第五章二次型s1二次型及其矩阵表示一、二次型及其矩阵表示1定义：设P是一个数域，一个系数在数域P中的xi,,x，的二次齐次多项式f(xj,,..x,)=a*+2a2 +...+2anx, +a+...+2anxx,++amx,()称为数域P上的一个n元二次型，简称二次型，2二次型的矩阵（相伴矩阵）f(x,x2,",x,)=aux+a2xx2+...+anxx.+a21Xx +a22x +..+a2nx2xn(2)+.+anx,x+anx,x+...+ax?-22a+,i=l j=l把上式（2）的系数排成一个nxn矩阵(aai2..ana21a22a24=anan...a它称为二次型(1)的矩阵.因为a,=αi,i,j=1,2,…,n，所以AT=A把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型的矩阵都是对称的1
1 第五章 二次型 §1 二次型及其矩阵表示 一、二次型及其矩阵表示 1 定义： 设 P 是一个数域, 一个系数在数域 P 中的 n x , , x 1 的二次齐 次多项式 2 2 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 22 2 2 2 ( , , , ) 2 2 2 (1) n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x a x x a x 称为数域 P 上的一个 n 元二次型，简称二次型. 2 二次型的矩阵(相伴矩阵) 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 2 21 2 1 22 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 ( , , , ) (2) n n n n n n n n n nn n n n ij i j i j f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x 把上式 (2) 的系数排成一个 nn 矩阵 , 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 n n n n n n a a a a a a a a a A 它称为二次型(1)的矩阵.因为 a a ,i, j 1,2, ,n, ij ji 所以 T A A 把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型的矩阵都是对称的
XXauaa21X2a22aXTAX =(,X2,,x.)..anlxan2an,+ax+...+anxna+a22x+...+anxm(x..Xan+anx+...+amxnZa,x,x或f(x,x2,*,x)=XAX应该看到二次型(1)的矩阵A的元素，当ij时α=α,正是它的x,x,项的系数的一半，而a.是x项的系数，因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的．由此可得，若二次型f(X,X2,**,x,)= XT AX = X'BX且A=A, B=B,则 A=B.例1写出二次型f(x,,)=x-4x+2xx+4x+2x的矩阵例2写出二次型f(x,2,x，x4)=x-4xx+2xx+4x+2x的矩阵(1120)1230例3写出方阵的二次型2330(0000)(1 2 3)(x例 4f(,x2,)=(,x2,)是二次型吗？写出它的相伴31(132八x2
2 令 1 2 n x x X x 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 , , , , , , n T n n n n nn n n n n n n n n nn n n n ij i j i j a a a x a a a x X AX x x x a a a x a x a x a x a x a x a x x x x a x a x a x a x x 或 1 2 ( , , , ) T n f x x x X AX 应该看到二次型(1)的矩阵 A 的元素, 当 i j 时 aij a ji 正是 它的 i j x x 项的系数的一半, 而 aii 是 2 i x 项的系数， 因此二次型和它的 矩阵是相互唯一决定的. 由此可得, 若二次型 1 2 ( , , , ) T T n f x x x X AX X BX 且 , T T A A B B ,则 A B . 例 1 写出二次型 2 2 2 1 2 3 1 1 2 1 3 2 3 f x x x x x x x x x x ( , , ) 4 2 4 2 的矩阵 例 2 写出二次型 2 2 2 1 2 3 4 1 1 2 1 3 2 3 f x x x x x x x x x x x ( , , , ) 4 2 4 2 的矩阵 例 3 写出方阵 1 1 2 0 1 2 3 0 2 3 3 0 0 0 0 0 的二次型 例 4 1 1 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 ( , , ) ( , , ) 3 1 2 1 3 2 x f x x x x x x x x 是二次型吗？写出它的相伴
矩阵二、线性替换1定义设xi,,x.,yi,,y,是两组文字，系数在数域P中的一组关系式[x, =Cyi +Ci2J2 +...+Cinn-X, =C2iJ+C22y2+...+C2nJn(3)[X,=Cm+Cn22++Cnny'n称为由x,x,到y,…y的一个线性替换，或简称线性替换.如果系数行列式c±0，那么线性替换(3)就称为非退化的2线性替换把二次型变成二次型令Ci1yiCunC12C21C22V2C:YCnlCn2ynCn于是线性替换（3）可以写成(x)CulC12VXC2VCulCn2...·Cm八y或者X=CY.从而把一个x,x2，",x二次型化为f(X,X2,**, X,)= XTAX =(CY) A(CY)=YT(CTAC)Y得到一个y,J2,,y,的二次型BY，其中B=CTAC这里不要求线性替换X=CY是非退化的，也就是说，3
3 矩阵 二、线性替换 1 定义 设 n n x , , x ; y , , y 1 1 是两组文字，系数在数域 P 中的一组关系式 n n n n n n n n n n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 , , (3) 称为由 n x , , x 1 到 n y , , y 1 的一个线性替换，或简称线性替换.如果系数 行列式 cij 0,那么线性替换(3)就称为非退化的. 2 线性替换把二次型变成二次型. 令 n n n n n n n y y y Y c c c c c c c c c C 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 , , 于是线性替换（3）可以写成 n n n n n n n n y y y c c c c c c c c c x x x 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 或者 X CY .从而把一个 1 2 , , , n x x x 二次型化为 1 2 ( , , , ) ( ) ( ) ( ) T T T T n f x x x X AX CY A CY Y C AC Y 得到一个 n y , y , , y 1 2 的二次型 T Y BY ，其中 T B C AC 这里不要求线性替换 X CY 是非退化的，也就是说
线性替换X=CY把二次型f(x,2",X)=XTAX化为一个iy,,y,的二次型TBY例5对于二次型f(x）=x-4xx+2x+4x+2xx,=yi做线性替换=2化为g(1,J2,)=-4yi2+4，[x=0但是由g(y,y2,y)=-4yy+4却不能化成[x=y]f(x,x2,)=x-4x2+2x+4x+2x，原因就是线性替换X2=y2[x=0是退化的.3非退化线性替换对于非退化的线性替换X=CY来讲(1) —方面,(X,X2,"*,x,)=XTAX =(CY) A(CY)=YT(CTAC)Y(2）另一方面，令g(y,y2,,y,)=Y'BY，B=CTAC，我们可以得到一个非退化的线性替换Y=C-'X，g(i,J2,*", y,) =YT BY =(C-"X)" B(C-"X)=X"(C-") B(C-X)= XT[(C-")'BC-"JX = X[(C-")(CT AC)C-"JX = XTAX这里 A=(C-1) BC-1 =(CT)'BC-1A
4 线性替换 X CY 把二次型 1 2 ( , , , ) T n f x x x X AX 化为一个 n y , y , , y 1 2 的二次型 T Y BY 例 5 对于二次型 2 2 2 1 2 3 1 1 2 1 3 2 3 f x x x x x x x x x x ( , , ) 4 2 4 2 做线性替换 1 1 2 2 3 0 x y x y x 化为 2 2 1 2 3 1 1 2 2 g y y y y y y y ( , , ) 4 4 ， 但是由 2 2 1 2 3 1 1 2 2 g y y y y y y y ( , , ) 4 4 却不能化成 2 2 2 1 2 3 1 1 2 1 3 2 3 f x x x x x x x x x x ( , , ) 4 2 4 2 ，原因就是线性替换 1 1 2 2 3 0 x y x y x 是退化的. 3 非退化线性替换 对于非退化的线性替换 X CY 来讲, (1) 一方面， 1 2 ( , , , ) ( ) ( ) ( ) T T T T n f x x x X AX CY A CY Y C AC Y (2) 另一方面，令 1 2 ( , , , ) T n g y y y Y BY , T B C AC , 我们可以得 到一个非退化的线性替换 1 Y C X , 1 1 1 1 1 2 ( , , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) T T T T n g y y y Y BY C X B C X X C B C X 1 1 1 1 [( ) ] [( ) ( ) ] T T T T T T X C BC X X C C AC C X X AX 这里 1 1 1 1 ( ) ( ) T T A C BC C BC
三、矩阵的合同关系1定义数域F上两个n阶矩阵A，B称为合同的，如果有数域F上可逆的nxn矩阵C，使得B=CTAC2性质合同是矩阵之间的一个关系，具有以下性质：(1)自反性：任意矩阵A都与自身合同(2)对称性：如果B与A合同，那么A与B合同(3)传递性：如果A与A合同，A与A合同，那么A与A合同3两个矩阵是否合同与所在数域有关例7 4-(α 9)与B-( )在实数域上不合同，在复数域上合同(0 1)分析: 4-(α 9)-(6 9 )6 9)-c'BCc在实数域上不成立，在复数域上成立4等价、合同的关系A与B合同，可以推出A与B等价；反之不然
5 三、矩阵的合同关系 1 定义 数域 F 上两个 n 阶矩阵 A，B 称为合同的，如果有数域 F 上 可逆的 nn 矩阵 C ,使得 T B C AC 2 性质 合同是矩阵之间的一个关系，具有以下性质: (1) 自反性: 任意矩阵 A 都与自身合同. (2) 对称性:如果 B 与 A 合同,那么 A 与 B 合同. (3) 传递性:如果 A1 与 A2 合同, A2 与 A3 合同, 那么 A1 与 A3 合同 3 两个矩阵是否合同与所在数域有关 例 7 1 0 0 1 A 与 1 0 0 1 B 在实数域上不合同，在复数域上合同 分析： 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 T i i A C BC i i 在实数域上不成立，在复数域上成立 4 等价、合同的关系 A 与 B 合同, 可以推出 A 与 B 等价；反之不然
$2标准形二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型(1)dx+dx+.+dx.本节主要内容【配方法1.一般数域P上二次型化为标准形的方法【合同变换法【配方法2实二次型化为标准形的方法3合同变换法特征值法（正交替换）在第九章第六节一、配方法例1化二次型f(,x2，)=x-4x+2x+4x+2为标准形f(x,x2,x)=x-4xx2+2x +4x+2x=(x-4xx +2xx)+4x +2x=[x2 +2x(-2x, +x)+(-2x +x)]-(-2x +x,)* +4x +2x=(x-2x+x）-4x+4x-x+4x+2x=(x-2x, +x)+4x +x例2化二次型f(,x)=x++x为标准形[x,=yi+y2令x=-y2[x=y36
6 §2 标准形 二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型 2 2 2 2 2 1 1 n n d x d x d x . （1） 本节主要内容 1. 一般数域 P 上二次型化为标准形的方法 配方法 合同变换法 2 实二次型化为标准形的方法 配方法 合同变换法 特征值法(正交替换）在第九章第六节 一、配方法 例 1 化二次型 2 2 2 1 2 3 1 1 2 1 3 2 3 f x x x x x x x x x x ( , , ) 4 2 4 2 为标准形 2 2 2 1 2 3 1 1 2 1 3 2 3 f x x x x x x x x x x ( , , ) 4 2 4 2 2 2 2 1 1 2 1 3 2 3 ( 4 2 ) 4 2 x x x x x x x 2 2 2 2 2 1 1 2 3 2 3 2 3 2 3 [ 2 ( 2 ) ( 2 ) ] ( 2 ) 4 2 x x x x x x x x x x 2 2 2 2 2 1 2 3 2 2 3 3 2 3 ( 2 ) 4 4 4 2 x x x x x x x x x 2 2 1 2 3 2 3 3 ( 2 ) 4 x x x x x x 例 2 化二次型 1 2 3 1 2 2 3 1 3 f x x x x x x x x x ( , , ) 为标准形 令 1 1 2 2 1 2 3 3 x y y x y y x y
1定理1数域P上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平方和（1）的形式。ZZaxx用归纳法证明：对于二次型f(x,x,,x)=>i=l j=ln=1时，f(x)=au已经是标准形了，定理成立假设定理对于n-1成立现在考虑n元二次型{(s,x)=之a,，假设它不为零.--(1）如果含有平方项，即有某个a.±0．不妨设a±0，我们采用配方法，把含有x的项集中一起配方f(x,x,,x)=ax+2a2x+2anx+..+2anxx+a.xx=2/=21(++2 4+2 4*+24)+24,aui=2 /=2(a+a+a+.+awx)--(a2$+ag++aux,)+22a,x,-anaui=-(a+a2+4g++amx,)+22bxxaui=2 j=2=am+ax+ag+.+anxJy2=x2令.[y,=xn1a12a13a,xVVynanaua1an化为即经线性替换X2= y2.X=yn1.2byyjf(x,x,x,"x):aili=2 j=27
7 1 定理 1 数域 P 上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平 方和（1）的形式. 证明; 对于二次型 1 2 1 1 , , , n n n ij i j i j f x x x a x x 用归纳法 n 1 时， 2 1 11 1 f x a x 已经是标准形了，定理成立 假设定理对于 n 1 成立 现在考虑 n 元二次型 1 2 1 1 , , , n n n ij i j i j f x x x a x x , 假设它不为零. (1) 如果含有平方项，即有某个 0 ii a . 不妨设 11 a 0 ,我们采用配 方法,把含有 1 x 的项集中一起配方 2 1 2 11 1 12 1 2 13 1 3 1 1 2 2 , , , 2 2 2 n n n n n ij i j i j f x x x a x a x x a x x a x x a x x 2 2 11 1 11 12 1 2 11 13 1 3 11 1 1 11 2 2 1 ( 2 2 2 ) n n n n ij i j i j a x a a x x a a x x a a x x a x x a 2 2 11 1 12 2 13 3 1 12 2 13 3 1 11 11 2 2 1 1 ( ) ( ) n n n n n n ij i j i j a x a x a x a x a x a x a x a x x a a 2 11 1 12 2 13 3 1 11 2 2 1 ( ) n n n n ij i j i j a x a x a x a x b x x a 令 1 11 1 12 2 13 3 1 2 2 n n n n y a x a x a x a x y x y x 即经线性替换 12 13 1 1 1 2 3 11 11 11 11 2 2 1 n n n n a a a x y y y y a a a a x y x y 化为 2 1 2 3 1 11 2 2 1 ( , , , , ) n n n ij i j i j f x x x x y b y y a
byy,对二次型应用归纳假设，存在非退化的线性替换1=2 j=2z,=C2y,+Cy,+..+C2nynZ,=C22+C33Js+.+Cnyn能使它变成平方项的和d++d,-,2n=Cn2y2+Cn3y,+...+Cmn于是，经过非退化线性替换2=Z,=C22+C23y3+..+C2nynz3=C32J2+C33ys++Cny，化为平方项的和=,=Cn2y2+Cn3y3+...+Cmyn(x)=+d-+…+d定理成立au(2）如果不含有平方项，即所有a.=0．因为我们假设它是非零二次型，所以至少存在某个a0（i±j），不妨设a2±0X, =2, +22X2 = 21 - 22令 就得到了平方项，再按照（1)来考虑3x, = 23[X,=zn(3）如果a=a2==a=0，则α1==….=a=0，这时(sx)=a,x，是n-1元的二次型，利用归纳假设定理成i=2 j=2立例3f(x,,)=2x+2x-6x2x例 4 (x,x2,)=(-x) +(x-x) +(x2-)8
8 对二次型 2 2 n n ij i j i j b y y 应用归纳假设，存在非退化的线性替换 2 22 2 23 3 2 3 32 2 33 3 3 2 2 3 3 n n n n n n n nn n z c y c y c y z c y c y c y z c y c y c y 能使它变成平方项的和 2 2 2 2 n n d z d z 于是，经过非退化线性替换 1 1 2 22 2 23 3 2 3 32 2 33 3 3 2 2 3 3 n n n n n n n nn n z y z c y c y c y z c y c y c y z c y c y c y 化为平方项的和 2 2 2 1 2 3 1 2 2 11 1 ( , , , , ) n n n f x x x x z d z d z a .定理成立 (2) 如果不含有平方项，即所有 0 ii a . 因为我们假设它是非零二次 型,所以至少存在某个 0 ( ) ij a i j ,不妨设 12 a 0 令 1 1 2 2 1 2 3 3 n n x z z x z z x z x z 就得到了平方项, 再按照(1)来考虑 (3) 如果 11 12 1 0 n a a a ，则 21 31 1 0 n a a a ，这时 1 2 2 2 , , , n n n ij i j i j f x x x a x x 是 n 1 元的二次型,利用归纳假设定理成 立 例 3 f x x x x x x x x x 1 2 3 1 2 1 3 2 3 , , 2 2 6 例 4 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x x x x x x x x x , , ( ) ( ) ( )
2定理2在数域P上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵定理2也就是说，对于任意一个对称矩阵A都可以找到一个可逆矩阵C，使CTAC成对角矩阵分析：易知，二次型dx+d,+….+d,x的矩阵是对角矩阵，d,x+dx+...+d.xd0..Xd,..0X2=(Xi,X2, ",X,)...0o...d.)八x反过来，矩阵为对角形的二次型就只包含平方项.按上一节的讨论，经过非退化的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵9
9 2 定理 2 在数域 P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 定理 2 也就是说，对于任意一个对称矩阵 A 都可以找到一个可逆矩阵 C ，使 T C AC 成对角矩阵. 分析：易知，二次型 2 2 2 1 1 2 2 n n d x d x d x 的矩阵是对角矩阵， 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 0 0 0 0 , , , . 0 0 n n n n n d x d x d x d x d x x x x d x 反过来，矩阵为对角形的二次型就只包含平方项.按上一节的讨论， 经过非退化的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵
二、合同变换对于任意一个对称矩阵A，存在可逆矩阵C，使得CTAC为对角阵由于C是可逆矩阵，所以存在初等矩阵P,P,,P，使得C=PP.P从而CTAC=(PP...P)APP...P,=PTP..PAPP..P分析PTAP，这里P是一个初等矩阵(1）当P=P(i,j）时，AP表示交换矩阵A的第i,j两列;PTA表示交换矩阵A的第i，j两行.(2）当P=P(i(k)）时，AP表示矩阵A的第i列乘以数k;P'A表示矩阵A的第i行乘以数k.(3）当P=P(i,j(c)）时，AP表示矩阵A的第i列加上第列的倍；PIA表示矩阵A的第i行加上第j行的c倍.由（1)(2)(3)，我们发现PIAP相当于对于矩阵A的行、列进行了相同的初等变化。从而继续分析，我们得到对一个对矩阵A的行、列进行同样的初等变换，就可以把它化为对角阵，这种初等变换成为合同变换.PTPL...PAPP,...P.对角阵合同变换，对A的行、列进行同样的初等变换即CEPP....P例5化二次型f(x,，)=2x+x-4x2-4x为标准形例6化二次型f(,)=++为标准形10
10 二、合同变换 对于任意一个对称矩阵 A ，存在可逆矩阵 C ,使得 T C AC 为对角阵. 由于 C 是可逆矩阵,所以存在初等矩阵 1 2 , , , P P P s , 使得 C PP P 1 2 s 从而 1 2 1 2 1 1 1 2 ( ) T T T T T C AC PP P A PP P P P P A PP P s s s s s 分析 1 1 T P A P ， 这里 P1 是一个初等矩阵. (1) 当 1P P i j ( , ) 时， AP1 表示交换矩阵 A 的第 i j , 两列； 1 T P A 表示交换矩阵 A 的第 i j , 两行. (2) 当 1P P i k ( ( )) 时, AP1 表示矩阵 A 的第 i 列乘以数 k ； 1 T P A 表示矩阵 A 的第 i 行乘以数 k . (3) 当 1P P i j c ( , ( )) 时, AP1 表示矩阵 A 的第 i 列加上第 j 列的 c 倍; 1 T P A 表示矩阵 A 的第 i 行加上第 j 行的 c 倍. 由(1)(2)(3), 我们发现 1 1 T P A P 相当于对于矩阵 A 的行、列进行了 相同的初等变化. 从而继续分析, 我们得到对一个对矩阵 A 的行、 列进行同样的初等变换, 就可以把它化为对角阵，这种初等变换成为 合同变换. 即 A 1 1 1 2 1 2 T T T s s s s A P P P A PP P E PP P C 合同变换，对 的行、列进行同样的初等变换 对角阵 例 5 化二次型 2 2 1 2 3 1 2 1 2 2 3 f x x x x x x x x x ( , , ) 2 4 4 为标准形. 例 6 化二次型 1 2 3 1 2 2 3 1 3 f x x x x x x x x x ( , , ) 为标准形