ,n. 二、线性变换在某组基下对应的矩阵 1 定义 2 设 n , , , 1 2 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一组基，A 是 V 中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出： . , , 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 n n n n n n n n n n A a a a A a a a A a a a 用矩阵表示就是 A（ n , , , 1 2 ）=（A ( 1 )，A ( 2 )，.， A ( n )）=( 1 , 2 , , n )A (5) 其中 n n n n n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 矩阵 A 称为线性变换 A 在基 n , , , 1 2 下的矩阵. 2 如何求？ 例 1 数乘变换 K 在任意一组基 n , , , 1 2 下的矩阵 例 2 在 2 2 F 中定义线性变换 A a b X X c d , 求它在基 11 12 21 22 E E E E , , , 下的矩阵 例 3 在 [ ] F x n 中，求 D 在基 2 1 1, , , , n x x x 下的矩阵 例 4 设 m , , , 1 2 是 n (n m) 维线性空间 V 的子空间 W 的一组基