第1章#多元函数的极限与连续性1.1集合与点集论实数全体记为R，称为一维欧氏空间，即带有实数坐标的点组成的一条直线由n个实数组成的有序组（，r2，，）之全体称为n维欧氏空间，记为R.该有序组也简记为X，也称为R"中的点或向量，又称（k=1.2，.….n）为点X的第k个坐标.由点形成的集合称为点集.特别地，全体有理数记为Q，全体正整数记为N定义1.1.1设X=（2，",）.Y=（i，*y）是R"中的两个点，令aX=（a1α2.)X+Y=(++y2.,+）且称X-Y=V-）+-）++（-）（也记为d(XY))为点X到点Y的距离，IX表示点X到原点的距离，称为向量X的长度，又令X.Y==ryt称为向量X与Y的内积；设EECR"则定义EXE=（X,Y)：XEE.YEE)（集合的乘积）.定义1.1.2设ECR，XER"，令d(Xo.E)=inffd(Xo,X).XEE,称为点X。到点集E的距离.称diamE)=suplIlX一X：X，XEEI为E的直径定义1.1.3设XER"，>0，令U(X。）-U(X)=（XER"X-X。H0，使得（X=（X1，2，，））X≤MXEE)或ECU(O,M).则称E为有界集定义1.1.5设X=(，.)ER"（EN)是个点列,X=（0，)ER".若对任给>0，存在N.使得X一X。e或XEU(Xe)(≥N)，则称(X)为收敛于X。的收敛（点）列，也称当k-0o时，X有极限X。，记为limX=X或X→X(k→00)由等式—X）—）"十十（—）易知X收敛于X当且仅当有)→20,0，）(k→0).定义1.1.6设ECR"，X。ER".若有E中互异点列（X）.使得X→X（k-co），则称X。为E的极限点（聚点）；E的极限点全体记为E"，称为E的导集，若ECE，则称E为闭集，记E=EUE，称为E的闭包，E是闭集：若E=R"，则称E为R"中的稠密集，E在R"中稠密定义1.1.7设ECR.若XEE但X。EE，则称X。为E的孤立点，若XEE但X。不是
-2:第1章多元函数的极限与连续性E的内点，则称X。为E的边界点.E的边界点全体记为aE.定义1.1.8设ECR，XEE.若存在>0，使得U(X)CE，则称X。为E的内点.若E中每一点均为E的内点，则称E为开集；点X。的邻域U(X。）是开集.开集与闭集互补定义1.1.9设DCR".若对D中任意两点，均可用连续曲（折）线联结起来，此曲线上的点均属于D.则称D为（道路）连通集；若D是连通集又是开集，则称D是区域；若D是区域，则称D为闭区域定义1.1.10设ECR.若在E中任意两点Xi，X之间，均可用属于E的直线段X,X联结起来，则称E为凸集定理1.1.1若(X）是R中的收敛列，则(X）是有界点列；有界点列必存在收敛子列.定理1.1.2（收敛点列的充分必要条件）R”中点列（X）是收敛列的充分必要条件是：对任给e>0,存在N,使得X,一X,I0.由于XEG，故存在邻域Ux=U(X，d/2)CG.从而可得F的-一个开覆盖Ux)xEF，并可选出有限覆盖Ux（i=1，2，，m）：FCUUx会D（开集）.因此，D=UDx, CUU(Xi,dx)CG例1.1.2试证明下列命题：
1.2多元函数及其极限（1）设ECR"是非空点集，则d(X，E)作为XER"的函数是一致连续的.（2）设FCR"是非空闭集，X。ER"，则存在Y。EF，使得X。一Y。I=d(Xo,F).（3）设ECR?是凸集，则E是凸集证明（3）设XX2EE，且不妨认定X,EaEE（i-12).现在假定过点X，X2之直线段XX中有点XX。EE，则存在邻域U(X）：U(X。，)nE一再作UU（X，8/2），U2=U（X2，8/2），以及此两圆之平行公切线PP2QQ，由于XX是E的极限点，故存在XEUnEXEUnE，且XXnUX。，)≠.但根据E的凸性，必有XXCE，导致矛盾1.2多元函数及其极限设E,E是两个集合，是一种对应规则：对XEE，可由f唯一确定YEE（称为对应着一个元Y).这种从E到E的对应规则了称为映射或变换，记作f.E-E,Yf(X)EE (XEE).此时，称E为f的定义域；E称为的取值域，而点集f(E)=(Y:Y=f(X),XEE)称为的值域定义1.2.1设f：E-E.若对X,EE.XEE，总有f(Xi)≠f(X2)，则称f为单（映）射；若T(E)=E，则称f为满（映）射；若f是单射且是满射，则称f为双射(E与E的元素之间存在一一对应）；此时可定义逆映射（仍记为）f-1：E-E为YEE，f-1(Y)=XEE(其中f(X)=Y).易知f[f(X)J-X(XEE)定义1.2.2设ECR"，称f.E-R"为多元向量函数.若m=1，则是R上的多元（实值）函数.如二元函数2=f(.y)，其中（y)ER，ER向量函数可用多元函数组成向量表示，例如：ECR-R，则f(r,y)=(fi(r.y),f2(r,y)),fi.E→R,f2.E-R'.n元函数=f(X)=f()，2，"",）可在R+中用个点集(2"，，z)：（，*，工）EE，2ER)表示.二元函数的几何意义就是R中通常意义下的曲面二元函数除用曲面表示外，也可用平面上一系列2-f(x,y)等位线来表示.称平面点集((,y):f(r.y)=C)为曲面z=f(r，y)的等位线或等高线，它是垂直于轴的平面=C与曲面=f(x，y)的交线在rOy平面上的投影（图1.1)三元函数u=f（，，之）是四维空间中的点集，用等位面的方法可以给出它在三维空间中的几何表示。定义1.2.3设f(.y)是定义在凸区域DCR上的函数，若对D内任意两点X-（1y），X2=图1.1（x2，y2）均有
第1章多元函数的极限与连续性f+(1-)y+(1-)f(y)+(1-)f(y),则称f(x，y)是凸域D上的凸函数定义1.2.4设在R"上的函数满足：对任意的t>0，均有f(tri.r2.",r)=tf(rir2..,a),则称是次齐次函数定义1.2.5（重极限）设ECR"，f:E-R"，X。EEY。ER".对任给e>0，存在8>0，使得If(X)-Y。i<e(O< l X-X。Il<),则称f(X）在点X趋于X。时有极限Yo，记为limf(X）=Y。（Xo是E之内点时，记为limf(X）=Yo）.XEE定理1.2.1设f.ECR-→R"，则limf（X）=Y。当且仅当，对任意点列(X)CE：X-→XEE(k-→00).必有limf(X)=Y。(f(X)-+Y,(k--00))类似一元函数，多元函数仍具有极限唯一性、保序性、局部有界性，四则运算规则仍成立定义1.2.6设f(z,y)在0<|一zola.0l一l<a上定义.若对任意固定的值y(0<ly%/<a)，当→时，函数f(的极限存在，记为limf(.y)=py)；又当y→时，函数g(y)的极限存在，记limg(y)=A.则称A是函数f(r，y)先对后对y的累次极限，记作limlimf(r，y）=Ayox同样可定义先对y后对r的累次极限：limlimf(ay)从上述定义可以悟出，我们还能引进所谓路径极限的概念，以f(r.y)在点（zo，%）的情形为例.设=(t)，y收t)是过点（zo，）的任一条连续曲线（o=p(to）%=以t）)，若有limf(p(t),(t))=A,则称f(.y)在动点（r，y)沿路径（py）趋于（o,y）时有极限A注1显然若重极限limf(x，y)=A存在，则f(，y)的任一路径极限也存在且等于y)-00)A.特别在路径为{=z，y=kz（k是常数）时，称该极限为方向（或向径)极限.由此可知，如果子存在不同的路径极限，那么其重极限一定不存在，注2设f(ry)在（zo，）的邻域上有定义，若对任一满足limg(r）=%.的曲线y=g（r)，均有lim几r，g（)=A则未必存在limf(，y)=A.例如f(0y)=1(，)=0(≠0)y-yo定理1.2.2设f(y)在0<lr-ro/<a，0<ly-%l<a上定义，且limf(y)=A有限或无限），又对任意固定的y(0<ly-/<a），有limf(a，y）=(y)，则limlimf(r,y)=limp(y)=Ay-* -注若定理中limf(x.y)=y）存在改为limf(x，y）=以）存在，则有limlimf(，y）=A上述定理说明，若全面极限存在，两个内层极限存在，则两个累次极限一定存在且相等，或两个累次极限可交换求极限顺序：
1.2多元函数及其极限limlimf(r.y)=limlimf(a,y).反之，若两个累次极限存在但不等，则全面极限一定不存在。定义1.2.7设fR"-R，AER'.若对任给e>0，存在M>0.使得If(X)-AI<E(IIXIM),则称f(X)在X趋于无穷时有极限A，记为limf(X)）=A.例1.2.1设f(x，y)是R2上单变量连续的函数，则f不是单射证明反证法.假定f是单射，我们令p（）一f(，O)（rER），则EC(R）又记g(0)=a，g(1)=b,则由单射可知ab.不妨设a<b，注意到的连续性，可得Lg(0).p(1)]=[a，b].特别地，存在oE（0,1)，使得g(o）=（a+b)/2现在令y)=f(Toy)(yER),则EC(R'），且有(0）=f(1o0)=p(）=（a+b)/2.因此，a<y(0)<b,a<y(y)<b（yEU(0,)).即a<f(ro,y)<b（EU(0,o)).此外，易知f(r,0)：0<r<1)(a,b).也就是说，对某个%牛0与r1,有等式f(o.y）=f(i0),这与单射矛盾.例1.2.2设D是R2中的凸区域，f：D→R是凸函数，则对任意的αER'，点集E=((y)ED:f(r，y)<α）是凸集证明设（)）是E中任意两点，则()≤αf()≤α从而对0<t<1，我们有f(ti+(1-)2y+(lt)y2)≤f(i,y)+(1-t)f(2,y2)≤tα+(1-t)α=a这说明(tri十(1-t)r2ty+1-t)y)EE，即E是凸集例1.2.3试论下列函数在指定点的重极限，累次极限：(1)f(r,y)=(r-y)/(r+y)，(zoy)(0,0).(2)f(,y)=y/(ry+(-y)"),(ro,)=(0,0).(3)f(r,y)=(r+y)sin(1/r)sin(1/y),(ro,y)=(0,0).解（1）累次极限存在：lim limf(r,y)=lim1,lim limf(r,)lim==—1.-y而对两点列（，%）=（1/n，1/n），（，y"）=（2/n，1/n）（nEN），我们有limf(r，yn)=0,limf(r",y")=1/3.这说明重极限不存在（2）注意到limf(r，y）=0（r≠0），limf（x，y）=0（y≠0），故知两个累次极限均为0.但是因为limf(1/n，1/n）=1，limf（1/n，一1/n）=0，所以重极限不存在
第1章多元函数的极限与连续性6（3）注意到f(1/n元，y）=0，f(2/（4n+1)元，y）-ysin（n-o），故知累次极限不存在.此外，因为有0或0(3）试论f(r，y)=e-（-"在动点=tcoso,y=tsing以t→十oo时的极限，解（1）易知该路径曲线在原点的切线有两条：y=士α，因此用变量替换y=tr，该曲线及其极限过程可表示为x=(l-t)/t,y=1-t,(a,y)→(0,0)~t→±l.从而我们有f(a,y)= lim (-)/+4(1-)/=41=t)lim±i(1-t)2+6(1-t)-6(1-t)/t(r,y)3/2,t→+1,-2/3,t→-1.（2）易知各方向的方向极限为0，累次极限为limlimf(r,y)=limo=0,limlimf(r,y)=liml=1.y-*0 X-y+((3）令F(t，0)=f(tcoso,tsin)，则F(t.0) tcos*0e-o00mio(≤≤元).若0=士元/2，则F（t，土元/2)=0.从而limF（t，士元/2)=0.若士元/2，则cos半0，且知lim（t?cosa一tsing）=十8.从而依LHospital法则可得2ttlimF(t,0)=cosolimcoslimo(2tcos-sing)e0-necp-=cos9lim(limf(n,n)=+0)0(cos-sin0/2t)0-in例1.2.5试论下列函数f(r，y)在（0,0)点处的重极限：?+y?1+yyy(4)(3)(2)(1)12+y+(1-)2.14+2r+yr+y?-(6)22y21+y3(5)(7)|y/1x（8)ly/lnll.r+yr3+y3解（1）考察向径极限，即令y=k，我们有1+k(1+)2limf(x,kr)=lim-[(1+)+(1-)"1+k+1-）2
1.2多元函数及其极限由于可取不同值，故重极限不存在（2）limf(r，kr2）=k/（1十k2），重极限不存在(3）注意到f(，k）=k/(1+)z-0(x-0，又有f(,+)=(2+)/1(r→0),故重极限不存在。（4）注意到f(，0)=1/-→十00(-0），又有limf()=lim(+)/(+)=1,故重极限不存在。（5）注意到f（，0）=→0（-→0），又有limf()=lim[+（—)/=lim[1+（-=1故重极限不存在（6）注意到f（，）=/2-0（-0），又有-2+61limf(r,-)lim03-35+63故重极限不存在。（7）令=e-/(>0)，易知0(0)，又有limf(,e-/zl) limel/--/)= limelr(-/lzl) = e~^,7+0Y+故重极限不存在(8）注意到f(,r)-0(-0).又有f(，a/n)=al，故重极限不存在例1.2.6试证明下列极限等式：121[3/2+y(1)lim=0.lim(2)=0(0 0) +y2T.w(++)(0.0+yIy(3)lim0(1,3)(0.0)Vi?+y2证明（1）只需注意/[3/2232 /y||y|1/2Iy /1/200(y→0).r+y?+y?22（2）只需注意r+y2ry2ry(r+y)-ry++y12+y22+2（也可采用下一题的解法）2（3）令=rcost，y=rsint，则rylimlim1rsintcost≤limr=0.?+y2(r.y)-+(0,0-
第1章多元函数的极限与连续性例1.2.7试证明下列极限等式：sin(+y3)sinrylim(1) [==0(2)[=lim+y2+(0.0)T.Vrta证明（1）令=rcosoy=rsino，并注意不等式sin(+y)r+y=/r(cos+sin*)/≤/2r1r2+v2+ysinrysinry:1(x0)（2）注意rc1试论下列函数f(a.y)在点（O,0)处的重极限：例1.2.8(1)(r+y)ln(r+y).(2)In(1+ry)/(z+tany).(3)(r+y)y解（1）令=rcosa.y=rsing，我们有1f(r,y)[=/(coso+sing)In2|≤/4rinr/.故f(,y)-→0((T,y)-→(0,0)).（2）注意到f(r，0)一0，另一方面又有-12f(r, -r) = ln(1-12).In(1—22)--tanrr-tanrelim In(1—±2)-1/2lim=1，=+8.tanz-0r故重极限不存在。（3）取对数再用参变量，我们有f(ry)=eryn+)eP+n+y),2+y22n3+y2)limlime= 1例1.2.9试求下列函数f(r，y)的累次极限：I=limlimf(ry),Iz=limlimf(r,y)+yla=faT(1) (2)1+ry16-01ry元1(4)tan(3)sin21+r/hry(5)log,(r+y)2/2+11+y/2=0：12—limlim早（1）1,=limlim解+1+y/?o/y+y2I（2）注意到lim=1，lim=十（>0），故I=2,1=1.T元X元=1故=0，12=1=0,limsin（3）易知limsin2r+y2+ypc
1.2多元函数及其极限（4）因为我们有limf(，y）=0（r≠o），以及imf(r.y) = lim tan/++(1+y)- = 1,ry/(1+ay)所以,=0,12=1.(5）改写f(,)=ln(+y)/nr(>0,+>0,1)，易知In(+)=1,I=1.limInr此外，因为我们有In(r+y)8,10,limInr8，→08In(r+y)8,y0,limInr+8，8I+In(r+y)lim=1（(y=0),In.+所以不存在limf(r，y).从而I2不存在。例1.2.10试求下列函数(x，）的重极限I：r+y((1)(2)r2-ry+J(3)(2+y2)e-(r+)L(4)（(5)（1+解（1）注意到+≥y故可得0I=0.-rv+VTv2（2）注意到0<f(ry）=故1=04++V(3）注意到f(ry)=r/er+y+y/e+r/e+y/e故I=0（4）注意到0<f(.y)≤（1/2)，故【=0.（5）取对数，我们有limf（，y）=limel1+1//1+/n)=e例1.2.11试论下列函数f(r，y)在指定点的极限状况：(1) er/P+y),(0,0).(2)e2-y. sin(2ry),(-00,+00).解（1）因为f(，y）=e0/r，所以当cos0<0即元/2≤0<3元/2时，极限存在。（2）作变量替换r=rcoso，y=rsing，我们有
.10:第1章多元函数的极限与连续性e 2.sin(sin20).limf(r,y)=lime由此可知，当cos200,1=,00，根据题设可知，存在0，使得If(,)-A0,存在8>0，使得I f(.)-p()/0：之8，当0<ly-<时，导出f(,y)-e/2<p()<f(r,y)+e/2 ( D),以及A一e/2<以y）<A十e/2.综合上述结果，我们有A-ey)-e/2<limp(r)limg(x)<y(y)+e/2A+e.因为e是任意给定的，所以limp(）=A.例1.2.13试证明下列命题：(1）设f(）在区间ICR上一致连续，J1，J2是R中两个区间，g（，y)定义