山东理工大学：《高等代数》课程教学课件（教案讲义）第六章 线性空间

第六章线性空间s1集合·映射一、集合集合的有关概念学过，集合的差集：M-N=(x|xeM,xN)二、映射1映射的定义设M和M'是两个集合，所谓集合M到集合M的一个映射就是指一个法则，它使M中每一个元素α都有M'中一个确定的元素α与之对应.如果映射使元素α'eM'与元素aeM对应，那么就记为o(a)=a',a'就为a在映射。下的像，而a称为a'在映射。下的一个原像M到M自身的映射，有时也称为M到自身的变换关于M到M'的映射α应注意：1）M与M可以相同，也可以不同：2）对于M中每个元素αa，需要有M'中一个唯一确定的元素α与它对应；3）一般，M中元素不一定都是M中元素的像；4）M中不相同元素的像可能相同1

1 第六章 线性空间 §1 集合·映射 一、集合 集合的有关概念学过. 集合的差集: M N x x M x N      | ,  二、映射 1 映射的定义 设 M 和 M  是两个集合，所谓集合 M 到集合 M  的一个映射就是指 一个法则，它使 M 中每一个元素 a 都有 M  中一个确定的元素 a  与之对 应.如果映射  使元素 a M 与元素 a  M 对应，那么就记为 (a)  a , a  就为 a 在映射  下的像，而 a 称为 a  在映射  下的一个原像. M 到 M 自身的映射，有时也称为 M 到自身的变换. 关于 M 到 M  的映射  应注意： 1） M 与 M  可以相同，也可以不同； 2）对于 M 中每个元素 a ，需要有 M  中一个唯一确定的元素 a  与 它对应； 3）一般， M  中元素不一定都是 M 中元素的像； 4） M 中不相同元素的像可能相同；

5）两个集合之间可以建立多个映射2两个映射相等集合M到集合M的两个映射及，若对M的每个元素a都有o(a)=t(a)则称它们相等，记作=t..例1M是全体整数的集合，M是全体偶数的集合，定义o(n)=2n,neM,这是M到M'的一个映射例2M是数域P上全体n级矩阵的集合，定义O(A)=AI, AeM.这是M到P的一个映射例3M是数域P上全体n级矩阵的集合，定义,(a)=aE, aeP.E是n级单位矩阵，这是P到M的一个映射例 4对于f(x)eP[x],定义o(f(x))= f'(x)这是P[x]到自身的一个映射例5设M，M是两个非空的集合，α是M'中一个固定的元素，定义o(a)=a,aeM.这是M到M'的一个映射例6设M是一个集合，定义d(a)=a,aeM2

2 5）两个集合之间可以建立多个映射. 2 两个映射相等 集合 M 到集合 M  的两个映射  及  ，若对 M 的每个元素 a 都有 (a)  (a) 则称它们相等，记作   . 例 1 M 是全体整数的集合， M  是全体偶数的集合，定义 (n)  2n, nM , 这是 M 到 M  的一个映射. 例 2 M 是数域 P 上全体 n 级矩阵的集合，定义 1  ( ) | |, A A A M   . 这是 M 到 P 的一个映射. 例 3 M 是数域 P 上全体 n 级矩阵的集合，定义 2  ( ) , a aE a P   . E 是 n 级单位矩阵，这是 P 到 M 的一个映射. 例 4 对于 f x P x ( ) [ ]  ,定义 ( f (x))  f (x) 这是 P x[ ] 到自身的一个映射. 例 5 设 M ，M  是两个非空的集合， a0 是 M  中一个固定的元素， 定义 (a)  a0 ,a  M . 这是 M 到 M  的一个映射. 例 6 设 M 是一个集合，定义 (a)  a ,a  M

即。把M的每个元素都映到它自身，称为集合M的恒等映射或单位映射，记为1M：例7任意一个定义在全体实数上的函数y=f(x)都是实数集合到自身的映射，因此函数可以认为是映射的一个特殊情形.3映射乘法，设及t分别是集合M到M，M'到M"的映射，乘积to定义为(to)(a) = t(o(a) ,ae M,即相继施行α和t的结果，to是M到M"的一个映射，对于集合集合M到M的任何一个映射显然都有Im0=olm=0.映射的乘法适合结合律.设,t,分别是集合M到M'，M'到M"，M"到M"的映射，映射乘法的结合律就是(yt)a=y(to)4映上的，1-1的，双射设是集合M到M的一个映射，用(M)代表M在映射。下像的全体，称为M在映射。下的像集合.显然o(M)C M.如果(M)=M"，映射。称为映上的或满射如果在映射。下，M中不同元素的像也一定不同，即由a,az定有(a)±(a,)，那么映射就称为1-1的或单射3

3 即  把 M 的每个元素都映到它自身，称为集合 M 的恒等映射 或单位映射，记为 M1 . 例 7 任意一个定义在全体实数上的函数 y  f (x) 都是实数集合到自身的映射，因此函数可以认为是映射的一个特殊情 形. 3 映射乘法, 设  及  分别是集合 M 到 M ，M  到 M  的映射，乘积  定义为 ( )(a)  ((a)) ,aM , 即相继施行  和  的结果，  是 M 到 M  的一个映射. 对于集合集合 M 到 M  的任何一个映射  显然都有 1M 1M  . 映射的乘法适合结合律.设 , , 分别是集合 M 到 M ，M  到 M ， M  到 M  的映射，映射乘法的结合律就是 () ( ). 4 映上的,11 的, 双射 设  是集合 M 到 M  的一个映射，用  (M) 代表 M 在映射  下像的全体，称为 M 在映射  下的像集合.显然 (M)  M . 如果 (M)  M ，映射  称为映上的或满射. 如果在映射  下， M 中不同元素的像也一定不同，即由 1 2 a  a 一 定有 ( ) ( )  a1  a2 , 那么映射  就称为 11 的或单射

一个映射如果既是单射又是满射就称1-1对应或双射，5逆映射对于M到M的双射。可以自然地定义它的逆映射，记为。-.因为α为满射，所以M"中每个元素都有原像，又因为α是单射，所以每个元素只有一个原像，定义-'(a)=a,当o(a)=α'.显然，是M到M的一个双射，并且g'g=1m,00- =1m.不难证明，如果,t分别是M到M'，M到M"的双射，那么乘积To就是M到M”的一个双射4

4 一个映射如果既是单射又是满射就称 11 对应或双射. 5 逆映射 对于 M 到 M  的双射  可以自然地定义它的逆映射，记为 1  .因 为  为满射，所以 M  中每个元素都有原像，又因为  是单射，所以 每个元素只有一个原像，定义 a   a a  a   ( ) , ( ) 1  当 . 显然， 1  是 M  到 M 的一个双射，并且 M M   1 , 1 1 1    . 不难证明，如果 , 分别是 M 到 M ，M  到 M  的双射，那么乘积  就是 M 到 M  的一个双射

s2线性空间的定义与简单性质一、线性空间的定义1线性空间的背景例1.数域P上一切矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法.例2数域P上n维向量所成的集合对于向量的加法和数与向量的乘法.2线性空间的定义定义1令V是一个非空集合，P是一个数域.在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说给出了一个法则，，对于V中任意两个向量α与β，在V中都有唯一的一个元素与它们对应,称为α与β的和,记为=α+β.在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域P中任一个数k与V中任一个元素α，在V中都有唯一的一个元素ε与它们对应，称为k与α的数量乘积，记为8=kα.如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V称为数域P上的线性空间加法满足下面四条规则：1)α+β=β+α;2) (α+β)+=α+(β+); 3)在V中有一个元素0，VαEV，都有α+0=α（具有这个性质的元素0称为V的零元素）；4)VαV,3βeV,stα+β=O（β称为α的负元素).5

5 §2 线性空间的定义与简单性质 一、线性空间的定义. 1 线性空间的背景 例 1. 数域 P 上一切矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵 的乘法. 例 2 数域 P 上 n 维向量所成的集合对于向量的加法和数与向量 的乘法. 2 线性空间的定义 定义 1 令 V 是一个非空集合， P 是一个数域.在集合 V 的元素之 间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说给出了一个法则，.对 于 V 中任意两个向量  与  ,在 V 中都有唯一的一个元素  与它们对 应,称为  与  的和,记为     . 在数域 P 与集合 V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这 就是说，对于数域 P 中任一个数 k 与 V 中任一个元素  ,在 V 中都有唯 一的一个元素  与它们对应,称为 k 与  的数量乘积,记为   k .如果 加法与数量乘法满足下述规则，那么 V 称为数域 P 上的线性空间. 加法满足下面四条规则: 1)       ； 2) (  )    (  ) ；3) 在 V 中有一个元素 0, V ,都有   0  （具有这个性质的元 素 0 称为 V 的零元素）； 4)  V, V,st     0 (  称为  的负元素)

数量乘法满足下面两条规则：5) lα=α;6) k(lα)=(kl)α;数量乘法与加法满足下面两条规则7)(k+D)α=kα+lα;8) k(α+β)=kα+kβ;在以上规则中，k,1等表示数域P中任意数；α,β,等表示集合V中任意元素3如何证明例3数域P上一元多项式环P[x]，按通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成一个数域P上的线性空间.如果只考虑其中次数小于n的多项式，再添上零多项式也构成数域P上的一个线性空间，用P[x],表示.例4元素属于数域P的mxn矩阵，按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法，构成数域P上的一个线性空间，用Pmx表示例5全体实函数，按函数加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间，例6数域P按照本身的加法与乘法，即构成一个自身上的线性空间.例7以下集合对于所指定的运算是否作成实数域R上的线性空间:6

6 数量乘法满足下面两条规则： 5) 1  ; 6) k(l)  (kl) ; 数量乘法与加法满足下面两条规则： 7) (k  l)  k  l ; 8) k(  ） k  k; 在以上规则中， k,l 等表示数域 P 中任意数； , , 等表示集合 V 中任 意元素. 3 如何证明 例 3 数域 P 上一元多项式环 P x[ ] ,按通常的多项式加法和数与多 项式的乘法，构成一个数域 P 上的线性空间.如果只考虑其中次数小 于 n 的多项式，再添上零多项式也构成数域 P 上的一个线性空间，用 [ ] P x n 表示. 例 4 元素属于数域 P 的 mn 矩阵，按矩阵的加法和数与矩阵的 数量乘法， 构成数域 P 上的一个线性空间，用 m n P  表示. 例 5 全体实函数，按函数加法和数与函数的数量乘法，构成一 个实数域上的线性空间. 例 6 数域 P 按照本身的加法与乘法，即构成一个自身上的线性空 间. 例 7 以下集合对于所指定的运算是否作成实数域 R 上的线性空 间:

1）平面上全体向量所作成的集合V，对于通常向量的加法和如下定义的纯量乘法：aα=0,aeR,αeV.2）R上n次多项式的全体所作成的集合W对于多项式的加法和数与多项式的乘法例8设V是正实数集，R为实数域.规定α④β=αβ(即α与β的积),aOα=αa（即α的a次幂），其中α,βeV,aeR.则V对于加法④和数乘O作成R上的线性空间二线性空间的简单性质线性空间的元素也称为向量.当然这里的向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得多.线性空间有时也称为向量空间.以下用黑体的小写希腊字母α,β.".代表线性空间V中的元素，用小写拉丁字母a,b,c,..代表数域P中的数.1.零元素是唯一的.2.负元素是唯一的.3.0α=0;k0=0;(-1)α=-α.4.如果kα=0,那么k=0或者α=07

7 1) 平面上全体向量所作成的集合 V ,对于通常向量的加法和如 下定义的纯量乘法: a  0,a R, V . 2) R 上 n 次多项式的全体所作成的集合 W 对于多项式的加法和 数与多项式的乘法. 例 8 设 V 是正实数集, R 为实数域.规定     (即  与  的积), a ⊙  = a  (即  的 a 次幂), 其中 , V,a R .则 V 对于加法⊕和数乘⊙作成 R 上的线性空间. 二 线性空间的简单性质 线性空间的元素也称为向量.当然这里的向量比几何中所谓向量 的涵义要广泛得多.线性空间有时也称为向量空间.以下用黑体的小 写希腊字母 ,, ,  代表线性空间 V 中的元素，用小写拉丁字母 a,b,c,  代表数域 P 中的数. 1.零元素是唯一的. 2.负元素是唯一的. 3. 0  0;k0  0;(1)  . 4.如果 k  0 ,那么 k  0 或者   0

s3维数·基与坐标一、向量的线性相关与线性无关复习前面的有关内容练习：5，6，例1在线性空间P[x],中，1,x,x2,…,x"-是n个线性无关的向量(100)例2对于数域P来讲，p23上(000)001000)7000)700，符号E(000100。10。。121是线性无关的二、如何判断一个线性空间是多少维的，求它的一组基在一个线性空间中究竞最多能有几个线性无关的向量，显然是线性空间的一个重要属性。定义5如果在线性空间V中有n个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，那么V就称为n维的；如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V就称为无限维的，α=ae+a62+.+anen其中系数a,a2a是被向量α和基,62,6,唯一确定的，这组数就称为α在基,2,下的坐标，记为（ai,a2,a,).定义6在n维线性空间V中，n个线性无关的向量s,82,8,称为V的一组基.设α是V中任一向量，于是s,2",n,α线性相关，因此α8

8 §3 维数·基与坐标 一、向量的线性相关与线性无关 复习前面的有关内容 练习：5，6， 例 1 在线性空间 [ ] P x n 中， 2 1 1, , , , n x x  x 是 n 个线性无关的向量 例 2 对于数域 P 来讲， 2 3 P  上 1 0 0 000       , 0 1 0 000       , 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1                         , 符号 Eij 是线性无关的 二、如何判断一个线性空间是多少维的，求它的一组基 在一个线性空间中究竟最多能有几个线性无关的向量，显然是线 性空间的一个重要属性. 定义 5 如果在线性空间 中有 n 个线性无关的向量，但是没有更 多数目的线性无关的向量，那么 就称为 n 维的；如果在 中可以找 到任意多个线性无关的向量，那么 就称为无限维的. a a an n        1 1 2 2 . 其中系数 a a an , , , 1 2  是被向量  和基 n  , , , 1 2  唯一确定的，这组数就 称为  在基 n  , , , 1 2  下的坐标，记为 ( , , , ) a1 a2  an . 定义 6 在 n 维线性空间 V 中， n 个线性无关的向量 n  , , , 1 2  称为 V 的一组基.设  是 V 中任一向量，于是  1 , 2 ,  , n , 线性相关，因此  V V V V

可以被基862，8线性表出：由以上定义看来，在给出空间V的一组基之前，必须先确定V的维数.定理1如果在线性空间V中有n个线性无关的向量αj,α2α,，且V中任一向量都可以用它们线性表出，那么V是n维的，而ααzα就是的一组基例3在线性空间P[x],中,1, x,x2,.",x"-1是n个线性无关的向量，而且每一个次数小于n的数域P上的多项式都可以被它们线性表出，所以P[x],是n维的，而1,x,x2，…,x"-就是它的一组基.例4在n维的空间p中，显然[6} = (1,.,),62 = (0,,,0)(6, = (0,0,.,.)是一组基.对于每一个向量α=(a,az,",a)，都有α=a,+a,e,+..+a,..所以(a,az"",a,)就是向量α在这组基下的坐标例5如果把复数域K看作是自身上的线性空间，那么它是一维的，数1就是一组作是实数域上的线性空间，那么就是二维的，数1与i就是一组基.这个例子告诉我们，维数是和所考虑的数域有关的是00例6：对于数域P来讲，p23是6维的，一组基是0009

9 可以被基 n  , , , 1 2  线性表出： 由以上定义看来，在给出空间 V 的一组基之前，必须先确定 V 的 维数. 定理 1 如果在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量    n ,. , , 1 2  ， 且 V 中任一向量都可以用它们线性表出，那么 V 是 n 维的，而    n ,. , , 1 2  就是 V 的一组基. 例 3 在线性空间 [ ] P x n 中， 2 1 1, , , , n x x  x 是 n 个线性无关的向量，而且每一个次数小于 n 的数域 P 上的多项式 都可以被它们线性表出，所以 [ ] P x n 是 n 维的，而 2 1 1, , , , n x x  x 就是它的 一组基. 例 4 在 n 维的空间 n P 中，显然           (0,0, ,1) (0,1, ,0), (1,0, ,0), 2 1     n    是一组基.对于每一个向量 ( , , , )   a1 a2  an ,都有 a a an n        1 1 2 2 . 所以 ( , , , ) a1 a2  an 就是向量  在这组基下的坐标. 例 5 如果把复数域 K 看作是自身上的线性空间，那么它是一维 的，数 1 就是一组作是实数域上的线性空间，那么就是二维的，数 1 与 i 就是一组基.这个例子告诉我们，维数是和所考虑的数域有关的. 例 6：对于数域 P 来讲， 2 3 P  是 6 维的，一组基是 1 0 0 000      

(88)符号E00f例7.P[x]是无限维的三、如何求向量在某一组基下的坐标1如何求向量在某一组基下的坐标假设V是数域P上的一个n维线性空间，s,2，,8，是一组基，αeV，令α=xc+x6,++x,,，得到一个线性方程组，由于6，62，,8，线性无关，则该方程组有唯一解。例8试求R3中向量α=(1,2,1)在基α=(1,1,1)，α,=(1,1,-1),α,=(1,-1,-1)下的坐标例9在线性空间P[x]中，1,x,x2,x3是一组基，求f(x)=5x+2x+7在该基下的坐标(978例10求p23的一组基,写出「在该基下的坐标3452向量运算与坐标运算的对应假设V是数域P上的一个n维线性空间，6，62，…,6，是一组基，α,βeV.则有aaα=a+a6,+..+a,8,=(,62,,n)an(b6β=b6)+b,62 +..+b,6,=(6),82,",6,).(bh)10

10 0 1 0 000       , 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1                         , 符号 Eij 例 7. P x[ ] 是无限维的 三、 如何求向量在某一组基下的坐标 1 如何求向量在某一组基下的坐标 假设 V 是数域 P 上的一个 n 维线性空间, 1 2 , , , n    是一 组基,  V , 令 1 1 2 2 n n         x x x , 得到一个线性方程组, 由于 1 2 , , , n    线性无关, 则该方程组有唯一解. 例 8 试求 3 R 中向量   1, 2 ,1 在基 1  1,1,1 , 2   1,1, 1 , 3    1, 1, 1 下的坐标 例 9 在线性空间 4 P x[ ] 中， 2 3 1, , , x x x 是一组基,求 3 f x x x ( ) 5 2 7    在 该基下的坐标 例 10 求 2 3 P  的一组基,写出 9 7 8 3 4 5       在该基下的坐标 2 向量运算与坐标运算的对应 假设 V 是数域 P 上的一个 n 维线性空间, 1 2 , , , n    是一组 基,  , V . 则有 1 2 1 1 2 2 1 2 ( , , , ) n n n n a a a a a a                         1 2 1 1 2 2 1 2 ( , , , ) n n n n b b b b b b                        