第九章欧几里得空间81定义与基本性质一、向量的内积1.．复习第六章线性空间的内容2．本章主要是实数域上的线性空间，第八节是复数域上的线性空间.3.内积的定义设V是实数域R上一个向量空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作（α，β)，它具有以下性质1) (α,β)=(β,α);2) (kα,β)=k(α,β);3) (α+β,)=(α,)+(β,);4）(α,α)≥0,当且仅当α=0时，(α,α)=0这里α,β,是V任意的向量，k是任意实数这样的线性空间V称为欧几里得空间4.常见的例子例1在线性空间R"中,对于向量α=(ai,a2,",an),β=(by,b2,",b),定义内积(1)(α, β)=ab, +a,b, +...+a,bn则内积(1)适合定义中的条件，这样R"就成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间1
1 第九章 欧几里得空间 §1 定义与基本性质 一、向量的内积 1. 复习第六章线性空间的内容 2．本章主要是实数域上的线性空间，第八节是复数域上的线性 空间. 3. 内积的定义 设 V 是实数域 R 上一个向量空间, 在 V 上定义了一个二元实函 数，称为内积, 记作 (, ), 它具有以下性质: 1) (,) (,) ; 2) (k,) k(,) ; 3) ( , ) (, ) (, ) ; 4) (,) 0,当且仅当 0 时, (,) 0 这里 , , 是 V 任意的向量, k 是任意实数,这样的线性空间 V 称 为欧几里得空间. 4. 常见的例子 例 1 在线性空间 n R 中,对于向量 ( , , , ) , ( , , , ) a1 a2 an b1 b2 bn , 定义内积 ( , ) . a1 b1 a2 b2 an bn (1) 则内积(1)适合定义中的条件，这样 n R 就成为一个欧几里得空间.仍用 来表示这个欧几里得空间
在n=3时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式例2在R里，对于向量α=(ar,az,*",an),β=(bi,b2,".,b,)定义内积(α, β)=a,b +2a,b, +...+na,b.则内积(1)适合定义中的条件，这样R"就也成为一个欧几里得空间仍用来表示这个欧几里得空间对同一个线性空间可以引入不同的内积，使得它作成欧几里得空间.例3在闭区间[a,b]上的所有实连续函数所成的空间C(a,b)中，对于函数(x),g(x)，定义内积(2)(f(n),g(x)=I f(x)g(x)dx对于内积(2)，C(a,b)构成一个欧几里得空间同样地，线性空间R[x]，R[x]，对于内积(2)也构成欧几里得空间例4在R中，对于α=(x,J,)，β=(2,2,=),(α,β)=x+2-3z2是否是一个内积？例5在Rx3中，对于矩阵A,B，定义内积tr(A"B2
2 在 n 3 时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的 坐标表达式. 例 2 在 n R 里, 对于向量 ( , , , ) , ( , , , ) a1 a2 an b1 b2 bn , 定义内积 ( , ) 2 . a1 b1 a2 b2 nan bn 则内积(1)适合定义中的条件，这样 n R 就也成为一个欧几里得空间. 仍用来表示这个欧几里得空间. 对同一个线性空间可以引入不同的内积, 使得它作成欧几里得空 间. 例 3 在闭区间 [a,b] 上的所有实连续函数所成的空间 C(a,b) 中, 对于 函数 f (x), g(x), 定义内积 b a ( f (x), g(x)) f (x)g(x)dx . (2) 对于内积(2)，C(a,b) 构成一个欧几里得空间. 同样地，线性空间 [ ], [ ] R x R x n 对于内积(2)也构成欧几里得空间. 例 4 在 3 R 中, 对于 1 1 1 2 2 2 ( , , ) , ( , , ) x y z x y z , 1 2 1 2 1 2 ( , ) 2 3 x x y y z z 是否是一个内积？ 例 5 在 3 3 R 中, 对于矩阵 A B, , 定义内积 ( ) T tr A B
二、欧几里得空间的基本性质1.性质1）定义中条件1）表明内积是对称的2') (α,kβ)=(kβ,α)=k(α,β)=k(β,α)3') (α,β+y)=(β+y,α)=(β,α)+(,α)=(α,β)+(α,)2.向量α的长度非负实数α,)称为向量α的长度，记为al显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质：(3)[ka| =k 1[al这里keR,αeV,3.单位向量长度为1的向量叫做单位向量.如果，α±0由(3)式，向量1a就是一个单位向量.用向量α的长度去除向量α，得到一个与α成比例的单位向量，通常称为把α单位化4.柯西-布涅柯夫斯基不等式即对于任意的向量α,β有(5)[(α, β)≤|β当且仅当α，β线性相关时，等式才成立证明：任取t，都有(α+tβ,α+tβ)≥0即可3
3 二、欧几里得空间的基本性质 1. 性质 1）定义中条件 1）表明内积是对称的. 2) (,k) (k,) k(,) k(,). 3) (, ) ( ,) (,) ( ,) (,) (, ) 2. 向量 的长度 非负实数 (,) 称为向量 的长度，记为 . 显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定 义的长度符合熟知的性质： k | k | (3) 这里 k R, V . 3.单位向量 长度为 1 的向量叫做单位向量.如果, 0 由(3)式，向量 1 就是一个单位向量.用向量 的长度去除向量 ，得到一个与 成比例 的单位向量，通常称为把 单位化. 4. 柯西-布涅柯夫斯基不等式： 即对于任意的向量 , 有 (, ) (5) 当且仅当 , 线性相关时，等式才成立. 证明: 任取 t , 都有 ( , ) 0 t t 即可
下面是这个不等式的具体情况对于例1的空间R"，(5)式就是ab,+a,b,++a.b.,≤a+a?+..+a,b?+b+.+b?对于例2 的空间C(a,b)，(5)式就是[" ()g()d≤(" (x)da) ( g()ax)5.非零向量α,β的夹角规定为= ac0 , 0≤(a, )≤ alB根据柯西-布涅柯夫斯基不等式，有三角形不等式[α + β≤+[例5欧氏空间R中，α=(2,1,3,2)。β=(1,2,-2,1)，则α,βα与β的夹角=6α,β称为正交或互相垂直如果向量α.β的内积为零，即(α,β)= 0那么α.β称为正交或互相垂直，记为α士β两个非零向量正交的充要条件是它们的夹角为“2只有零向量才与自己正交勾股定理：当α,β正交时，α+=a+推广：如果向量两αiαz,αm两两正交，那么[a +α2 +...+m -a] +a2" +.+amA
4 下面是这个不等式的具体情况 对于例 1 的空间 n R ，(5)式就是 . 2 2 2 2 1 2 2 2 2 a1b1 a2b2 anbn a1 a an b b bn 对于例 2 的空间 C(a,b)，(5)式就是 2 1 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) b a b a b a f x g x dx f x dx g x dx 5. 非零向量 , 的夹角 , 规定为 , 0 , ( , ) , arccos 根据柯西-布涅柯夫斯基不等式，有三角形不等式 . 例 5 欧氏空间 4 R 中， (2,1,3,2), (1,2, 2,1) ，则 | | ，| | 与 的夹角 ＝ 6 , 称为正交或互相垂直 如果向量 , 的内积为零，即 (,) 0 那么 , 称为正交或互相垂直，记为 . 两个非零向量正交的充要条件是它们的夹角为 2 . 只有零向量才与自己正交. 勾股定理：当 , 正交时， . 2 2 2 推广：如果向量两 m , , , 1 2 两两正交，那么 2 2 2 2 1 2 1 2 m m
三、度量矩阵1度量矩阵的定义设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基6j,62，,，对于V中任意两个向量α=Xe +X,e2 +...+x,en,β=ye,+y2e, +...+ynen?由内积的性质得(α,β)=(x6) +X262 +..+X,8n,yi8) +y2E2 +.+yne.)2Z(6,6)x,)i=l j=l令(8)(i, j=1,2,..,n)a, =(6,8))显然a,=aji.于是Za,xy-(α,β)=(9)=利用矩阵，（α,β)还可以写成(10)(α,β)=X'AY ,其中yiy2xXynX分别是α,β的坐标，而矩阵A=(a,)mm5
5 三、度量矩阵 1 度量矩阵的定义 设 V 是一个 n 维欧几里得空间，在 V 中取一组基 n , , , 1 2 ， 对于 V 中任意两个向量 n n x x x 1 1 2 2 , n n y y y 1 1 2 2 , 由内积的性质得 n i n j i j i j n n n n x y x x x y y y 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 ( , ) ( , ) , 令 a ( , ) (i, j 1, 2 , ,n) ij i j (8) 显然 . aij a ji 于是 n i n j ij i j a x y 1 1 (, ) (9) 利用矩阵， (, ) 还可以写成 (,) XAY , (10) 其中 n n y y y Y x x x X 2 1 2 1 , 分别是 , 的坐标，而矩阵 A aij nn ( )
称为基8,62，,6,的度量矩阵.上面的讨论表明，在知道了一组基的度量矩阵之后，任意两个向量的内积就可以通过坐标按（9）或（10）来计算，因而度量矩阵完全确定了内积例 6 在R[xl;中，定义内积(f(x),g(x)=f(x)g(x)dx，求基1，x，x的度量矩阵2不同基的度量矩阵是合同的设2n是空间的另外一组基，而由j62到2的过渡矩阵为C，即(n,n2,"",nn)=(6j,82,"",8,)C于是不难算出，基n,n2,n的度量矩阵(11)B=(b,)=(n,n,)=C'"AC .这就是说，不同基的度量矩阵是合同的例7:在R3中，求(1)基α=(1,0,0)，α,=(1,1,0)，α,=(1,1,1)所对应的度量矩阵(2)基β=(1,0,0)，β,=(1,2,0)，β,=(1,1,3）所对应的度量矩阵3度量矩阵是正定根据条件(4)，对于非零向量α，即00X+(o)有(α,α) = X'AX >0因此，度量矩阵是正定的6
6 称为基 n , , , 1 2 的度量矩阵.上面的讨论表明，在知道了一组基的度 量矩阵之后，任意两个向量的内积就可以通过坐标按（9）或（10） 来计算，因而度量矩阵完全确定了内积. 例 6 在 3 R x[ ] 中 , 定义 内 积 1 1 ( ( ), ( )) ( ) ( ) f x g x f x g x dx , 求 基 2 1, , x x 的度量矩阵 2 不同基的度量矩阵是合同的 设 n , , , 1 2 是空间 V 的另外一组基，而由 n , , , 1 2 到 n , , , 1 2 的过渡矩阵为 C ，即 (1 ,2 , ,n ) ( 1 , 2 , , n )C 于是不难算出，基 n , , , 1 2 的度量矩阵 B b C AC ij i j ( , ) . (11) 这就是说，不同基的度量矩阵是合同的. 例 7: 在 3 R 中，求 (1) 基 1 (1, 0, 0), 2 (1,1, 0), 3 (1,1,1) 所对应的度量矩阵 (2) 基 1 (1, 0, 0), 2 (1,2, 0), 3 (1,1, 3) 所对应的度量矩阵 3 度量矩阵是正定 根据条件(4)，对于非零向量 ，即 0 0 0 X 有 (,) XAX 0 因此，度量矩阵是正定的
4反之，给定一个n级正定矩阵A及n维实线性空间V的一组基j,62,,，可以规定V上内积，使它成为欧几里得空间，并且基的81,62,,8,度量矩阵是A见习题1.欧几里得空间以下简称为欧氏空间7
7 4 反之，给定一个 n 级正定矩阵 A 及 n 维实线性空间 V 的一组基 n , , , 1 2 . 可以规定 V 上内积，使它成为欧几里得空间，并且基的 n , , , 1 2 度量矩阵是 A . 见习题 1. 欧几里得空间以下简称为欧氏空间
S2标准正交基一、正交向量组1.定义5欧氏空间V的一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一个正交向量组．按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组2.正交向量组是线性无关的3．上述结果说明，在n维欧氏空间中，两两正交的非零向量不能超过n个.二、标准正交基1.定义6在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基组对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基2．设&,2,6,是一组标准正交基，由定义，有-J1,当i=j;(1)(6,6,)=3[o,当i+j显然，（1)式完全刻画了标准正交基的性质换句话说，一组基为标准正交基的充要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵3.因为度量矩阵是正定矩阵的，根据第五章关于正定二次型的结果，正定矩阵合同于单位矩阵.这说明在n维欧氏空间中存在一组基它的度量矩阵是单位矩阵.由此断言，在n维欧氏空间中，标准正交基8
8 §2 标准正交基 一、正交向量组 1．定义 5 欧氏空间 V 的一组非零的向量, 如果它们两两正交， 就称为一个正交向量组. 按定义，由单个非零向量所成的向量组也是 正交向量组. 2．正交向量组是线性无关的. 3．上述结果说明，在 n 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不 能超过 n 个. 二、标准正交基 1．定义 6 在 n 维欧氏空间中，由 n 个向量组成的正交向量组称 为正交基； 由单位向量组成的正交基称为标准正交基组. 对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基. 2． 设 n , , , 1 2 是一组标准正交基，由定义，有 0, . 1, ; ( , ) i j i j i j 当 当 (1) 显然，(1)式完全刻画了标准正交基的性质. 换句话说，一组基为 标准正交基的充要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵. 3．因为度量矩阵是正定矩阵的，根据第五章关于正定二次型的 结果，正定矩阵合同于单位矩阵.这说明在 n 维欧氏空间中存在一组基， 它的度量矩阵是单位矩阵.由此断言，在 n 维欧氏空间中，标准正交基
是存在的4.在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来，即(2)α=(61,α)s)+(82,α)62+...+(8n,α)6,在标准正交基下，内积有特别简单的表达式.设α=X+xe2+...+,enB=J8 +y282 +...+ynon那么(3)(α,β)=xyi+xy, +...+x.yn=XY这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广.应该指出，内积的表达式(3)，对于任一组标准正交基都是一样的，这说明了，所有的标准正交基，在欧氏空间中有相同的地位三、标准正交基的存在性及其正交化方法1.把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些书和文献中称为施密特（Schimidt）正交化过程设α,α2,α㎡是一组线性无关的向量(1）正交化β, =α1(α,β)β,=α -((β,β)B,=α -(aP) p-(a ) p.(B,B)(B2,β2)9
9 是存在的. 4．在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来， 即 n n ( ,) ( ,) ( ,) 1 1 2 2 . (2) 在标准正交基下，内积有特别简单的表达式.设 . 1 1 2 2 n n x x x . 1 1 2 2 n n y y y 那么 ( , ) . x1 y1 x2 y2 xn yn XY (3) 这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推 广. 应该指出，内积的表达式(3)，对于任一组标准正交基都是一样的. 这 说明了，所有的标准正交基，在欧氏空间中有相同的地位. 三、标准正交基的存在性及其正交化方法 1．把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些 书和文献中称为施密特（Schimidt）正交化过程 设 1 2 , , , m 是一组线性无关的向量 (1) 正交化 1 1 2 1 2 2 1 1 1 ( , ) ( , ) 3 1 3 2 3 3 1 2 1 1 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
(g,B) B - (αs,B) B, - (as,B)β, =α -(β1,β)(β2,β) P(β3,β,)由此推出(arPBβ= αk-台(β,β)(2)单位化例 1α,=(1,1,0,0),α, =(1,0,1,0),α,=(-1,0,0,1),α4=(1,-1,-1,1) 变成单位正交组2.定理1n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组标准正交基应该注意，定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩充正交向量组的方法，如果从任一个非零向量出发，按证明中的步骤逐个地扩充，最后就得到一组正交基.、再单位化，就得到一组标准正交基3．定理2对于n维欧氏空间中任意一组基6j,82,8，都可以找到一组标准正交基n1,n2n，使L(6),82,",6,)= L(n,2,",n), i=1,2,",n应该指出，定理中的要求L(),82,,8)= L(n,n2,",n), i=1,2,,n就相当于由基,628到基n2n的过渡矩阵是上三角形的三、正交矩阵上面讨论了标准正交基的求法.由于标准正交基在欧氏空间中占10
10 4 1 4 2 4 3 4 4 1 2 3 1 1 2 2 3 3 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 由此推出 1 1 ( , ) ( , ) k k i k k i i i i (2) 单位化 例 1 1 2 3 4 (1,1,0,0), (1,0,1,0), ( 1,0,0,1), (1, 1, 1,1) 变成单 位正交组 2．定理 1 n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组标 准正交基. 应该注意，定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩充正交向 量组的方法. 如果从任一个非零向量出发，按证明中的步骤逐个地扩 充，最后就得到一组正交基.、再单位化，就得到一组标准正交基. 3．定理 2 对于 n 维欧氏空间中任意一组基 n , , , 1 2 ，都可以找 到一组标准正交基 n , , , 1 2 ，使 L( 1 , 2 , , i ) ( , , , ) , 1,2, , . L 1 2 i i n 应该指出，定理中的要求 L( 1 , 2 , , i ) ( , , , ) , 1,2, , . L 1 2 i i n 就相当于由基 n , , , 1 2 到基 n , , , 1 2 的过 渡矩阵是上三角形的. 三、正交矩阵 上面讨论了标准正交基的求法.由于标准正交基在欧氏空间中占